2024年排列組合教案

排列組合教案

排列組合教案

時間：2022-04-0218:0631教案投訴投稿

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排列組合教案

作為一名教學工作者，常常需要準備教案，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科

學、恰當的教學方法。我們應該怎么寫教案呢？以下是我收集整理的排列組合教案，僅供參考,

歡迎大家閱讀。

排列組合教案1

教學目標

(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

(2)了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

(3)掌握排列數公式,并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；

(4)會分析與數字有關的排列問魅培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

(5)通過對排列應用問題的學習讓學生通過對具體事例的觀察、歸綱中找出規律彳導出結論,

以培養學生嚴謹的學習態度。

教學建議

一、知識結構

二、重點難點分析

本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的

應用問題.難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題.突破重點、難點的關鍵是對加法原理

和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中.

從n個不同元素中任取(wn)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取個

元素的一個排列.因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全

相同.排列數是指從n個不同元素中任取於n)個元素的所有不同排列的種數,只要弄清相同排列、

不同排列,才有可能計算相應的排列數.排列與排列數是兩個概念，前者是具有個元素的排列，后者

是這種排列的不同種數.從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出個組成的有序集，相當于一

個排列，而這種有序集的個數,就是相應的排列數.

公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好的推導.

排列的應用題是本節教材的難點,通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力.

在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的和數,這樣解釋比較直觀,

教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用.

在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列

數這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.

三、教法建議

①在講解排列數的概念時，要注意區分"排列數"與"一個排列"這兩個概念.一個排列是指

"從n個不同元素中，任取出個元素，按照一定的順序擺成一排"，它不是一個數，而是具體的一件

事;排列數是指"從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數"，它是一個數.例如，從3個元

素a,b,c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

ab,ac,ba,bc,ca,cb,

其中每一種都叫一個排列，共有6種,而數字6就是排列數，符號表示排列數.

②排列的定義中包含兩個基本內容，一是"取出元素"，二是"按一定頓序排列”.

從定義知,只有當元素完全相同并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列,元素完

全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.

在定義中“一定順序"就是說與位置有關,在實際問題中，要由具體問即的性質和條件來決定,

這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別.

在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列.

要特別注意，不加特殊說明,本章不研究重復排列問題.

③關于排列數公式的推導的教學.公式推導要注意緊扣乘法原理借助框圖的直視解釋來講解.

課本上用的是不完全歸納法，先推導，…,再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生

是不難理解的.

導出公式后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在"n"、

""比較復雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話："其中，公式右邊

第一個因數是n,后面每個因數都比它前面一個因數少1,最后一個因數是，共個因數相乘這實

際是講三個特點:第一個因數是什么?最后一個因數是什么?一共有多少個連續的自然數相乘.

公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點:⑴

在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行

變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使

這個公式在時也能成立，規定，如同時一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋.

④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解.

⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、

得出答數,這樣有利于學生得更加扎實.隨著學生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.

教學設計示例

排列

土地上有三個小區……所以共需3x5=15個實驗小區.

二、犧新果

學習了兩個基本原理之后,現在我們繼續學習排列問題，這是我們本節討論的重點.先從實例

入手：

1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？

由學生設計好方案并回答.

Q）用加法原理設計方案.

首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州,需要制2種飛機票,若起點站是上

海，終點站是北京或廣州,又需制2和飛機票;若起點站是廣州，終點站是北京或上海,又需要2種飛

機票,共需要2+2+2=6種飛機票

（2）用乘法原理設計方案.

首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一

個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站,由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站

去選.那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不

同方法共有3x2=6種.

根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票

再看一個實例.

在航海中，船艦常以"旗語"相互聯系，即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號.如有

紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定JK序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多

少種不同的信號？

找學生談自己對這個問題的想法.

事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起

可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數.

首先，先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；

其次,確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去

取，有2種方法.剩下那面旗子，放在晶氐位置.

根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3x2xl=6（種）.

根據學生的分析,由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況.（包括每個

位置情況）

第三個實例，讓全體學生都參力暇計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來

由數字123,4可以組成多少個沒有重復數字的三位數?寫出這些所有的三位數.

根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4x3x2=24（個）.

清板演的學生談談怎樣想的？

第一步，先確定百位上的數字.在123,4這四個數字中任取一個，有4種取法.

第二步，確定十位上的數字.當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字

去取，有3種方法.

第三步，確定個位上的數字.當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩

個數字中去取，有2種方法.

根據乘法原理，所以共有4x3x2=24種.

下面由教師提問，學生回答下列問題

Q）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方？

都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.

（2）取出的這些研究對象又做些什么？

實質上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況.

(3)請大家看書，第X頁、第X行.我們把被取的對象叫做雙元素,如上面問題中的民航站、旗子、

數字都是元素.

上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少

種不同的排法，后來又寫出所有排法.

第二個問題,就是從3個不同元素中，取出3個,然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法

和寫出所有排法.

第三個問題呢？

從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法，并

寫出所有的排法.

