專題18機械振動目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一簡諧運動的基本特征及應用 1類型1簡諧運動基本物理量的分析 1類型2簡諧運動的周期性與對稱性 5類型3彈簧振子的動力學、能量特征分析 8題型二簡諧運動的表達式和圖像的理解和應用 15題型三單擺及其周期公式 21類型1單擺的受力特征及周期公式的應用 22類型2單擺的振動圖像及運動學特征 27題型四受迫振動和共振 31類型1受迫振動概念及規律的理解應用 31類型2共振曲線的應用 33類型3“驅動擺”的分析 35題型一簡諧運動的基本特征及應用對簡諧運動的理解受力特點回復力F＝－kx，F(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反運動特點靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小能量振幅越大，能量越大．在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒周期性做簡諧運動的物體的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為eq\f(T,2)對稱性(1)如圖所示，做簡諧運動的物體經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等(2)物體由P到O所用的時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′(3)物體往復過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO(4)相隔eq\f(T,2)或eq\f(2n＋1T,2)(n為正整數)的兩個時刻，物體位置關于平衡位置對稱，位移、速度、加速度大小相等，方向相反類型1簡諧運動基本物理量的分析【例1】如圖所示，質量為m的物塊放置在質量為M的木板上，木板與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運動，周期為T，振動過程中m、M之間無相對運動，設彈簧的勁度系數為k，物塊和木板之間的動摩擦因數為μ，則下列說法正確的是（）A．若t時刻和（t＋Δt）時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則Δt一定等于的整數倍B．若Δt＝，則在t時刻和（t＋Δt）時刻彈簧的長度一定相同C．研究木板的運動，彈簧彈力充當了木板做簡諧運動的回復力D．當整體離開平衡位置的位移為x時，物塊與木板間的摩擦力大小等于kx【答案】D【詳解】A．設位移為x，對整體受力分析，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據牛頓第二定律，有對物塊受力分析，受重力、支持力和靜摩擦力，靜摩擦力提供回復力，根據牛頓第二律，有解得若t時刻和（t＋Δt）時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則兩個時刻物塊的位移大小相等，方向相反，位于相對平衡位置對稱的位置上，但Δt不一定等于的整數倍，故A錯誤；B．若Δt＝，則在t時刻和（t＋Δt）時刻物塊的位移大小相等，方向相反，位于相對平衡位置對稱的位置上，彈簧的長度不一定相同，故B錯誤；C．由開始時的分析可知，研究木板的運動，彈簧彈力與物塊對木板的摩擦力的合力提供回復力，故C錯誤；D．整體離開平衡位置的位移為x時，物塊與木板間摩擦力的大小等于，故D正確。故選D。【例2】．一根用絕緣材料制成的輕彈簧，勁度系數為k，一端固定，另一端與質量為m、帶電量為的小球相連，靜止在光滑絕緣的水平面上，當施加一水平向右的勻強電場E后（如圖所示），小球開始作簡諧運動，關于小球運動有如下說法中正確的是（）A．球的速度為零時，彈簧伸長B．球做簡諧運動的振幅為C．運動過程中，小球的機械能守恒D．運動過程中，小球動能的改變量、彈性勢能的改變量、電勢能的改變量的代數和為零【答案】D【詳解】AB．小球做簡諧運動，在平衡位置，有解得小球到達最右端時，速度為零，此時彈簧的形變量為2倍A，即故AB錯誤；C．由于電場力和彈力對小球做功，則小球的機械能不守恒，故C錯誤；D．小球運動過程中有電場力和彈簧彈力做功，則對于彈簧和小球系統，電勢能和重力勢能以及動能總量守恒，即小球動能的改變量、彈性勢能的改變量、電勢能的改變量的代數和為零，故D正確。故選D。【例3】．（2023春·北京大興·高三統考期中）如圖所示，彈簧振子的平衡位置為O點，在B、C兩點之間做簡諧運動。B、C相距10cm。小球經過O點開始計時并向右運動，經過0.5s首次到達B點，下列說法正確的是（

