§14.3坐標系與參數方程第2課時參數方程基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.參數方程和普通方程的互化(1)曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以

從參數方程得到普通方程.(2)如果知道變數x，y中的一個與參數t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系y＝g(t)，那么

就是曲線的參數方程.知識梳理通過消去參數2.常見曲線的參數方程和普通方程點的軌跡普通方程參數方程直線y－y0＝tanα(x－x0)_________________________圓____________橢圓______________________x2＋y2＝r2雙曲線拋物線y2＝2px(p>0)考點自測將直線l的參數方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.解答直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.解答3.已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線 (t為參數)上，求PF的值.解答將拋物線的參數方程化為普通方程為y2＝4x，則焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，又P(3，m)在拋物線上，由拋物線的定義知PF＝3－(－1)＝4.解答題型分類深度剖析題型一參數方程與普通方程的互化例1

(2016·全國甲卷)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；解答由x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ可得圓C的極坐標方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R).設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.解答消去參數的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數的表示式，然后代入消去參數；(2)利用三角恒等式消去參數；(3)根據參數方程本身的結構特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數.將參數方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據參數的取值范圍，確定函數f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.思維升華解答因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點．解答直線l的普通方程為x－y－a＝0，∴橢圓C的右頂點坐標為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.題型二參數方程的應用(1)求直線l和圓C的普通方程；直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16.解答(2)若直線l與圓C有公共點，求實數a的取值范圍.解答因為直線l與圓C有公共點，已知圓、圓錐曲線的參數方程解決有關問題時，一般是把參數方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等.思維升華解答曲線C1的普通方程為x2＋y2＝5(x≥0，y≥0).曲線C2的普通方程為x－y－1＝0.∴曲線C1與C2的交點坐標為(2,1).題型三極坐標方程和參數方程的綜合應用例3

(2016·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為

解答極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(t為參數，a>0).在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的消去參數t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解答曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcos

θ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcos

θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上.所以a＝1.在對坐標系與參數方程的考查中，最能體現坐標法的解題優勢，靈活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答.例如，將題設條件中涉及的極坐標方程和參數方程等價轉化為直角坐標方程，然后在直角坐標系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應數學問題求解的“化生為熟”原則，充分體現了轉化與化歸的數學思想.思維升華(1)求圓心的極坐標；解答由圓C的極坐標方程為即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圓心坐標為(1，－1)，(2)求△PAB面積的最大值.解答課時作業解答12345678910∴x＝0或x＝1.∴所截得的弦長為2.12345678910解答12345678910直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，直線與圓相切，123456789103.(2016·蘇州模擬)已知直角坐標系xOy中，直線l的參數方程：

(t為參數)，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程.解答∴以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標方程為ρ＝1.123456789104.(2015·湖北)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲解答線C的參數方程為 (t為參數)，l與C相交于A，B兩點，求AB的長.12345678910直線l的極坐標方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化為直角坐標方程為3x－y＝0，12345678910123456789105.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數)，在以O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為ρsin(θ＋)＝2，求曲線C1與曲線C2的交點個數.解答曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標方程分別為x2＝2y，x＋y－4＝0，所以方程有兩個實數解.故曲線C1與曲線C2的交點個數為2.123456789106.在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為

解答(t為參數)，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長.12345678910123456789107.(2016·全國丙卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為

(α為參數)，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin

＝2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標系方程；解答12345678910(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標.因為C2是直線，所以PQ的最小值即為P到C2距離d(α)的最小值，解答12345678910解答(1)當α＝

時，求C1與C2的交點坐標；12345678910C2的普通方程為x2＋y2＝1，12345678910解答(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當α變化時，求P點軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線.12345678910依題意，C1的普通方程為xsin

α－ycos

α－sinα＝0，則A點的坐標為(sin2α，－sinαcos

α)，故當α變化時，12345678910解答(1)求圓C的直角坐標方程；12345678910又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，12345678910(2)點P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ－)的公共點，求

x＋y的取值范圍.解答12345678910所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范圍是[－2,2].1234567891010.(2016·江蘇命題研究專家原創題)在平面直角坐標系xOy中，動圓x2＋y2－4