§7.3二元一次不等

式(組)與簡單的

線性規劃問題第七章不等式、推理與證明1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.二元一次不等式(組)表示的平面區域不等式表示區域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的平面區域不包括_____Ax＋By＋C≥0包括_____不等式組各個不等式表示的平面區域的________邊界邊界公共部分2.線性規劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的___________線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標函數關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等線性目標函數關于x，y的

解析式不等式(組)一次一次可行解滿足線性約束條件的解________可行域所有可行解組成的_______最優解使目標函數取得

或

的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的

或______問題(x，y)集合最大值最小值最大值最小值判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的交集.(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)(4)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)√×√×1.某校對高三美術生劃定錄取分數線，專業成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是√“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.√將點(0,0)代入x－y＋1<0不成立，則點(0,0)不在不等式x－y＋1<0所表示的平面區域內，將點(0,0)代入x＋y－3≥0不成立，則點(0,0)不在不等式x＋y－3≥0所表示的平面區域內，所以表示的平面區域不包括原點，排除A，C；x－y＋1<0不包括邊界，用虛線表示，x＋y－3≥0包括邊界，用實線表示，故選D.A.－1B.5C.8D.7√作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，此時zmax＝0＋2×4＝8.第二部分探究核心題型例1

(1)(2022·成都模擬)在坐標平面內，不等式組

所表示的平面區域的面積為A.B.3C.1D.2題型一二元一次不等式(組)表示的平面區域√由不等式組可得其表示的平面區域如圖陰影部分(含邊界)所示，又OC⊥BC，OA∥BC，(2)(2023·西安模擬)已知不等式組

表示的平面區域是一個三角形區域，則實數k的取值范圍是________.(－1,2)直線kx－y＋2＝0與y軸的交點為(0,2)，要使平面區域是一個三角形區域，由圖得k∈(－1,2).平面區域的形狀問題主要有兩種題型(1)確定平面區域的形狀，求解時先作出滿足條件的平面區域，然后判斷其形狀.(2)根據平面區域的形狀求解參數問題，求解時通常先作出滿足條件的平面區域，但要注意對參數進行必要的討論.思維升華跟蹤訓練1

(1)設x，y∈R，則“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√x2＋y2－2x－2y＋1≤0可表示為(x－1)2＋(y－1)2≤1，即(x，y)在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上及其內部，x＋y≤4表示(x，y)在直線x＋y＝4上及其左下方，如圖所示，由圖象知，“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的充分不必要條件.(2)(2022·西安模擬)若不等式組

所表示的平面區域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩個部分，則實數k的值為A.1B.2C.3D.4√作出不等式組對應的平面區域，如圖中陰影部分(含邊界)所示.由圖可知，可行域為△ABC及其內部，因為直線y＝kx＋2過△ABC的頂點C(0,2)，所以要使直線y＝kx＋2將可行域分成面積相等的兩部分，則直線y＝kx＋2必過線段AB的中點D.將D的坐標代入直線y＝kx＋2，例2

(2022·全國乙卷)若x，y滿足約束條件

則z＝2x－y的最大值是A.－2B.4C.8D.12題型二求目標函數的最值問題√命題點1求線性目標函數的最值方法一由題意作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，轉化目標函數z＝2x－y為y＝2x－z，上下平移直線y＝2x－z，可得當直線過點(4,0)時，直線截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.故選C.此時z＝2×0－2＝－2；此時z＝2×2－0＝4；此時z＝2×4－0＝8.綜上所述，z＝2x－y的最大值為8.例3

(1)若實數x，y滿足約束條件

則z＝

的取值范圍是A.[－3,1)B.(－∞，－3]∪(1，＋∞)C.[－3,3]D.(－∞，－3]∪[3，＋∞)√命題點2求非線性目標函數的最值目標函數z＝

表示可行域內的點(x，y)與定點P(0，－3)確定的直線l的斜率k，過點P的直線l0平行于直線x－y－2＝0，其斜率為1，過點P的直線l1經過點A(－1,0)，其斜率為－3，直線l從直線l0(不含直線l0)繞點P逆時針旋轉到直線l1(含直線l1)的位置，則k≤－3或k>1，所以z＝