）A．彈簧振子的振幅是10cmB．當振子運動到B時，位移大小是10cmC．彈簧振子的周期是1sD．振子由O運動到B的過程中速度減小【答案】D【詳解】A．彈簧振子的振幅是OB的距離，即5cm，故A錯誤；B．當振子運動到B時，位移大小是5cm，故B錯誤；C．小球經過O點開始計時并向右運動，經過0.5s首次到達B點，則所以彈簧振子的周期是2s，故C錯誤；D．振子由O運動到B的過程中位移增大，速度減小，故D正確；故選D。【例4】對于下面甲、乙、丙、丁四種情況，可認為是簡諧運動的是（）①甲：傾角為的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距離，然后松開，空氣阻力可忽略不計②乙：粗細均勻的木筷，下端繞幾圈鐵絲，豎直浮在較大的裝有水的杯中。把木筷往上提起一段距離后放手，木筷就在水中上下振動③丙：小球在半徑為R的光滑球面上的A、B（）之間來回運動④丁：小球在光滑固定斜面上來回運動A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以【答案】C【詳解】甲圖小球沿斜面方向受到的合力時彈力與重力的分力，當小球在平衡位置上方時，合力方向沿斜面向下，當在平衡位置下方時合力沿斜面向上，彈力與重力的分力的合力與位移成正比，其特點符合簡諧振動物體的動力學特征，小球做簡諧振動；乙圖木筷在水中受浮力和重力作用，當木筷在平衡位置上方時，合力向下，當木筷在平衡位置下方時，合力向上，重力和浮力的合力與位移成正比，其特點符合簡諧振動物體的動力學特征，木筷做簡諧振動；丙圖小球離開最低點受到重力沿切線方向的分力與位移成正比，方向與小球位移方向相反，為小球提供回復力，小球在最低點附近左右振動屬于簡諧振動；丙圖斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做機械振動的回復力，但該力大小不變，不與位移成正比，故小球的運動為機械振動，不是簡諧振動，則可知①②③為簡諧振動。故選C。類型2簡諧運動的周期性與對稱性【例1】彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧振動。從O點起振開始計時，振子第一次到達M點用了0.3秒，又經過0.2秒第二次通過M點，則振子第三次通過M點還要經過的時間可能是（

）A．秒 B．秒 C．1.4秒 D．1.6秒【答案】AC【詳解】由題意，共有以下兩種情況：①如圖所示假設振子從O點向x正方向起振，P點為正向最大位移處，M位于O、P之間，則振子從O運動到M所用時間為根據簡諧運動的對稱性可知，振子從M到P和P到M的時間相同，均為設簡諧運動的周期為T，則解得易知振子第二次通過M點再經過一個周期T剛好第四次通過M點，而第三次通過M點之后需要再經過2t才能再次（即第四次）通過M點，因此振子第三次通過M點還要經過的時間為②如圖所示假設振子從O點向x正方向起振，Q點為負向最大位移處，M位于O、Q之間，則振子從M運動到O所用時間為根據簡諧運動的對稱性可知，振子從M到Q和Q到M的時間相同，均為所以解得易知振子第二次通過M點再經過一個周期T剛好第四次通過M點，而第三次通過M點之后需要再經過2t才能再次（即第四次）通過M點，因此振子第三次通過M點還要經過的時間為故選AC。【例2】．（2023春·甘肅武威·高三武威第六中學校考期中）一質點做簡諧運動，先后以相同的速度依次通過A、兩點，歷時1s；質點通過點后再經過1s又第二次通過點。在這內質點通過的總路程為12，則質點的振動周期和振幅分別是（）A．3s， B．4s， C．4s， D．2s，【答案】B【詳解】質點運動的過程如圖：其中紅色實線為由A到，綠色實線為第二次經過，紅色、綠色虛線為補出的對稱運動，從圖像中可以觀察到紅色實線綠色實線振幅則振幅為。紅色部分與綠色部分的運動時間之和為一個周期，故周期為4s。故選B。【例3】如圖所示，傾角的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板，A、B兩物體固定于輕彈簧兩端，其中B的質量為。對物體B施加一沿斜面向下大小為20N的壓力F，使B靜止于P點。撤掉力F，當B運動至最高點時，A恰好要離開擋板。重力加速度，彈簧始終處于彈性限度內。下列說法正確的是（）A．彈簧恢復原長時B的速度達到最大 B．物塊B運動過程中最大加速度為C．物塊A的質量為2kg D．物塊A受擋板支持力的最大值為30N【答案】C【詳解】A．當彈簧彈力等于B重力沿斜面向下的分力時，B的速度達到最大，此時彈簧處于壓縮狀態，故A錯誤；B．撤去力F后，物塊B做簡諧振動，處于P點時振幅最大，加速度最大，最大加速度為故B錯誤；C．物塊B處于P點時回復力大小根據做簡諧振動的對稱性，運動至最高點時回復力大小又代入數據聯立得故C正確；D．B處于P點時物塊A受擋板支持力最大。對B受力分析得此時彈簧彈力大小對A受力分析，物塊A受擋板支持力故D錯誤。故選C。【例4】．如圖所示。將質量為m的小球懸掛在一輕質彈簧下端，靜止后小球所在的位置為O點（圖中未標出）。