第二節一元二次不等式及其解法總綱目錄教材研讀1.“三個二次”的關系考點突破2.

(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集考點二一元二次不等式恒成立問題考點一一元二次不等式的解法教材研讀1.“三個二次”的關系2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

口訣:大于取兩邊、小于取中間.1.函數f(x)=

的定義域為

()A.[0,3]

B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞)

D.(-∞,0)∪(3,+∞)A答案

A要使函數f(x)=

有意義,則3x-x2≥0,即x2-3x≤0,解得0≤x≤3.2.不等式

≤0的解集為

(

)A.{x|x<1或x≥3}

B.{x|1≤x≤3}C.{x|1<x≤3}

D.{x|1<x<3}答案

C由

≤0,得

解得1<x≤3.C3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實數a的取值集合是

()A.{a|0<a<4}

B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}

D.{a|0≤a≤4}D答案

D

a=0時,滿足條件;a≠0時,由題意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤

4,所以0≤a≤4,故選D.4.不等式-x2-3x+4>0的解集為

(-4,1)

.(用區間表示)答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等價于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若不等式ax2+bx+2>0的解集為

,則a+b=

-14

.答案-14解析由題意知x1=-

,x2=

是方程ax2+bx+2=0的兩個根,則

解得

(經檢驗滿足題意).∴a+b=-14.考點一一元二次不等式的解法考點突破典例1解下列不等式:(1)19x-3x2≥6;(2)8x-1≤16x2;(3)0<x2-x-2≤4;(4)ax2-(a+1)x+1<0.解析(1)解法一:原不等式可化為3x2-19x+6≤0,函數y=3x2-19x+6的圖象開口向上且與x軸有兩個交點

和(6,0),所以原不等式的解集為

.解法二:原不等式可化為3x2-19x+6≤0,即(3x-1)(x-6)≤0,所以

(x-6)≤0,所以原不等式的解集為

.(2)8x-1≤16x2?16x2-8x+1≥0?(4x-1)2≥0,∴對于任意的x∈R,原不等式都成立,∴原不等式的解集為R.(3)原不等式等價于

?

?

?

利用數軸(如圖)可知,原不等式的解集為{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.

(4)原不等式可變形為(ax-1)(x-1)<0,當a=0時,原不等式的解集為{x|x>1};當a≠0時,原不等式可變形為a

(x-1)<0.若a<0,則

(x-1)>0,∴x<

或x>1.若a>0,則

(x-1)<0,∴當a>1時,原不等式的解集為

;當a=1時,原不等式的解集為?;當0<a<1時,原不等式的解集為

.綜上,當a<0時,原不等式的解集為

;當a=0時,原不等式的解集為{x|x>1};當0<a<1時,原不等式的解集為

;當a=1時,原不等式的解集為?;當a>1時,原不等式的解集為

.規律總結1.解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化:把不等式變形為二次項系數大于零的標準形式.(2)判:計算對應方程的判別式,根據判別式判斷方程有沒有實根(無實根

時,不等式解集為R或?).(3)求:求出對應的一元二次方程的實根.(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.2.解含參數的一元二次不等式時分類討論的方法(1)當二次項系數中含有參數時,應討論二次項系數是等于0,小于0,還是

大于0,然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的形式.(2)當不等式對應的一元二次方程的根的個數不確定時,討論判別式Δ與

0的關系.(3)確定無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大

小關系,從而確定解集形式.1-1解下列不等式:(1)-4x2+12x-9<0;(2)

≥-1.解析(1)由題知4x2-12x+9>0,變形得(2x-3)2>0,即

>0,∴x≠

,即不等式的解集為

.(2)將原不等式移項通分得

≥0,等價于

所以原不等式的解集為

.典例2已知不等式mx2-2x-m+1<0.是否存在實數m,使對所有的實數x不

等式恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.考點二一元二次不等式恒成立問題命題方向一形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)恒成立,求參數范圍解析不存在.理由如下:設f(x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函數f(x)=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下

方.當m=0時,f(x)=1-2x,令1-2x<0,則x>

,不滿足題意;當m≠0時,函數f(x)=mx2-2x-m+1為二次函數,需滿足圖象開口向下且方程mx2-2x-m+1=0無解,即

此方程組無解.綜上,不存在滿足題意的m.典例3已知函數f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,

則實數m的取值范圍是

.命題方向二形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])恒成立,求參數范圍答案

解析要滿足f(x)=x2+mx-1<0對于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需

即

解得-

<m<0.典例4對任意m∈[-1,1],函數f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的

取值范圍.命題方向三形如f(x)>0或f(x)<0(參數m∈[a,b])恒成立,求x的范圍解析

f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由題意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,∴

解得x<1或x>3.故當x<1或x>3時,對任意的m∈[-1,1],函數f(x)的值恒大于零.方法技巧一元二次不等式恒成立問題的求解思路(1)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)的不等式確定參數的范圍時,結合一元二次

方程,利用判別式來求解.(2)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])的不等式確定參數范圍時,要根據函數f(x)的單調性,求其最小值(或最大值),使最小值大于0(或最大值小于0),從

而求參數的范圍.(3)形如f(x)>0或f(x)<0(參數m∈[a,b])的不等式確定x的范圍時,要注意變

換主元,一般地,知道誰的范圍,就選誰當主元,求誰的范圍,誰就是參數.2-1不等式x2-2x+5≥a2-3a對任意實數x恒成立,則實數a的取值范圍為

()