給出排列定義

請看課本，第x頁，第x行.一般地說，從n個不同的元素中，任取(wn)個元素(本章只研究被取出

的元素各不相同的情況)，按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排

列.

下面由教師提問，學生回答下列問題

Q)按著這個定義，結合上面的問題,請同學們談談什么是相同的排列?什么是不同的排列？

從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順

序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列.

如第一個問題中，北京一廣州，上海一廣州是兩個排列，第三個問題中,213與423也是兩個排

列.

再如第一個問題中，北京一廣州，廣州一北京;第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃;第三個問題中

231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列.

(2)還需要搞清楚一個問題，"一個排列”是不是一個數?

生："一個排列"不應當是一個數，而應當指一件具體的事.如飛機票"北京一廣州"是一個

排列，"紅黃綠"是一種信號,也是一個排列.如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問種

數不用把所有情況羅列出來，才是一個數.前面提到的第三個問題,實質上也是這樣的.

三、課堂練習

大家思考，下面的排列問題怎樣解？

有四張卡片，每張分別寫著數碼123,4.有四個空箱，分別寫著號碼123,4.把卡片放到空箱內,

每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法?（用投影儀示出）

分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個位置上，只要交換卡片位置就是不同的放法,

是個附有條件的排列問題.

解法是:第一步把數碼卡片四張中2,3,4三張任選一個放在第1空箱.

第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.

第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.

第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法，用下面圖表表示：

所以，共有9種放法.

四、作業

課本:P232練習1,23,4,5,6,7.

數學教案-排列教學目標

排列組合教案2

教學內容背景材料：

義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合

教學目標：

1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

2、經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。

3、培養學生有序地全面地思考問題的意識。

4、感受數學與生活的緊密聯系，培養學生學習數學的興趣和用數學方法解決問題的意識。

教學重點：

經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。

教學難點：

初步理解簡單事物排列與組合的不同。

教具準備：

乒乓球、衣服圖片、紙箱、每組三張數字卡片、吹塑紙數字卡片。

一、情境導入，展開教學

今天，王老師要帶大家去"數學廣角”里做游戲，可是，我把游戲要用的材料都放在這個密

碼包里。你們想解開密碼取出游戲材料嗎？（想）我給大家提供解碼的3個信息。

1.好，接下來老師提供解碼的第一個信息：密碼是一個兩位數。（學生在兩位數里猜）

（你們猜的對不對呢？請聽第二個解碼信息）

2.下面，提供解碼的第二個信息：密碼是由2和7組成的（學生說出27和72）°能說

說看你是怎么想的嗎？

3.下面，提供解碼的第三個信息：剛才說了密碼可能是27也可能是72。其實這個密碼

和老師的年齡有關。哪個才是真正的密碼是？（學生說出是27）到底是不是27呢？請看（教

師出示密碼）。真的是27,恭喜大家解碼成功！

二、多種活動，體驗新知

1、感知排列

師：請小朋友先到"數字宮"做個排數字游戲，好嗎？這有兩張數字卡片（1、2）（老師

從密碼包里拿出），你能擺出幾個兩位數？（用數字卡擺一擺）

生：我擺了兩個不同的數字12和21。（教師板書）

師：同學們想得真好。我又請來了一位好朋友數字3,現在有三個數字1、2、3,讓大家寫

兩位數，你們不會了吧？（會）別吹牛！（真的會）好，下面大家分組合作，組長記錄。看看你

們能夠寫出幾個不同的兩位數，注意不要重復，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數

字卡片擺一擺。好，開始。

學生活動教師巡視并參與學生活動。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找幾份重復

的或個數少的展示。）哪組同學來給大家匯報一下。（教師板書結果。）有沒有需要補充的.呀？

2、探琳例方法。

有的小組擺出4個不同的兩位數，有的小組擺出6個不同的兩位數，有什么好的方法能保

證既不重復，也不漏掉數呢？還請大家分組討論。看一看哪組同學的方法最好!（小組討論，分

組交流，學生總結方法。）哪組同學來給大家匯報一下你們的想法？

方法1:我擺出12,然后再顛倒就是21，再擺23,顛倒后就是32，再擺13,顛倒后就是

31,一共可以擺出6個兩位數。

方法2:我先把數字1放在十位上，然后把數字2和3分別放在個位組成12和13;我再

把數字2放在十位上，然后把數字1和3分別放在個位組成21和23；我再把數字3放在十位

上，然后把數字1和2分別放在個位上組成31和32，一共擺出了6個兩位數。3、老師和學

生共同評議方法：讓學生選擇自己喜歡的方法再擺一擺，學生試著總結。（如果學生說不出方法

2,老師就直接告訴學生）

3、感知組合。

①師：你們真是善于動腦的好孩子。來，咱們握握手，祝賀祝賀！加油！123

②提出問題：從大家剛才握手，老師想出了一個數學問題：三個小朋友，每兩個人只能握一

次手，一共要握幾次手呢？想一想！

生1:6次!

生2:4次!

