/福建省南平市建陽第二中學2021-2022學年高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是

（

▲

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C2.下列選項中，錯誤的是（）Ａ．“度”與“弧度”是度量的兩種不同的度量單位Ｂ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的Ｃ．根據弧度的定義，一定等于弧度Ｄ．不論是用角度制還是弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關參考答案：D3.已知函數f（x）對任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，且當x＞0時，f（x）=ln（x+1），則函數f（x）的大致圖象為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】奇偶函數圖象的對稱性；對數函數的圖象與性質．【分析】先由函數的奇偶性排除選項A、B，再由對數函數的圖象變換及其性質選出正確選項【解答】解：∵函數f（x）對任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，∴函數f（x）為R上的奇函數，圖象關于原點對稱，排除A、B將y=lnx的圖象向左平移1個單位長度，即可得到f（x）=ln（x+1）的圖象，由對數函數的圖象性質排除C故選D4.如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網格的格點上，則向量用基底，表示為A.

B.C.

D.參考答案：C5.函數在區間[0,2]的最大值是

參考答案：-4

6.數列{an}前n項的和Sn=3n+b（b是常數），若這個數列是等比數列，那么b為(

) A．3 B．0 C．﹣1 D．1參考答案：C考點：等比數列的前n項和．專題：計算題．分析：根據數列的前n項的和減去第n﹣1項的和得到數列的第n項的通項公式，即可得到此等比數列的首項與公比，根據首項和公比，利用等比數列的前n項和的公式表示出前n項的和，與已知的Sn=3n+b對比后，即可得到b的值．解答： 解：因為an=Sn﹣Sn﹣1=（3n+b）﹣（3n﹣1+b）=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，所以此數列為首項是2，公比為3的等比數列，則Sn==3n﹣1，所以b=﹣1．故選C點評：此題考查學生會利用an=Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式，靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道基礎題．7.不等式的解集為（

）A．或

B．C．或

D．參考答案：B結合二次函數的圖象解不等式得，∴不等式的解集為．故選B．

8.若，則下列各式正確的是A

B

C

D參考答案：D略9.如果函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=﹣對稱，那么a等于（） A． B．1 C． D．﹣1參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；兩角和與差的正弦函數． 【分析】將函數y=sin2x+acos2x利用輔角公式化簡，再根據正弦函數在對稱軸上取最值可得方程，進而可得答案． 【解答】解：由題意知 y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ） 當時函數y=sin2x+acos2x取到最值± 將代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]= 解得a=﹣1 故選D． 【點評】本題的考點是正弦型三角函數，主要考查三角函數的輔角公式和正弦函數的對稱性問題，考查學生分析解決問題的能力．屬基礎題． 10.已知2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比數列，2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差數列，則b2（a2﹣a1）=（）A．﹣8 B．8 C． D．參考答案：B【考點】8M：等差數列與等比數列的綜合．【分析】運用等比數列的通項公式，可得公比q，再由等比數列的定義可得a2﹣a1，再由等差數列中項的性質，結合對數的運算性質可得b2，即可得到所求值．【解答】解：設等比數列的公比為q，由2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比數列，可得：q3==28，即有q=2，即=q=2，可得a2﹣a1=；2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差數列，可得2log3b2=2+0，解得b2=3，則b2（a2﹣a1）=3×=8．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求過(2,3)點，且與(x－3)2＋y2＝1相切的直線方程為參考答案：或12.△ABC的三個內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件：（1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）2R(sin2A－sin2C)=(a－b)sinB有兩個結論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題