現將小球從O點向下拉至彈簧對小球的彈力大小為2mg（g為重力加速度），然后釋放，已知小球在運動過程中彈簧始終在彈性限度內，不計空氣阻力。則小球位于最高點時彈簧的彈力大小為（）A．2mg B．0 C．mg D．mg【答案】B【詳解】小球處于最低點時彈簧的伸長量為，則有釋放瞬間對小球由牛頓第二定律可得解得小球運動到最高點時彈簧的形變量的大小，加速度大小為，根據對稱性可得在最高點對小球由牛頓第二定律可得解得故小球位于最高點時彈簧的彈力大小為0。故選B。類型3彈簧振子的動力學、能量特征分析【例1】．動量p隨位移x變化的圖像稱作相軌，它在理論物理、近代數學分析的發展中扮演了重要的角色。如圖甲所示，光滑水平面上有一彈簧振子。現以彈簧原長時物塊的位置為坐標原點O，取向右為正方向，建立坐標系。當物塊偏離O點的位移為x時，彈簧振子的彈性勢能為，其中k為彈簧的勁度系數。當彈簧振子的機械能為E時，該彈簧振子的部分圖像如圖乙中曲線所示，M和N分別為曲線與x軸和p軸的交點。下列說法正確的是（）A．曲線是拋物線的一部分B．曲線對應物塊從O點向最左側運動的過程C．該彈簧振子的振幅為D．當物塊運動到振幅的處，其動量大小為其動量最大值的【答案】D【詳解】A．對彈簧和振子組成的系統機械能守恒，設振子速度為，則滿足整理可得若將p視為因變量，視為自變量，該表達式符合拋物線要求，但式子中為變量，故曲線不是拋物線的一部分，故A錯誤；B．圖中曲線動量為正，則振子速度方向為正方向，向右運動，速度由零變為最大，可知曲線對應物塊從最左側向O點運動的過程，故B錯誤；C．振子在最大振幅處時，速度為零，根據可得即振幅為，故C錯誤；D．當物塊運動到振幅的處時當動量最大時，即振子速度最大時，振幅為零，有其中聯立可得所以即故D正確。故選D。【例2】．輕彈簧上端連接在箱子頂部中點，下端固定一小球，整個裝置靜止在水平地面上方。現將箱子和小球由靜止釋放，箱子豎直下落h后落地，箱子落地后瞬間速度減為零且不會反彈。此后小球運動過程中，箱子對地面的壓力最小值恰好為零。整個過程小球未碰到箱底，彈簧勁度系數為k，箱子和小球的質量均為m，重力加速度為g。忽略空氣阻力，彈簧的形變始終在彈性限度內。下列說法正確的是（

）A．箱子下落過程中，箱子機械能守恒B．箱子落地后，彈簧彈力的最大值為3mgC．箱子落地后，小球運動的最大速度為D．箱子與地面碰撞損失的機械能為【答案】BCD【詳解】A．箱子靜止時，對小球分析有對箱子分析有當箱子由靜止釋放瞬間，彈簧彈力不發生突變，小球在這瞬間仍然平衡，加速度為0，而箱子釋放瞬間固定箱子的力消失，箱子所受合力為可得該瞬間箱子的加速度此后彈簧會恢復原長，在彈簧恢復原長的過程中，彈簧彈力對箱子做正功，若此過程中箱子落地，則此過程中箱子的機械能增加；若在彈簧恢復原長時箱子還未落地，由于箱子的速度大于小球的速度，彈簧將被壓縮，彈簧彈力將對箱子做負功，箱子的機械能又會減小，但無論何種情況，箱子在運動過程中除了重力做功外，彈簧彈力也在做功，因此箱子下落過程中，箱子機械能不守恒，故A錯誤；B．根據題意，此后小球運動過程中，箱子對地面的壓力最小值恰好為零，則對箱子有彈簧處于壓縮狀態，且為壓縮最短位置處，可知小球做簡諧振動，此時彈簧的壓縮量與小球合力為零時彈簧的伸長量之和即為小球做簡諧振動的振幅，根據簡諧振動的對稱性可知，在最低點在最高點聯立解得而當小球運動至最低點時彈簧彈力有最大值，即為，故B正確；C．小球做簡諧振動，在平衡位置時有解得即彈簧被拉伸時小球受力平衡，處于簡諧振動的平衡位置，此處小球的速度有最大值，而根據以上分析可知，小球在最高點時彈簧的彈力和在平衡位置時彈簧的彈力大小相同，只不過在最高位置時彈簧處于被壓縮狀態，在平衡位置時彈簧處于被拉伸狀態，顯然壓縮量和伸長量相同，則小球從最高點到達平衡位置下落的高度而彈簧壓縮量和伸長量相同時所具有的彈性勢能相同，即小球zai最高點和在平衡位置時彈簧的彈性勢能相同，則對小球由最高點到平衡位置根據動能定理可得解得故C正確；D．箱子損失的機械能即為箱子、彈簧、小球所構成的系統損失的機械能，小球在平衡位置時彈簧所具有的彈性勢能和在箱子未落下時彈簧所具有的彈性勢能相同，由能量守恒可得解得箱子損失的機械能故D正確。故選BCD。【例3】．如圖，一傾角為45°的光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一勁度系數為k的輕質彈簧，自然狀態下彈簧上端距斜面頂端距離為l。將質量為m的物塊（可視為質點）從斜面頂端由靜止釋放，經時間t彈簧的最大壓縮量為。已知彈簧彈性勢能表達式為，其中x是彈簧形變量，k為彈簧勁度系數，則下列說法正確的是（