師：到底是幾次呢？請小組長作裁判，小組內的三個同學，試一試，到底是幾次？

③學生匯報表演。小組長指揮說明。哪組同學愿意給大家表演一下？他們握手，咱們一起來

數吧！教師引導學生一起數握手的次數。（注意握過小朋友一邊休息）

④師問：A和B握手了嗎？B和A握手了嗎？這算一次還是兩次呀?

⑤小結：看來，兩個人相互握手，只能算一次，和順序無關。剛才排數,交換數的位置，就

變成另一個數了，這和順序有關。

三、反饋練習，加深理解

下面大家看這是什么呀？（老師從密碼包里拿出一個乒乓球）（乒乓球）這個是我昨天專門

買來的。定價5角。當時我的口袋里有1張5角的、2張2角，還有5個1角的硬幣。（師出

示所述人民幣）大家想一想我有多少種方法付給老板錢呢？（老師引導學生有序的說出付錢的四

種方法）

有了乒乓球老師就可以教大家打乒乓球了。不過我要先考考大家。每兩個人進行一場比賽，

三個人要比幾場？（指名答。）好的，大家真能干。下課老師就教你們的乒乓球好嗎？（好）。

今天是幾月幾日？（12月1日）哦！快到元旦了。小明準備在數學廣角舉辦的元旦晚會上

露一手。來一個時裝表演。他準備了4件衣服（教師貼出2件上衣和2件褲子），請你幫他設

計一下，有幾種穿法？誰來說一說？（指名答出四種穿法并演示）

大家感覺一下只有4種穿法，是不是有點少了呀？（是）小明也和大家想到一塊去了。于

是他又用自己的零花錢買了一條黑褲子（貼出）。大家再想一想現在一共有多少種穿法了呀？（6

種）除了剛才的4種，還有哪2種，誰來說一說？（生答完后，老師再引導學生有序地回憶6

種穿法）同學們真聰明。我在這里代表小明向大家說一聲：謝謝了！（沒關系）。對了。到時候

我們一定要去看小明的精彩表演！好不好？（好）

四、游戲活動，拓展應用

1、老師看大家學得這么開心，我們來做個抽獎游戲，想參加嗎？每個小朋友都有中獎的

機會哦。

①教師出示4個號球：老師這這里有四個號球：2、5、7、8。

②什么樣的號碼能中獎呢？我給你們透露點信息：中獎號碼就是從這4個數中選出的兩個

數組成的兩位數。猜猜什么號碼可能中獎？這個號碼可能中獎。再猜？你這個號碼也可能中獎。

看來，可能中獎的號碼有很多個。有什么好辦法肯定能中獎？（把你認為能中獎的號碼都寫出來

吧）（把用這四個數能組成的所有兩位數都寫出來，教師巡視，有的孩子寫出來8個兩位數，

她還在繼續寫，看來不止8個。你寫得越多你中獎的可能就越大）

③寫好了嗎？大家推舉一個人來摸獎吧。老師來當公證員行不行？學生先摸出一個球。中獎

號碼的最前面一個數出來了，是2,那中獎號碼可能是？25、27、28。再摸一個球。中獎號碼

是？

④你中獎了嗎？把你寫出的這個數圈出來。同桌互相看看，如果你卮位中獎了，請你給他畫

一面小紅旗。

⑤出示所有結果：孩子們，你剛才一共寫出了多少個兩位數？用2、5、7、8能組成的兩位

數究竟有多少個呢？咱們用剛才先固定最前面T立數的辦法把這些數者陰￡出來吧！老師寫，你們

說，好嗎？

2、老師給今天這節課表現最好的三位同學一張合影，清同學們想一想，三個人站成一行,

一共有多少種不同的排法？（指名答，教師總結）

這種排法剛才有沒有呀？我也糊涂了。怎樣才能搞清楚呢？對了，我們也可以用剛才先固定

最前面T立數的方法來排一排。（教師引導學生有順序的排一排）這樣有順序的排一下，我們都

清楚了。看來我們以后，不管在生活和學習中，做什么事情,想什么問題都要有順序的思考，這

樣才能考慮全面。其實生活中有許多有趣的數學問題，不管有多難，只要大家肯動腦筋，就一定

能解決。對不對？（對）

五、全課總結，升華情感

在數學廣角中還有許多地方等著大家去游玩，由于時間關系,今天我們大家就玩到這里。今

天你這節課最高興的是什么事？

六、板書設計

排列組合

121232578

1221122331252728

213213525758

72乃78

828587

排列組合教案3

求解排列應用題的主要方法：

直接法：把符合條件的排列數直接列式計算；

優先法：優先安邦噴殊元素或特殊位置

捆綁法：把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起ME列，同時注意捆綁元素的內部排列

插空法：對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排

列的空檔中

定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排

間接法：正難則反,等價轉化的方法。

例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數:

