綜合實力訓練綜合實力訓練第70頁

第Ⅰ卷(選擇題,共60分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.設全集為R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},則A∩(?RB)=()A.(-1,2) B.(-2,-1) C.(-2,-1] D.(-2,2)答案:C解析:A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴?RB={x|x>4或x≤-1},則A∩(?RB)={x|-2<x≤-1}.2.已知i為虛數單位,復數z滿意(1+3i)z=(1-i)2,則|z|=()A.2 B.22 C.1 D.答案:C解析:因為z=(1-i所以|z|=-3223.若x1=π4,x2=3π4是函數f(x)=sinωx(ω>0)兩個相鄰的極值點,則ω=A.2 B.32 C.1 D.答案:A解析:由題意,得f(x)=sinωx的周期T=2πω=23π4-π4=π,解得ω4.設Sn為等比數列{an}的前n項和,8a1-a4=0,則S4S2=A.-8 B.8 C.5 D.15答案:C解析:8a1-a4=0?q3=8?q=2,S4S2=S2+q2S5.某地區經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍,實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況,統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例,得到如下餅圖:建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例則下面結論中不正確的是()A.新農村建設后,種植收入削減B.新農村建設后,其他收入增加了一倍以上C.新農村建設后,養殖收入增加了一倍D.新農村建設后,養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半答案:A解析:設建設前經濟收入為1,則建設后經濟收入為2,建設前種植收入為0.6,建設后種植收入為2×0.37=0.74,故A不正確;建設前的其他收入為0.04,養殖收入為0.3,建設后其他收入為0.1,養殖收入為0.6,故B、C正確;建設后養殖收入與第三產業收入的總和所占比例為58%,故D正確,故選A.6.直線ax+by-a=0與圓x2+y2+2x-4=0的位置關系是()A.相離 B.相切C.相交 D.與a,b的取值有關答案:C解析:直線即a(x-1)+by=0,過定點P(1,0),而點P在圓(x+1)2+y2=5內.故選C.7.已知△ABC是非等腰三角形,設P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB),R(cosC,sinC),則△PQR的形態是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.不確定答案:B解析:易知這三個點都在單位圓上,而且都在第一、二象限,由平面幾何學問可知,這樣的三個點構成的必定是鈍角三角形.故選B.8.已知某個幾何體的三視圖如圖所示,依據圖中標出的尺寸(單位:cm),則這個幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3 C.24cm3 D.72cm3答案:B解析:三視圖的直觀圖是有一個側面垂直于底面的三棱錐,底面是底邊長為6cm、高為4cm的等腰三角形,三棱錐的高為3cm,∴這個幾何體的體積V=13×12×6×4×3=12(cm3)9.設變量x,y滿意約束條件y≤3x-2A.1 B.-1 C.2 D.-2答案:A解析:由約束條件y≤3x聯立x-2yyx-1的幾何意義為可行域內的動點與定點P(1,0)連線的斜率,則其最小值為kPA=210.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A.52 B.62 C.103答案:A解析:設直線l與雙曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則(x1即y1由弦的中點為(4,1),直線的斜率為1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y∴b2a2=14,e∴e=52.故選A11.已知函數f(x)=sin(πx2),-1<x<0,ex-1,x≥0A.1 B.-22 C.1,-22 D.答案:C解析:∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),則sin(πa2)=1,∴a=-22若a∈[0,+∞),則ea-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-2212.如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案:B解析:如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點,M為DE的中點,∴BM,EN是相交直線,解除選項C,D.作EO⊥CD于點O,連接ON.作MF⊥OD于點F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.設正方形ABCD的邊長為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=2則EN=3+1=2,BM=34∴BM≠EN.故選B.第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為.

答案:y=3x解析:由題意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x.14.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為答案:1解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-當且僅當2a=18b,即a=-3,b=115.若函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示,則函數f(x)在區間[-π,0]上的單調遞增區間為.答案:[-3,0]解析:由題中圖象知A=2,T=43[5-(-1)]=所以2πω=8,即ω=又函數f(x)的圖象經過點(5,-2),所以2sinπ4×即sin5π4+因為0<φ<π2,所以5π4+φ=3π2,所以函數f(x)=2sinπ4由-π2+2kπ≤π4x+π4≤π2+2k得-3+8k≤x≤1+8k(k∈Z),令k=0,得函數f(x)在區間[-π,0]上的單調遞增區間為[-3,0].16.已知等差數列{an}的前n項和為Sn=(a+1)n2+a,某三角形三邊之比為a2∶a3∶a4,則該三角形的面積為.