）A．物塊速度為零時的壓縮量為B．物塊的最大動能為C．物塊運動過程中的最大加速度為D．物塊自開始壓縮彈簧到分離前，做簡諧振動【答案】BCD【詳解】A．根據題意可知物塊速度為零時的壓縮量為，故A錯誤；B．物塊速度最大時，根據平衡條件從靜止釋放到物塊的動能最大過程，根據系統機械能守恒可得解得物塊的最大動能為故B正確；C．彈簧壓縮量最大時，根據牛頓第二定律可得解得物塊的最大加速度為故C正確；D．根據簡諧運動的定義可知物塊開始壓縮彈簧后，到分離前做簡諧振動，故D正確。故選BCD。【例4】．如圖甲，“笑臉彈簧小人”由頭部、彈簧及底部組成，將彈簧小人靜置于桌面上，輕壓頭部后靜止釋放，小人不停上下振動，非常有趣．可將其抽象成如圖乙所示的模型，頭部的質量為m，彈簧質量不計，勁度系數為k，底部的質量為．已知當彈簧形變量為x時，其彈性勢能，不計一切摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g，彈簧始終在彈性限度內，下列說法中正確的是（

）A．將彈簧小人靜置于桌面上，輕壓頭部后由靜止釋放，底部不離開桌面，下壓的最大距離為B．將彈簧小人靜置于桌面上，輕壓頭部后由靜止釋放，底部不離開桌面，壓力做功的最大值為C．若彈簧小人在振動過程中底部恰好不離開桌面，則彈簧的最大彈性勢能為D．若剛釋放時頭部的加速度大小為g，則小人在運動過程中頭部的最大速度為【答案】ABC【詳解】A．靜置于桌面的彈簧小人，彈簧壓縮量為，則輕壓頭部后做簡諧運動，底部不離開桌面，彈簧的最大伸長量為，則最大振幅為則故下壓的最大距離為，故A正確；B．從平衡位置緩慢下壓A時最大壓力為F，有解得壓力做功的最大值為故B正確；C．彈簧的最大壓縮量為則彈簧的最大彈性勢能為故C正確；D．若剛釋放時頭部的加速度大小為g，設彈簧的壓縮量為，則解得頭部往上運動至彈簧壓縮量為時頭部速度最大，則解得故D錯誤。故選ABC。題型二簡諧運動的表達式和圖像的理解和應用1．由圖像可獲取的信息(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0(如圖所示)。(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。(3)某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同。(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。2．簡諧運動的對稱性(如圖)(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同。(2)相隔Δt＝(n＋eq\f(1,2))T(n＝0，1，2…)的兩個時刻，彈簧振子的位置關于平衡位置對稱，位移等大反向(或都為零)，速度也等大反向(或都為零)。【例1】如圖所示，是一個質點的振動圖像，根據圖像回答下列問題：(1)振動的振幅；(2)振動的頻率；(3)在t＝0.1s、0.3s、0.5s、0.7s時質點的振動方向；(4)質點速度首次具有負方向最大值的時刻和位置；(5)質點運動的加速度首次具有負方向最大值的時刻和位置；(6)在0.6s至0.8s這段時間內質點的運動情況。(7)振動質點離開平衡位置的最大距離；(8)寫出此振動質點的運動表達式；(9)振動質點在0～0.6s的時間內通過的路程；(10)振動質點在t＝0.1s、0.3s、0.5s、0.7s時的振動方向；(11)振動質點在0.6～0.8s這段時間內速度和加速度是怎樣變化的？(12)振動質點在0.4～0.8s這段時間內的動能變化是多少？【答案】見解析【解析】(1)振幅為最大位移的絕對值，從圖像可知振幅A＝5cm。(2)從圖像可知周期T＝0.8s，則振動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,0.8)Hz＝1.25Hz。(3)由各時刻的位移變化過程可判斷t＝0.1s、0.7s時，質點的振動方向沿x軸正方向；t＝0.3s、0.5s時，質點的振動方向沿x軸負方向。(4)質點在0.4s通過平衡位置時，首次具有負方向的速度最大值。(5)質點在0.2s時處于正向最大位移處時，首次加速度具有負方向的最大值。(6)在0.6s至0.8s這段時間內，從圖像上可以看出，質點沿負方向的位移不斷減小，說明質點正沿著正方向由負向最大位移處向著平衡位置運動，所以質點做加速度減小的加速運動。(7)由振動圖像可以看出，質點振動的振幅為5cm，即為質點離開平衡位置的最大距離。(8)由此質點的振動圖像可知A＝5cm，T＝0.8s，φ＝0，所以x＝Asin(ωt＋φ)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)t))＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,0.8)t))cm＝5sin(2.5πt)cm。(9)由振動圖像可以看出，質點振動的周期為T＝0.8s，0.6s＝3×eq\f(T,4)，振動質點是從平衡位置開始振動的，故在0～0.6s的時間內質點通過的路程為s＝3×A＝3×5cm＝15cm。