(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；

(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；

(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起；

(4)全體排成一行，男生不能排在一起；

(5)全體排成一行，男、女各不相鄰；

(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；

(7)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人；

(8)若排成二排，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法。

某班有54位同學，正、副班長各1名，現選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情

況中，各有多少種不同的選法？

⑴無任何限制條件；

(2)正、副班長必須入選；

(3)正、副班長只有一人入選；

(4)正、副班長都不入選；

(5)正、副班長至少有一人入選；

(5)正、副班長至多有一人入選；

6本不同的‘書，按下列要求各有多少種不同的選法：

(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；

(2)分為三份，每份2本;

(3)分為三份，一1分1本，一份2本，一份3本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少1本

例2、(1)10個優秀指標分配給6個班級，每個班級至少

一個，共有多少種不同的分配方法？

(2)10個優秀指標分配到1、2、3三個班，若名

額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法？

.(1)四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共

有多少種不同的放法？

(2)四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空

盒的放法有多少種？

排列組合教案4

解決排列組合應用題的基礎是：正確應用兩個計數原理，分清排列和組合的區別。

引例1

現有四個小組，第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人，他們參加旅游活動：

(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法。

(2)每組選一名組長，共有多少種不同的選法4

評述：本例指出正確應用兩個計數原理。

引例2

(1)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條?

(2)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？

評述：本例指出排列和組合的區別。

求解排列組合應用題的困難主要有三個因素的影響：

1、限制條件。2、背景變化。3、數學認知結構

排列組合應用題可以歸結為四種類型：

第一個專題排隊問題

重點解決：

1、如何確定元素和位置的關系

元素及其所占的位置這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主分析各種可能性，

稱為"元素分析法"；以位置為主，分析各種可能性，稱為"位置分析法"。

例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

分析：這可以說是一道較簡單的排列組合的題目了，但為什么有的同學能做出正確的答案

（種），而有的同學則做出容易錯誤的答案（種），而他們又錯在哪里呢？應該是錯在"元素"

與“位置”上了！

法一：元素分析法（以信為主）

第一步：投第一封信，有4種不同的投法；

第二步：接著投第二封信，亦有4種不同的投法；

第三步：最后投第三封信，仍然有4種不同的投法。

因此，投信的方法共有：（種）。

法二：位置分析法（以信箱為主）

第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法（種）；

第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，另外的某一個信箱有1封信，有投信方法種。

第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法（種）。

因此，投信的方法共有：64（種）

小結：以上兩種方法的本質還是"信"與"信箱"的對應問題。

2、如何處理特殊條件_特殊條件優先考慮。

例：7位同學站成一排，按下列要求各有多少種不同的、排法；

甲站某一固定位置；②甲站在中間，乙與甲相鄰；③甲、乙相鄰；④甲、乙兩人不能相鄰；

⑤甲、乙、丙三人相鄰；⑥甲、乙兩人不站在排頭和排尾；⑦甲、乙、丙三人中彳壬何兩人都不相

鄰；⑧甲、乙兩人必須相鄰，且丙不站在排頭和排尾。

第二個專題排列、組合交叉問題

重點解決：

1、先選元素，后排序。

例：3個大人和2個小孩要過河，現有3條船，分別能載3個、2個和1個人，但這5個

人要一次過去，且小孩要有大人陪著，問有多少種過河的方法？

分析：設1號船載3人，2號船載2人，3號船載2人，小孩顯然不能進第3號船，也不

能二個同時進第2號船。

法一：從"小孩"入手。

第一類：2個小孩同時進第1號船，此時必須要有大人陪著另外

2個大人同時進第2號船或分別進第2、3號船，先選3個大人之一進1號船，

有（種）過河方法

第二類：2個小孩分別進第1、2號船，此時第2號船上的小孩必須要有大人陪著，另外

2個大人同時進第1號船或分別進第1、3號船，有過河方法

（種）。

因此，過河的方法共有：（種）。

法二：從"船"入手

第一類：第1號船空一個位，此時3條船的載人數分別為2、2、1,故2個小孩只能分

別進第1、2號船，有過河方法（種）；

第二類：第2號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、1、1,故2個小孩只能同時

進第1號船，有過河方法（種）；

第三類：第3號船空—N立,此時3條船的載人數分別為3、2、0,故2個小孩同時進第1

號船或分別進第1、2號船，有過河方法（種）。因此，過河的方法共有：（種）。

2、怎樣界定是排列還是組合

例：①身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，從中間看兩邊，一個比一個矮，這

樣的排法有多少種？

②身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，兩邊次高，再兩邊次高，如此下去，這

樣的排法共有有多少種？

答：①種②=8種

本來①是組合題，與順序無關，但有些學生不加分析，看到排隊就聯想排列，這是一個誤區。

至于②也不全是排列問題，只是人自然有高低，按人的高低順次放兩邊就是了。

又例：7名同學排成一排，甲、乙、丙這三人的順序定，則不同排法有多少種？

分析，三人的順序定，實質是從7個位置中選出三個位置，然后按規定的順序放置這三人，

其余4人在4個位置上全排列。故有排法二840種。

3、枚舉法

三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，

則不同的傳球方式共有

（A）6種（B）8種（C）0種（D）12種

解：（枚舉法）該題新穎，要在考t據豆時間內迅速獲得答案，考慮互傳次數不多，所得選擇

的答案數字也不大，只要按題意一列舉即可。

第三個專題分堆問題

重點解決：

1、均勻分堆和非均勻分堆

關于這個問題，課本P146練習10如此出現：8個籃球隊有2個強隊,先任意將這8各隊

分成兩個組，（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分成在一個小組的概率是多少?