的取值范圍是(－∞，－3]∪(1，＋∞).(2)若變量x，y滿足約束條件

則(x－1)2＋y2的最小值為√結合題意作出不等式組對應的平面區域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，而(x－1)2＋y2的幾何意義是可行域內的點與(1,0)的距離的平方，命題點3求參數值或取值范圍例4

若實數x，y滿足

且z＝3x＋y的最大值為8，則實數m的值為A.0B.1C.2D.3√由圖中直線斜率關系知，當直線y＝－3x＋z向上平移時，依次經過點O，B，A.故經過點A時，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.常見的三類目標函數(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝

.跟蹤訓練2

(1)(2021·全國乙卷)若x，y滿足約束條件

則z＝3x＋y的最小值為A.18B.10C.6D.4√方法一(數形結合法)作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，作出直線y＝－3x，并平移，數形結合可知，當平移后的直線經過點A時，直線y＝－3x＋z在y軸上的截距最小，即z最小.解方程組

即點A的坐標為(1,3).從而z＝3x＋y的最小值為3×1＋3＝6.方法二(代點比較法)畫圖易知，題設不等式組對應的可行域是封閉的三角形區域，所以只需要比較三角形區域三個頂點處的z的大小即可.易知直線x＋y＝4與y＝3的交點坐標為(1,3)，直線x＋y＝4與x－y＝2的交點坐標為(3,1)，直線x－y＝2與y＝3的交點坐標為(5,3)，將這三個頂點的坐標分別代入z＝3x＋y可得z的值分別為6,10,18，所以比較可知zmin＝6.方法三

(巧用不等式的性質)因為x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①因為y≤3，所以－2y≥－6.于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，當且僅當x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3時不等式取等號，易知此時不等式x－y≤2成立.②(2)(2022·西寧模擬)如果點P(x，y)在平面區域

上，則x2＋y2＋2y的最小值是√如圖，作出

表示的可行域，即圖中△ABC區域(包含邊界)，而x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1，設點Q(0，－1)，則x2＋y2＋2y表示的是點P(x，y)和點Q(0，－1)的距離的平方減去1，所以當PQ⊥AB時，PQ最小，(3)(2023·呼和浩特模擬)已知x，y滿足

若z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a的值為________.－1或2作出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，作直線l：y－ax＝0，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，a是斜率，z是縱截距，直線向上平移，z增大，因此要使最大值的最優解不唯一，則直線l與AB或AC平行，所以a＝－1或a＝2.例5

(2022·銀川模擬)快遞行業的高速發展極大地滿足了人們的購物需求，也提供了大量的就業崗位，出現了大批快遞員.某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數據如表：題型二實際生活中的線性規劃問題

體積(立方分米/件)重量(千克/件)快遞員工資(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快遞員小馬接受派送任務，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為A.150元

B.170元C.180元

D.200元√設一次派送甲批快件x件、乙批快件y件，小馬派送完畢獲得的工資z＝8x＋10y(元)，畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，易知目標函數在點M(15,5)處取得最大值，故zmax＝8×15＋10×5＝170(元).所以小馬一次送貨可獲得的工資最多為170元.解線性規劃應用題的步驟(1)轉化——設元，寫出約束條件和目標函數，從而將實際問題轉化為線性規劃問題；(2)求解——解這個純數學的線性規劃問題；(3)作答——將線性規劃問題的答案還原為實際問題的答案.跟蹤訓練3

某企業在“精準扶貧”行動中，決定幫助一貧困山區將水果運出銷售.現有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運6噸且每天能運4次，乙型車每次最多能運10噸且每天能運3次，甲型車每天的費用為320元，乙型車每天的費用為504元.若需要一天內把180噸水果運輸到火車站，則通過合理調配車輛，運送這批水果的費用最少為A.2400元