(10)在t＝0.1s時，振動質點處在位移為正值的某一位置上，但若從t＝0.1s起取一段極短的時間間隔Δt(Δt→0)的話，從圖像中可以看出振動質點的正方向的位移將會越來越大，由此可以判斷得出質點在t＝0.1s時的振動方向是沿題中所設的正方向。同理可以判斷得出質點在t＝0.3s、0.5s、0.7s時的振動方向分別是沿題中所設的負方向、負方向和正方向。(11)由振動圖像可以看出，在0.6～0.8s這段時間內，振動質點從最大位移處向平衡位置運動，故其速度是越來越大的；而質點所受的回復力是指向平衡位置的，并且逐漸減小的，故其加速度的方向指向平衡位置且越來越小。(12)由圖像可看出，在0.4～0.8s這段時間內質點從平衡位置經過半個周期又回到了平衡位置，盡管初、末兩個時刻的速度方向相反，但大小是相等的，故這段時間內質點的動能變化為零。【例2】“五一”的大明湖波光粼粼，吸引了很多游客。湖面上一點O以0.1m振幅上下振動，形成圓形水波（不考慮水波傳播過程中的振幅衰減），如圖所示，同一直線上A、O、B三點，OA間距離為2.1m，OB間距離為1.5m。某時刻O點處在波峰位置，觀察發現1.4s后此波峰傳到A點，此時O點正通過平衡位置向上運動，OA間還有一個波峰。將水波近似為簡諧波。（1）求此水波的傳播速度、周期和波長。（2）以O點處在平衡位置向下振動為0時刻（此時各點已經起振），請畫出B點的振動圖像。并判斷此時刻之后8.1s時B點的位移。【答案】（1），，；（2）【詳解】（1）由題意可知此水波的傳播速度為得此時OA間波形如圖所示可得得得（2）可得此時B點位于最大位移處，B點振動圖像如圖所示B點振動方程為將代入方程得此時B點位移【例3】一彈簧振子A的位移隨時間變化的關系式為，位移的單位為m，時間的單位為s，則（）A．彈簧振子的振幅為0.2mB．彈簧振子的周期為1.25sC．在t=0.2s時，振子的運動速度為0D．若另一彈簧振子B的位移隨時間變化的關系式為，則B的振幅和周期分別是A的振幅和周期的2倍【答案】C【詳解】AB．根據可知彈簧振子A的振幅為，周期為則AB錯誤；C．在時，振子的位移為可知此時振子處于最大位移位置，振子的運動速度為0，故C正確；D．若另一彈簧振子B的位移隨時間變化的關系式為，則B的振幅為，周期為則B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D錯誤。故選C。【例4】一個在軸方向做簡諧運動的質點其部分振動圖像如圖所示，振動周期為，則該質點在0到時間內走過的路程為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設質點振動方程為當時解得時的路程故選C。【例5】．一個小球與輕彈簧連接套在光滑水平細桿上，在A、B間做簡諧運動，O點為AB的中點。以O點為坐標原點，水平向右為正方向建立坐標系，得到小球振動圖像如圖所示。下列結論正確的是（

）A．小球振動的頻率是2Hz B．時，小球在A位置C．時，小球經過O點向右運動 D．小球的振動方程是【答案】D【詳解】A．小球的振動周期為，頻率故A錯誤；B．因為水平向右為正方向，時，小球在B位置。故B錯誤；C．時，小球經過O點向負方向運動，即向左運動。故C錯誤；D．由圖可得小球的振動方程故D正確。故選D。【例6】．如圖甲所示質量為m的B木板放在水平面上，質量為2m的物塊A通過一輕彈簧與其連接。給A一豎直方向上的初速度，當A運動到最高點時，B與水平面間的作用力剛好為零。從某時刻開始計時，A的位移隨時間變化規律如圖乙，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，下列說法正確的是（

）A．物塊A做簡諧運動，回復力由彈簧提供B．物體B在時刻對地面的壓力大小為C．物體A在運動過程中機械能守恒D．物體A的振動方程為【答案】D【詳解】A．物塊A做簡諧運動，回復力由彈簧的彈力和重力的合力來提供，A錯誤；B．時刻物塊A在平衡位置，此時彈簧處于壓縮狀態，彈力為對物體B受力分析有則可得，由牛頓第三定律得物體B在時刻對地面的壓力大小為，B錯誤；C．物體A在運動過程中除了受重力外，還受彈簧的彈力，彈力對物體A做功，故機械能不守恒，C錯誤；D．由圖乙可知振幅為周期為角速度為規定向上為正方向，t=0時刻位移為0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m處開始運動，所以初相為則振子的振動方程為故D正確。故選D。題型三單擺及其周期公式1．單擺的受力特征(1)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，負號表示回復力F回與位移x的方向相反。(2)向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，F向＝FT－mgcosθ。(3)兩點說明①當擺球在最高點時，F向＝eq\f(mv2,l)＝0，FT＝mgcosθ。②當擺球在最低點時，F向＝meq\f(veq\o\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq\f(veq\o\al(2,max),l)。