由于課本后面出現這樣的練習題，所以前面應對這些問題有所分析，尤其為什么均勻分堆有

出現重復？應舉例說明。

例：有六編號不同的小球，

①分成3堆，每堆兩個

②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3!重復，③是兩個均勻分堆，有

2!重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通過列舉

法說明重復的可能，以及避免重復。

例：有六編號不同的小球，

①分成3堆，每堆兩個

②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3!重復，③是兩個均勻分堆，有

2!重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通

過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。

答案：①②③④再乘以

2、為什么有重復，怎樣避免重復

例：從4名男生、5名女生中任選3人參加學代會，至少男生、女生各一名的不同選法有多

少種？

有些學生這樣想：先從4人中選一人，再從5人中選一人，最后在剩下的7人中選一人,

結果是結果是錯誤的。因為后面的7人與前面已選的人可能出現重

復，正確的答案是。

又例：有4個唱歌節目，4個舞蹈節目，2個小品排成一個節目單，但舞蹈和小品要相隔，

不同的編排有多少種方法？

有些學生這樣想,先定位4個唱歌，有5個蹣入小品兩個位，此時有7個位再插入4個

舞蹈，故的表達式是。

其實，這里又出現了重復，正確的列式是

第四個專題直接法和間接法的區別及運用

重點解決：

1、選擇集合的元素有交集問題；

例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有幾種不同的坐法？

法一：直接法

第一類：甲在第2-6號位中選一而坐，接著乙在第1-6位中余下的5個位中擇一而坐,

剩下的任意安排（種）；

第二類：甲在第7號坐，剩下的任意安排，有坐法數（種）。

因此，不同的坐法數共有（種）。

法二：間接法

七人并坐，共有坐法數（種）。甲坐首位，有種方法；乙坐末位，亦有種方法。甲坐首位、

乙坐末位都不符合題目要求，所以應該從扣除，但在扣除的過程中，甲坐首位且乙坐末位的情況

被扣除了2次，因此還須補回一個。因此，不同的坐法數有（種）

2、選擇元素中有至少、至多等問題。

在100件產品中,有98件合格品，2件次品，從100見產品中任意抽取3件，（1）至少

有一件是次品的抽法有多少種？（2）至多有一件次品的抽法有多少種？

答：（1）解法1：

解法2:

（2）

以上的處理，主要有如下幾個好處：

①教學比較自然、流暢，容易對近似概念進行比較，找到其相同點和不同點，更深刻的從外

延到內涵掌握概念及其數學意義。

②把相關概念弄清楚后，能給學生有足夠的工具，使學生解決應用題時不在被工具而困擾,

形成良好知識結構，解決問題的思路容易暢通

③重點突出，學生就比較容易把每一個難點和重點給予突破，減輕學生的負擔又能實現學生

的學習落到實處。

④由1高教學質量的前提下，又能提高效率。

排列組合教案5

教學目標：

1、知識目標：使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列規律。

2、能力目標：培養學生初步的觀察、分析和推理能力及有順序地、全面地思考問題的意識，

并通過互相交流，使學生體會解決問題策略的多樣性。

3、情感目標：

①使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，進一步體會數學與日常生活的密切聯系，嘗試

用數學的方法來解決實際生活中的問題，增強應用數學的意識，并使學生在數學活動中養成與人

合作的良好習慣。

②使學生在探索規律活動中獲得成功的體驗，增強對數學學習的興趣和信心。

教學重點：找出簡單排列與組合的規劃，并能解答簡單的排列與組合問題。

教學難點：簡單區分排列與組合的異同。

教學準備：數字卡片、、衣服圖片、多媒體課件

教學過程：

一、激趣導入

師：同學們，今天老師要帶你們到一個有趣的地方去玩，想去嗎？

板書：數學廣角

想去的話，要通過老師的考核才能去的。

猜一猜：我的年齡是由數字3和5組成的兩位數。

學生猜測并說明理由。

二、探究學習

1、3個數字可以擺出多少個不同的兩位數？

課件出示：猜一猜，我家座機號碼是0713-62147()()