B.2560元C.2816元

D.4576元√設甲型車x輛，乙型車y輛，運送這批水果的費用為z元，則

畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示.目標函數z＝320x＋504y，作直線320x＋504y＝0并平移，結合實際情況分析可得當直線過點(8,0)時，z取得最小值，即zmin＝8×320＋0×504＝2560(元).課時精練第三部分1.(2023·銅川模擬)已知點A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側，則實數b的取值范圍為A.b>－3 B.b<－3或b>7C.－3<b<7 D.b<3或b>712345678910111213141516基礎保分練√因為點A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側，所以(1－4－b)(－1＋8－b)>0，即(b＋3)(b－7)>0，解得b<－3或b>7.2.已知x2－y2＝1的兩條漸近線與直線x＝4圍成三角形區域，那么表示該區域的不等式組是12345678910111213141516√12345678910111213141516由于x2－y2＝1的兩條漸近線方程為x＋y＝0和x－y＝0，故表示與直線x＝4圍成的三角形區域為A.6B.7C.12D.1412345678910111213141516√12345678910111213141516作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示.12345678910111213141516A.z有最大值，也有最小值B.z有最大值，無最小值C.z有最小值，無最大值D.z既無最大值，也無最小值√12345678910111213141516作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，為一個開放區域.由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，由數形結合可知，當平移后的直線經過點A時，z取得最小值，無最大值.123456789101112131415165.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標平面內表示的區域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的√12345678910111213141516即不等式表示的區域是同時在兩直線的上方部分或同時在兩直線的下方部分，只有選項C符合題意.123456789101112131415166.不等式組

表示的平面區域為Ω，直線y＝kx－1與區域Ω有公共點，則實數k的取值范圍為A.(0,3] B.[－1,1]C.(－∞，3] D.[3，＋∞)√12345678910111213141516直線y＝kx－1過定點M(0，－1)，由圖可知，當直線y＝kx－1經過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點C(1,2)時，k最小，此時kCM＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖所示，12345678910111213141516A.0B.1C.－1D.212345678910111213141516√12345678910111213141516畫出不等式組表示的平面區域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝2x－y，則y＝2x－z.因為2x－y的最大值為－1，所以2x－y＝－1與陰影部分的交點為陰影區域的一個頂點，由圖象可知，當直線2x－y＝－1經過點C時，z取得最大值，故a＝－1.9.已知點(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，則實數b的取值范圍是

____________.12345678910111213141516(－∞，－3)因為點(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，所以1＋2＋b<0，解得b<－3.10.已知實數x，y滿足不等式組

則z＝x2＋y2的最大值為_____.123456789101112131415161012345678910111213141516根據約束條件

畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，z＝x2＋y2是指可行域內的動點(x，y)與定點(0,0)之間的距離的平方，由圖可知，點P到原點O的距離的平方最大，故zmax＝12＋32＝10.11.(2022·銀川模擬)若實數x，y滿足條件

則|x－3y|的最大值為_____.12345678910111213141516512345678910111213141516由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝x－3y，即y＝

，由圖可知，當直線y＝

過點A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值4；過點B時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值－5.所以|x－3y|的最大值為5.12.現某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺電腦機，每臺電腦機每天可給12件衣服鎖邊；有5臺普通機，每臺普通機每天可給10件衣服鎖邊.如果一天至少有100件衣服需要鎖邊，用電腦機每臺需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機每臺需要配鎖邊工1名，雜工1名，用電腦機給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機給一件衣服鎖邊可獲利6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利_____元.1234567891011121314151678012345678910111213141516設每天安排電腦機和普通機各x，y臺，則一天可獲利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，線性約束條件

為畫出可行域(圖略)，可知當目標函數經過(5,5)時，zmax＝780.13.(2023·西寧模擬)已知實數x，y滿足

且z＝kx＋y(k為常數)取得最大值的最優解有無數多個，則k的值為A.1B.－1C.2D.－212345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516要使z＝kx＋y取得最大值的最優解有無數多個，則該平行直線系的斜率－k＝kAB＝1，故k＝－1.14.某校準備采用導師制成立培養各學科全優尖子生培優小組A，B，在培優小組A中，每1名學生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導師；在培優小組B中，每1名學生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導師.若學校現有14名理科教師和9名文科教師積極支持，則兩培優小組能夠成立的學生人數和最多為_____.12345678910111213141516512345678910111213141516根據題意，設培優小組A，B能夠成立的學生人數分