2．周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的兩點說明(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。(2)g為當地重力加速度。類型1單擺的受力特征及周期公式的應用【例1】圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的圖像，其中F的最大值，已知擺球質量，重力加速度取，取，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是（）A．單擺周期為B．單擺擺長為C．F的最小值D．若僅將擺球質量變為，單擺周期不變【答案】CD【詳解】A．由圖可知，單擺周期為，選項A錯誤；B．根據可得單擺擺長為0.64m，選項B錯誤；C．擺到最低點時可得則F最小值選項C正確；D．單擺周期與擺球的質量無關，若僅將擺球質量變為，單擺周期不變，選項D正確。故選CD。【例2】如圖，半徑為R光滑圓弧面上有一個質量為m小球，把它從最低點移開一小段距離，放手后，小球以最低點為平衡位置左右擺動，且可近似認為其運動為簡諧振動。（1）求小球做簡諧振動的周期T；（2）已知做簡諧振動的物體，所受的回復力與其偏離平衡位置的位移存在正比例關系。求小球做簡諧振動時回復力與偏離平衡位置位移的比例系數k是多少。

（空氣阻力可忽略，重力加速度為g，當偏離角度θ很小時，可認為sinθ≈tanθ≈θ，且可認為小球偏離平衡位置的位移與小球到圓弧圓心的連線垂直）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）小球做類單擺簡諧運動，則周期為（2）對小球進行受力分析，如圖所示重力沿切線方向的分力提供回復力用x表示小球偏離平衡位置的位移，因很小，所以即回復力與其偏離平衡位置的位移存在正比例關系，所以小球做簡諧振動時回復力與偏離平衡位置位移的比例系數為【例3】．如圖所示，已知該單擺的擺長為，擺球的質量為，擺動時最大偏角為5°。已知，，。求：（1）振動的周期；（2）擺球的最大回復力；（3）擺球運動的最大動能。

【答案】（1）；（2）0.087N；（3）0.008J【詳解】（1）根據單擺周期公式解得（2）當擺球位于A位置時回復力最大，根據受力分析可知解得（3）從過程中，根據機械能守恒有解得【例4】．隨著祖國航天事業的蓬勃發展，在未來的某天，中國航天員也將登上月球。如圖，假設航天員在月球上做了一次單擺實驗，將質量為m的擺球從平衡位置O點左側的A點由靜止釋放，已知擺長為L，擺線偏離豎直方向的最大夾角，月球半徑為地球半徑的，月球質量為地球質量的，地球表面處的重力加速度為g，求：（1）月球表面處的重力加速度的大小；（2）擺球從靜止釋放到第一次經過平衡位置的時間內，擺球重力沖量的大小；（3）擺球從靜止釋放到第二次經過平衡位置的時間內所走的路程。【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）由萬有引力等于重力解得則根據題意知聯立解得（2）從靜止釋放到第一次經過平衡位置所用時間由聯立解得擺球經過平衡位置重力沖量的大小為（3）擺球從靜止釋放到第二次經過平衡位置的過程為，AO段弧長為所走過的路程為【例5】．如圖甲所示，O點為單擺的固定懸點，將力傳感器接在擺球與O點之間。時刻在A點釋放擺球，擺球在豎直面內的A、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低位置。圖乙為細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線。已知擺長為，A、B之間的最大擺角為（取，）。求：（1）當地的重力加速度大小；（2）擺球在A點時回復力的大小；（3）擺球運動過程中的最大動能。【答案】（1）；（2）；（3）0.0032J【詳解】（1）擺球在一個周期內兩次經過最低點，對應兩次細線拉力達到最大值，由圖乙可知單擺的周期為解得當地的重力加速度大小為（2）擺球在A點時，細線拉力大小為解得擺球在A點時回復力的大小為（3）設擺球在B點時速度為v，根據牛頓第二定律有擺球運動過程中的最大動能為類型2單擺的振動圖像及運動學特征【例1】圖甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置，設擺球向右運動為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖像，根據圖像：（1）寫出擺球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式；（2）若當地的重力加速度為，取，求單擺的擺長。