先讓學生猜一猜。

師：你們這樣猜要猜到什么時侯啊?這樣吧，老師再給你提供一些信息：

剩下兩個數字是由1、3、8三個數字中的兩個。

(1)擺一擺

用手中的數字卡片擺一擺，共有幾種可能？

老師給同學們準備了三張數字卡片，請你們動手擺一擺,同桌合作，一個人擺數,一個人記

錄。同學們嘗試拼擺，并且將探究結果寫出來。

教師巡視，留意學生的'幾種答案：有序的(先確定十位的，先確定個位的)、無序的、有

遺漏的、有重復的。

(2)說一說

請幾名學生(有代表性的)匯報。呈現在黑板

師：哪些是對的？你喜歡哪一種？為什么？

(如果學生還是說不出，教師可以引導學生觀察有序的一種，1在什么位，1在十位的兩位

數能擺幾個，師可用卡片同時演示：除了1還有哪些數可以在十位，他們分別又有幾個兩位數？

像這位同學就是想到先確定十位。那么這位同學又是先確定什么的呢？或問除了先確定十位，還

有其他方法嗎？)

這樣先確定十位或個位的方法好在哪里？(板書不重復、不遺漏)

(3)猜數

師：范圍越來越小了，再給你些信息

課件再給出信息：這兩個數的和為9,個位不是8。

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提供更多的精品教學資源！《數學廣角——簡單的排列組合》教學設計2、組合

(1)恭喜你們，猜對了，你們考核過關！來，同桌互相握手祝賀一下。

師：同桌2人互相握手幾次？演示兩人握手，可以說我和你握手，也可以說你和我握手,

但算握手的次數的話，算幾次？

這里也有三位小朋友在握手，她們是怎么握的？出示：每兩人握手一次，三人共要握幾次？

要說清楚握了幾次，怎么握的，他們沒名字怎么說得清楚？你覺得剛才說的方法麻煩不麻煩？

怎樣表示才能又清楚又簡潔？

對啊，我們數學有自己的語言，可以用符號、圖形來表示，更快更清晰。（師標上1、2、3）

（2）想一想，寫一寫

（3）為什么三個數排成6個兩位數，握手只有三次？（課件出示）

師小結：生活中很多事情需要我們有序地思考，有些與順序有關，有些與順序無關，比如搭

配衣服。

三、鞏固提升

1、搭配R服

該出發了，老師想打扮得漂亮些。這里有二件上衣和二條褲子，你能幫老師選一套衣服嗎？

該怎么搭配呢？有幾種不同的搭配方案?

師：你們擺出了幾種不同的搭配方法？是怎么想的？

請生上臺展示。

師：現在老師提出更高的要求.如果老師要你們把剛才的想法用連線的辦法表示出來，你們

會嗎？

生骸習本上連線。

2、照相排隊

小麗、小芳、小美三人想站成一排拍照留念，她們有幾種站法？

生上臺演示。得出一共有6種不同的站法。

師有沒有更簡便的方法展示她們三人的站法？用你自己喜歡的方式試試吧。（可以是文字,

符號，數字等)

4、路線

課件出示：從數學廣角回到家中有幾條路可走？

你會選擇那條路呢？

學生討論，匯報。

5、電話號碼

師：在數學廣角玩的開心嗎？記得有什么開心的事要打電話讓老師也聽聽。

課件出示：老師的手機號碼：18942167()()()

最后三個數字是由1、6、8組成的，猜一猜，老師的手機號碼可能是多少呢？

四、拓展延伸

師：今天我們在數學廣角里玩，你有什么收獲？

生自由發言

師：老師課后留了一個小問題，請同學們討論好之后告訴我。

課件：09里面是不是任意三個不同的一位數字，都能排成6個兩位數呢？

排列組合教案6

教學目標：

1、使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列組合規律。

2、培養學生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。

3、使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的問題。

使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣。

教學過程：

一、創設增境，激發興趣。

師：今天我們要去"數學廣角樂園"游玩，你們想去嗎?

二、操作探究，學習新知。

＜一＞組合問題

I、看一看，說一說

師：那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。（課件出示主題圖）

師引導思考：這么多漂亮的衣服，你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢？（指名學

生說一說）

2、想一想，擺一擺

（I）引導討論：有這么多種不同的穿法，那怎樣才能做到不遺漏、不重復呢？

①學生小組討論交流，老師參與小組討論。

②學生匯報

（2）引導操作：小組同學互相合作，把你們設計的穿法有序的貼在展示板上。（要求：小

組長拿出學具衣服圖片、展示板）

①學生小組合作操作擺，教師巡視參與小組活動。

②學生展示作品，介紹搭配方案。

③生生互相評價。

（3）師引導觀察：

第一種方案（按上裝搭配下裝）有幾種穿法？（4種）

第二種方案（按下裝搭配上裝）有幾種穿法？（4種）

師小結：不管是用上裝搭配下裝，還是用下裝搭配上裝，只要做到有序搭配就能夠不重復、

不遺漏的把所有的方法找出來。在今后的學習和生活中，我們還會遇到許多這樣的問題，我們都

可以運用有序的思考方法來解決它們。

＜二＞排列問題

師：數學廣角樂園到了，不過進門之前我們必須找到開門密碼。(課件出示課件密碼門)

密碼是由1、2、3組成的兩位數.

(1)小組討論擺出不同的兩位數，并記下結果。

(2)學生匯報交流(老師根據學生的回答，點擊課件展示密碼)

(3)生生相互評價。方法一:每次拿出兩張數字卡片能擺出不同的兩位數；

方法二：固定十位上的數字，交換個位數字得到不同的兩位數；

方法三：固定個位上的'數字，交換十位數字得到不同的兩位數.