答案:15解析:∵{an}是等差數列,∴a=0,Sn=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.設三角形最大角為θ,由余弦定理,得cosθ=-12∴θ=120°.∴該三角形的面積S=12×3×5×sin120°=15三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(12分)已知{an}是各項均為正數的等比數列,{bn}是等差數列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)設cn=anbn,n∈N*,求數列{cn}的前n項和.解(1)設數列{an}的公比為q,數列{bn}的公差為d,由題意q>0.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去又因為q>0,解得q=2,所以d=2.所以數列{an}的通項公式為an=2n-1,n∈N*;數列{bn}的通項公式為bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,設{cn}的前n項和為Sn,則Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述兩式相減,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*.18.(12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AB的中點.(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)若E是棱BB1的中點,求三棱錐C-AA1E的體積與三棱柱ABC-A1B1C1的體積之比.(1)證明如圖,連接AC1交A1C于點O,連接OD.∴O是AC1的中點,又D是AB的中點,∴OD∥BC1.又OD?平面A1CD,BC1?平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD.(2)解設三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC·h.又V=VC1-ABB1A1+V∵CC1∥BB1,CC1?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1,∴CC1∥平面ABB1A1.∴VC∵S△∴VC∴三棱錐C-AA1E的體積與三棱柱ABC-A1B1C1的體積之比為1319.(12分)如圖,莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學完成某道數學題的得分狀況.乙組某個數據的個位數模糊,記為x,已知甲、乙兩組的平均成果相同.(1)求x的值,并推斷哪組學生成果更穩定;(2)在甲、乙兩組中各抽出一名同學,求這兩名同學的得分之和低于20分的概率.解(1)x甲=14×(9+9+11+11)=10,x乙=14×(8+9+10又s甲2=14[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-s乙2=14[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)∴s甲∴甲組成果比乙組成果更穩定.(2)記甲組4名同學為A1,A2,A3,A4;乙組4名同學為B1,B2,B3,B4;分別從甲、乙兩組中各抽取一名同學全部可能的結果為:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16個基本領件,其中得分之和低于20分的共有6個基本領件,∴得分之和低于20分的概率是P=61620.(12分)已知點F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3.(1)求拋物線E的方程;(2)已知點G(-1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.(1)解由拋物線的定義,得|AF|=2+p2因為|AF|=3,即2+p2=3,解得p=所以拋物線E的方程為y2=4x.(2)證法一因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上,所以m=±22,由拋物線的對稱性,不妨設A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直線AF的方程為y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4解得x=2或x=12,從而B1又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=所以kGA+kGB=0,從而∠AGF=∠BGF,這表明點F到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.證法二設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上,所以m=±22,由拋物線的對稱性,不妨設A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直線AF的方程為y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4解得x=2或x=12,從而B1又G(-1,0),故直線GA的方程為22x-3y+22=0,從而r=|2又直線GB的方程為22x+3y+22=0,所以點F到直線GB的距離d=|22這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.21.(12分)已知函數f(x)=2x-ax+blnx,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為3x+y-8=0(1)求a,b的值,并求函數f(x)的單調遞增區間;(2)設g(x)=f(x)-3x,試問過點(2,2)可作多少條直線與曲線y=g(x)相切?請說明理由解(1)f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=2+ax依題設,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-3x2-2x=2x又x>0,∴x>1+7∴函數f(x)的單調遞增區間為1+7(2)g(x)=f(x)-3x=2x-2lnx,g'(x)=2-2設過點(2,2)與曲線g(x)相切的切線的切點坐標為(x0,y0),則y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2lnx0-2=2-2x0(∴lnx0+2x0=令h(x)=lnx+2x-2,則h'(x)=1當h'(x)=0時,x=2.∴h(x)在區間(0,2)內單調遞減,在區間(2,+∞)內單調遞增.∵h12=2-ln2>0,h(2)=ln2-1<0,h(e2)=2e∴h(x)的圖象與x軸有兩個交點,∴過點(2,2)可作2條曲線y=g(x)的切線.請考生在第22、23兩題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號.22.(10分)選修4—4:坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中,動點A的坐標為(2-3sinα,3cosα-2),其中α