【答案】（1）；（2）0.36m【詳解】（1）單擺振動周期T=1.2s，則擺球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式（2）根據單擺周期公式可得【例2】（2023·全國·高三專題練習）單擺在兩點之間做簡諧運動，點為平衡位置，如圖甲所示，單擺的振動圖像如圖乙所示（向右為正方向），取重力加速度大小，下列說法正確的是（）A．單擺的振幅為 B．單擺的擺動頻率為C．時，擺球在點 D．單擺的擺長為【答案】BC【詳解】A．由圖乙可知單擺的振幅為4cm，故A錯誤；B．單擺的擺動頻率為故B正確；C．由單擺的周期性可知，時和擺球的運動狀態相同，可知擺球在點，故C正確；D．由單擺的周期公式代入數據解得故D錯誤。故選BC。【例3】如圖甲所示，一單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是（）A．單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x=8sin（2πt）cmB．單擺的擺長約為2.0mC．從t=0.5s到t=1.0s的過程中，擺球的重力勢能逐漸減小D．從t=0.5s到t=1.0s的過程中，擺球所受回復力逐漸增大【答案】C【詳解】A．根據圖乙可知單擺的周期、振幅分別為T=2s，A=8cm則圓頻率單擺從平衡位置開始的位移x隨時間t變化的關系式為x=Asinωt=8sin（πt）cm故A錯誤；B．根據單擺的周期公式結合上述解得L=1.0m故B正確；C．從t=0.5s到t=1.0s的過程中，擺球從最高點運動到最低點，重力勢能減小，故C正確；D．從t=0.5s到t=1.0s的過程中，擺球的位移減小，回復力減小，故D錯誤。故選C。【例4】．如圖甲所示，一個單擺做小角度擺動，以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，得到擺球相對平衡位置的位移x隨時間變化的圖像，如圖乙所示，不計空氣阻力。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是（）

A．時，擺球所受回復力最大，方向向右B．時，擺球偏離平衡位置位移最大，方向向右C．從到的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大D．該單擺擺長約為2m【答案】A【詳解】A．以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向,時,位移為，即擺球在端點A，由可知，擺球所受回復力最大，方向向右，故A正確；B．時，擺球的位移為零，即擺球剛好在平衡位置，故B錯誤；C．從到的過程中，擺球的位移逐漸減小，即向下擺動回到平衡位置，重力做正功，重力勢能逐漸減小，故C錯誤；D．由圖像可知單擺的周期為，由，可得擺長為故D錯誤。故選A。【例5】．如圖為某單擺的振動圖像，重力加速度g取，下列說法正確的是（）A．擺長為1.6m，起始時刻速度最大 B．擺長為2.5m，起始時刻速度為零C．擺長為1.6m，A、C點的速度相同 D．擺長為2.5m，A、B點的速度相同【答案】C【詳解】由單擺的振動圖像可知振動周期為，由單擺的周期公式得擺長為x-t圖像的斜率代表速度，故起始時刻速度為零，且A、C點的速度相同，A、B點的速度大小相同，方向不同。綜上所述，可知C正確，故選C。題型四受迫振動和共振1．簡諧運動、受迫振動和共振的關系比較振動項目簡諧運動受迫振動共振受力情況僅受回復力受驅動力作用受驅動力作用振動周期或頻率由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅T驅＝T0或f驅＝f0振動能量振動物體的機械能不變由產生驅動力的物體提供振動物體獲得的能量最大常見例子彈簧振子或單擺(θ≤5°)機械工作時底座發生的振動共振篩、聲音的共鳴等2.對共振的理解(1)共振曲線：如圖所示，f與f0越接近，振幅A越大；當f＝f0時，振幅A最大。(2)做受迫振動的系統機械能不守恒，系統與外界時刻進行能量交換。類型1受迫振動概念及規律的理解應用【例1】．一物體做受迫振動，驅動力的頻率小于該物體的固有頻率。當驅動力的頻率逐漸增大的過程中，該物體的振幅（）A．一定逐漸增大 B．一定逐漸減小C．可能先增大，后減小 D．可能先減小，后增大【答案】C【詳解】一物體做受迫振動，當驅動力的頻率等于該物體的固有頻率時，該物體的振幅最大；由于一開始驅動力的頻率小于該物體的固有頻率，當驅動力的頻率逐漸增大的過程中，如果驅動力的頻率仍然小于該物體的固有頻率，則該物體的振幅增大，如果驅動力的頻率已經大于該物體的固有頻率，則該物體的振幅減小，所以該物體的振幅可能先增大，后減小。故選C。【例2】如圖甲所示，一個有固定轉動軸的豎直圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個由彈簧和小球組成的振動系統。