．參考答案：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式變形得到關于a，b及c的關系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的關系式代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出C為60°，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C為三角形的內角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數值得到B=C，從而得到三角形為等邊三角形；若（2）（4）→乙，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C為三角形的內角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數值得到B=C，再利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，從而得到三角形為等腰直角三角形；若（3）（4）→乙，利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，再利用正弦定理化簡（3）中的兩等式，分別表示出sinA，兩者相等再利用二倍角的正弦函數公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都為三角形的內角，可得B=C，從而得到三角形為等腰直角三角形．三者選擇一個即可．【解答】解：由（1）（2）為條件，甲為結論，得到的命題為真命題，理由如下：證明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，變形得：a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，則cosC==，又C為三角形的內角，∴C=60°，又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，則A=B=C=60°，∴△ABC是等邊三角形；以（2）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：證明：化簡得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，∴b=c，由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，則三角形為等腰直角三角形；以（3）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：證明：由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，又b=acosC，c=acosB，根據正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴=，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內角，∴2B=2C，即B=C，則三角形為等腰直角三角形．故答案為：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【點評】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，勾股定理，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定與性質，屬于條件開放型題，是一類背景新、解題活、綜合性強、無現成模式的題型．解答此類題需要運用觀察、類比、猜測、歸納、推理等多種探索活動尋求解題策略．13.已知，若，則_____.參考答案：【分析】利用倍角公式和同角的三角函數的基本關系式化簡后即得.【詳解】因為，故，因，故，故即.【點睛】三角函數的化簡求值問題，可以從四個角度去分析：（1）看函數名的差異；（2）看結構的差異；（3）看角的差異；（4）看次數的差異．對應的方法是：弦切互化法、輔助角公式（或公式的逆用）、角的分拆與整合（用已知的角表示未知的角）、升冪降冪法．14.函數的單調遞減區間是______________．參考答案：(－∞,1)函數有意義，則：，解得：或，二次函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，函數是定義域內的增函數，結合復合函數的單調性可得函數的單調遞減區間是.

15.在中，則

.參考答案：16.f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，且在（﹣∞，0]上是增函數，設a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），則a，b，c大小關系是

．參考答案：c＞a＞b【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】轉化思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】對于偶函數，有f（x）=f（|x|），在[0，+∞）上是減函數，所以，只需比較自變量的絕對值的大小即可，即比較3個正數|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小，這3個正數中越大的，對應的函數值越小．【解答】解：f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，且在（﹣∞，0]上是增函數，故f（x）在[0，+∞）上是減函數，∵a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），∵log47=log2＞1，∵=﹣log23=﹣log49＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|＞0，∴f（0.20.6）＞f（log47）＞f（），即c＞a＞b，故答案為：c＞a＞b．【點評】本題考查偶函數的性質，函數單調性的應用，屬于中檔題．17.設函數的定義域為，若存在非零實數，使得對于任意，有，則稱為上的高調函數，若定義域是的函數為上的高調函數，則實數的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知命題有兩個不相等的負根，命題無實根，若為真，為假，求的取值范圍．參考答案：解析：有兩個不相等的負根．無實根．由為真，即或得；為假，或為真，為真時，，為真時，或．或為真時，或．所求取值范圍為19.（15分）在中,角,,對應的邊分別是,,.已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積,,求的值.參考答案：（1）

（6分）（2）由面積可得，再由余弦定理得，再由正弦定理得，(9分)

20.已知數列{an}滿足,．（Ⅰ）求證：數列是等比數列；（Ⅱ）比較與的大小，并用數學歸納法證明；（Ⅲ）設，數列的前項和為，若對任意成立，求實數的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）見證明（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據等比數列定義證明，（Ⅱ）先求，再根據數學歸納法證明，（Ⅲ）先化簡，再利用裂項相消法求和得，最后根據最大值得結果.【詳解】（Ⅰ）且,是以3為首項，為公比的等比數列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用數學歸納法證明（1）當時,（2）假設當時,,當時,,即當時,結論成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因為【點睛】本題考查證等比數列、數學歸納法以及裂項相消法求和，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.21.（本小題滿分14分）對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件：①在內單調遞增或單調遞減；②存在區間，使在上的值域為；那么把（）叫閉函數，且條件②中的區間為的一個“好區間”．（1）求閉函數的“好區間”；（2）若為閉函數的“好區間”，求、的