師小結：三種方法雖然不同，但都能正確并有序地擺出6個不同的茯位數，同學們可以用自

己喜歡的方法.

三、課堂實踐，鞏固新知。

1、乒乓球賽場次安排。

師：我們先去活動樂園看看，這兒正好有乒乓球比賽呢.(課件出示情境圖)

(I)老師提出要求：每兩個運動員之間打一場球賽，一共要比幾場？

(2)學生獨立思考.

(3)指名學生匯報.規

2、路線選擇。(課件展示游玩景點圖)

師:我們去公園看看吧。途中要經過游戲樂園。

(I)師引導觀察：從活動樂園到游戲樂園有幾條路線？哪幾條？(甲，乙兩條)從游戲樂園去

公園有幾條路線？哪幾條？(A,B,C三條)(根據學生的回答課件展示)

從活動樂園到時公園到底有幾種不同的走法？

(2)學生獨立思索后小組交流o

(3)全班同學互相交流。

3、照像活動。

師：我們來到公園，這兒的景色真不錯，大家照幾張像吧.

師提出要求：攝影師要求三名同學站成一排照像，每小組根據每次合影人數(雙人照或三人

照)設計排列方案，由組長作好活動記錄。

(1)小組活動，老師參與小組活動O

(2)各小組展示記錄方案。

(3)師生共同評價.

4、欣賞照片.

師：在同學們照像的同時，小麗一家三口人也正在照像呢，看看她們是怎樣照的.(課件展

示照片集欣賞)

四、總結

今天的游玩到此結束，同學們互相握手告別好嗎？如果小組里的四個同學每兩人握一次手,

一共要握幾次手？

排列組合教案7

數學廣角是義務教育課程標準實驗教科書二年級上冊開始新增設的一個單元，是新教材在向

學生滲透數學思想方法方面做出的新嘗試。本課內容重在向學生滲透簡單的排列組合的數學思想

方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識。排列組合的思想方法不僅應用廣泛,

而且是高年級學習概率統計知識的基礎，同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。

本課內容是學生在小學階段初次接觸有關排列組合的知識，但是在E常生活中，有很多事情

是用排列組合來解決的，如：衣服的搭配、路線選擇等等，作為二年級的學生，已經有了一定的

生活經驗，因此在學習中安排生動有趣的活動幫助學生感知排列組合的婦識。

教必有法而教無定法，只有方法得當，才會有效。根據本課教學內容的特點和學生的思維特

點，我采用情境教學法、操作發現法、直觀演示的教學方法。為使學生能夠有效地學習，主動的

建構知識。我采用合作交流法、動手操作法、自主探究的學習方法，讓學生在一系列活動中感知

排列組合。旨在凸顯三模小組化的教學模式從根本上改變傳統教育重教師教輕學生學的做法，

突出學生的主體地位，培養學生自主學習能力。讓學生去自學、去嘗試、去探究、去發現、去解

決。在課堂教學中，實現了以下三種轉變：創境引題變說出為引入；先學后教變被動為主動；展

示反饋變學會為會學。

教學過程設計：

（一）創境引題變說出為引入

藍貓是學生喜歡的形象，本課我設計了藍貓帶大家去數學廣角游玩的情境并貫穿全課。

談話導入：小朋友，今天藍貓要帶我們一起到數學廣角參觀，你們高興嗎？哎，快看，數學

廣角的大門是有密碼鎖的，要進去必須得到密碼才行。這時有學生可能會發出疑問或者提出問題：

密碼是幾位數啊？密碼符合什么條件啊？.藍貓告訴大家：密碼是1和2組成的兩位數，學生

很快就找出了答案：12或21,但不能確定是哪個，同學們，密碼是10-20之間，學生判斷出

是12。我對判斷出是12的'學生進行表揚和獎勵,讓他們一開始上課就獲得了成功的體驗。這

樣設計調動了學生的學習興趣，營造了活躍的課堂氣氛，又在破譯密碼的過程中，滲透了簡單的

排列知識，為新課的學習做了良好的鋪墊。

（二）先學后教變被動為主動

1、小組合作學習探究用1、2、3能組成幾個不同的兩位數，感知排列知識。

首先出示導學案簡潔明了，為學生合作學習指明了方向，讓學生結合導學案先學。這時學生

小組合作拿出數字卡片，在小組內擺一擺、寫一寫、說一說，并記錄下結果。給學生一個自主學

習的空間，教師在輔導過程中能夠了解學生的學習情況，為后面的交流展示做好準備。而我則重

點指導學生要邊擺邊說，培養學生動手操作、動口表達、動腦思考的有機結合。接著鼓勵學生小

組一起上臺展示，在展示時，有的學生講，有的學生寫，其他成員補充，這樣體現了小組合作的

重要性。教師故意選擇了三個不同方法的小組展示，根據學生的交流匯報板書三種情況：(1)