圓盤靜止時，讓小球做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示。圓盤勻速轉動時，小球做受迫振動，小球振動穩定時，下列說法正確的是()A．小球振動的固有頻率是4HzB．小球做受迫振動時周期一定是4sC．圓盤轉動周期在4s附近時，小球振幅顯著增大D．圓盤轉動周期在4s附近時，小球振幅顯著減小【答案】C【解析】小球振動的固有周期T＝4s，則其固有頻率為f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，A錯誤；小球做受迫振動時周期等于驅動力的周期，即等于圓盤轉動周期，不一定等于固有周期4s，B錯誤；圓盤轉動周期在4s附近時，驅動力周期等于振動系統的固有周期，小球產生共振現象，振幅顯著增大，C正確，D錯誤。【例3】把一個篩子用四根彈簧支起來，篩子上安一個電動偏心輪，它每轉一周，給篩子一個驅動力，這樣就做成了一個共振篩，如圖所示．篩子做自由振動時，完成10次全振動用時15s．在某電壓下，電動偏心輪轉速是36r/min.已知增大電壓可使偏心輪轉速提高，增加篩子質量，可以增大篩子的固有周期．那么要使篩子的振幅增大，下列做法正確的是()A．提高輸入電壓 B．降低輸入電壓C．減小篩子質量 D．減小篩子質量【答案】A【解析】共振篩的工作原理是，當電動偏心輪的轉動周期跟篩子的固有周期相等時，就會發生共振．在題給條件下，篩子振動的固有周期T固＝eq\f(15,10)s＝1.5s，電動偏心輪的轉動周期(對篩子來說是驅動力的周期)T驅＝eq\f(60,36)s＝1.67s．要使篩子振幅增大，就得使這兩個周期值靠近，可采用兩種做法：第一，提高輸入電壓使偏心輪轉得快一些，減小驅動力的周期；第二，增加篩子的質量使篩子的固有周期增大．正確選項為A【例3】(多選)為了提高松樹上松果的采摘率和工作效率，工程技術人員利用松果的慣性發明了用打擊桿、振動器使松果落下的兩種裝置，如圖甲、乙所示．則()A．針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同B．隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度一定增大C．打擊桿對不同粗細樹干打擊結束后，樹干的振動頻率相同D．穩定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同【答案】AD【解析】根據共振的條件，當振動器的頻率等于樹木的固有頻率時產生共振，此時落果效果最好，而不同的樹木的固有頻率不同，針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同，A正確；當振動器的振動頻率等于樹木的固有頻率時產生共振，此時樹干的振幅最大，則隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度不一定增大，B錯誤；打擊結束后，樹干做阻尼振動，阻尼振動的頻率為樹干的固有頻率，所以粗細不同的樹干頻率不同，C錯誤；樹干在振動器的振動下做受迫振動，則穩定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同，D正確．類型2共振曲線的應用【例1】一個單擺在地面上做受迫振動，其共振曲線（振幅A與驅動力頻率f的關系圖線）如圖所示，則下列說法正確的是（）A．此單擺的固有周期約為2sB．此單擺的擺長約為1mC．若擺長增大，單擺的固有頻率減小D．若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動E．此單擺的振幅是8cm【答案】ABC【詳解】A．由共振曲線知，此單擺的固有頻率為0.5Hz，固有周期為2s，A正確；B．由單擺的周期公式，可得此單擺的擺長約為1m，B正確；CD．若擺長增大，則單擺的固有周期增大，固有頻率減小，共振曲線的峰將向左移動，C正確，D錯誤；E．此單擺做受迫振動，只有共振時的振幅最大，為8cm，E錯誤。故選ABC。【例2】．同一地點，甲、乙單擺在驅動力作用下振動，其振幅A隨驅動力頻率f變化的圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A．若驅動力的頻率為f0，乙單擺振動的頻率大于f0B．若驅動力的頻率為f0，乙單擺振動的頻率等于f0C．若驅動力的頻率為3f0，甲、乙單擺振動的振幅相同D．若驅動力的頻率為3f0，甲、乙單擺振動的頻率均為3f0【答案】BD【詳解】ABD．當物體做受迫振動時，物體振動的頻率等于驅動力的頻率，故A錯誤，BD正確；C．受迫振動物體的固有頻率與驅動力頻率越接近，振幅越大，由圖可知，甲的固有頻率是f0，乙的固有頻率是2f0，若驅動力的頻率為3f0，甲單擺振動的振幅小于乙單擺振動的振幅，故C錯誤。故選BD。【例3】正在運轉的機器，當其飛輪以角速度ω0勻速轉動時，機器的振動并不強烈；切斷電源，飛輪的轉動逐漸