固定排頭的方法12、13、21、23、31.32;(2)固定排尾的方法21、31、12、32、13、

23;(3)個位十位交換位置的方法12、21、13、31、23、32。通過對比交流，發現既不重

復也不遺漏的應該是6個，我接著追問:怎樣才能做到即不重復、又不遺漏的寫出這6個數呢？

這時學生各抒己見，說出自己的好辦法，我對學生的方法加以肯定并表揚：你們的方法真好，我

們只要按照一定的順序去寫，就不會重復和遺漏了，并將其概括為：有序列舉，這是一次數學思

想方法的滲透，也是本課教學的重點。為了突破出這個教學重點并讓學生充分感受有序列舉的好

處，我接著讓學生觀察這三種方法，說一說你喜歡哪一種？為什么？通過學生的敘述加深了學生

對有序列舉的感受。

讓學生在交流中互相學習，思鏤碰撞產生新的火花，發散學生思維,效果不同凡響。使學生

了解不同的方法，把不同的排列進行對比，克服學生思維定式，有利于學生從多角度理解排列知

識從而深刻理解排列的內涵揭示排列的本質使學生對數字的排列有了一個更高層次的認識。

讓學生當小老師上臺展示交流，既可以鍛煉這部分學生的膽量，又借學生之口來講解老師要講的

內容，臺下學生聽得更認真，同時能讓老師站在學生的角度觀察思考，進而進行查漏補缺，釋疑

解惑，重點講解，難點辨析，這樣老師教的輕松，學生學得扎實。而且因為學生自已整理出來的

知識結構，往往是最貼切學生的認知能力的，從中也最能暴露學生知識的盲點，有助于教師的矯

正。這樣的教學利于學生主體性地發揮，把學習的主動權還給學生，讓學生在平等交流中體驗互

助合作的神奇，完善健康的人格個性。在這一環節領袖兒童脫穎而出。

2、小組合作握手游戲，感知組合知識。

承上一活動，門終于開了同學互相握手表示祝賀，從而引出：三個人之間可以握幾次手呢？

先讓學生猜猜看？經過上面的學習，學生可能會猜是6次，也有的可能猜是3次，到底是幾次

呢？學生親自握手試一試！此時我也走下講臺參與到學生的活動中，并重點指導有順序的握手。

小組活動結束后，請一小組上臺展示握手情況，在鞏固了有序思考問題的同時，引導學生用圖示

來表示握手的方法。這樣設計，既能使學生在握手的游戲中體驗知識的形成過程，又可以作為課

中活動,使學生在此放松，達到一舉兩得的效果。另外，用圖示來抽象形象的表示握手的方法,

這又是一次數學思想方法的滲透。

3、對比發現，區分排列組合。

在上一個環節中，學生通過握手游戲，對組合的規律進行了本質的探究，在活動中已經感受

到了排列與組合的不同。我以一個問題引入同樣是3,為什么3個數字可以擺6個兩位數，而3

個人卻只能握3次手？這個問題是本課教學的難點，我采取的是在操作活動中對比感知排列與

組合的不同，在同伴的交流和啟發中發現，兩個數字交換位置變成了兩個數，而握手時兩個人即

使換位置還是這兩個人，所以就是一次。由于數學知識很多時候都顯得枯燥無味，在這我利用

兒歌朗朗上口的特點,學生更容易記住，編了一個溫馨提示。那么我也及時的做出小結并揭題：

前面擺卡片的情況是與I順序有關的叫排列，而握手的情況是與順序沒有關系的叫組合。從而突破

了教學的難點。

（三）展示反饋變學會為會學

根據｛氐年級學生的心理特征和本節課的教學重難點，我在練習設計時注重了目標明確、重點

突出、形式多樣、有趣味性、聯系生活，從而體會生活中處處有數學。仍然圍繞藍貓問題為情境，

以搭配、起名、走路、號碼為載體，以訓練為主線，以培養領袖兒童各種能力為目的，給學生搭

建了一個展示反饋的平臺，讓所學的排列組合知識在這里得到應用，讓學生的參與熱情在這里得

到高漲，讓整節課在這里得到升華。

1、搭配問題

藍貓想請大家為它搭配一套漂亮的衣服用一件上裝搭配一件下裝能搭配幾套呢？將衣服圖

片貼在黑板上，學生感覺很新鮮，積極參與，學生說的同時師連線其實也在滲透一種作圖方法，

并且用兩種顏色的筆區分開來，潛移默化的讓學生感受固定上衣的方法，老師并不滿足現狀，而

是趁熱打鐵追問到：除此之外，還有哪些方法？進而啟發得出還有固定下裝的方法。這種發散問

題主要是培養學生從多角度、多方面、多領域去認識客觀事物。

2、起名問題

藍貓請大家用孫、行、者這三個字給孫悟空取名字，看能給它取多少個名字？我讓三個學生

戴生字頭飾排隊，學生頓時興趣高漲，在排隊游戲中鞏固排列知識。

3、走路問題

藍