專題09圓周運(yùn)動(dòng)常考模型目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 1題型二水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 8類型1圓錐擺模型 9類型2生活中的圓周運(yùn)動(dòng) 16題型三圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界極值問題 22類型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 22類型2豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 31類型3斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題 45題型四圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合問題 54類型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合問題 54類型2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合 58題型一圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析【解題指導(dǎo)】1．對公式v＝ωr的理解當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比．當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比．2．對an＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解在v一定時(shí)，an與r成反比；在ω一定時(shí)，an與r成正比．3．常見的傳動(dòng)方式及特點(diǎn)(1)皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．【例1】（2024·遼寧·高考真題）“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的（）A．半徑相等 B．線速度大小相等C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等【答案】D【詳解】D．由題意可知，球面上P、Q兩點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故角速度大小相等，故D正確；A．由圖可知，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的關(guān)系為故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)可知，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的關(guān)系為故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)可知，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的關(guān)系為故C錯(cuò)誤。故選D。【例2】（2024·甘肅酒泉·三模）如圖所示為腳踏自行車的傳動(dòng)裝置簡化圖，各輪的轉(zhuǎn)軸均固定且相互平行，甲、乙兩輪同軸且無相對轉(zhuǎn)動(dòng)，已知甲、乙、丙三輪的半徑之比為1:9:3，傳動(dòng)鏈條在各輪轉(zhuǎn)動(dòng)中不打滑，則乙、丙轉(zhuǎn)速之比為（）A．1:2 B．2:1 C．3:1 D．1:3【答案】C【詳解】甲、丙兩輪邊緣處的各點(diǎn)線速度相等，根據(jù)可得甲、丙的轉(zhuǎn)速之比為3:1，甲、乙同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，轉(zhuǎn)速相等，所以乙、丙轉(zhuǎn)速之比為3:1。故選C。【變式演練1】（2024·四川成都·三模）一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從圓周上的一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)的過程中，下列說法一定正確的是（

）A．質(zhì)點(diǎn)速度不變 B．質(zhì)點(diǎn)加速度不變 C．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能不變 D．質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能不變【答案】C【詳解】A．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，方向時(shí)刻變化，速度是變化的，故A錯(cuò)誤；B．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小不變，方向時(shí)刻變化，指向圓心，加速度是變化的，故B錯(cuò)誤；C．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，故質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能不變，故C正確；D．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，質(zhì)點(diǎn)的重力勢能不一定不變，故質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能不一定不變，故D錯(cuò)誤。故選C。【變式演練2】進(jìn)入冬季后，北方的冰雪運(yùn)動(dòng)吸引了許多南方游客。如圖為雪地轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)游戲，人乘坐雪圈（人和雪圈總質(zhì)量為50kg，大小忽略不計(jì)）繞軸以2rad/s的角速度在水平雪地上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，已知水平桿長為2m，離地高為2m，繩長為4m，且繩與水平桿垂直。則雪圈（含人）（）A．所受的合外力不變 B．所受繩子的拉力指向圓周運(yùn)動(dòng)的圓心C．線速度大小為8m/s D．所需向心力大小為400N【答案】C【詳解】A．雪圈（含人）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)合外力一直指向圓心，方向在時(shí)刻發(fā)生變化，因而合外力在不斷變化，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)圖示可知繩子的拉力沿繩并指向繩收縮的方向，并不是指向圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)幾何關(guān)系可知，雪圈（含人）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為則線速度大小為故C正確；D．雪圈（含人）所受的合外力提供所需的向心力，則有故D錯(cuò)誤。故選C。【變式演練3】某款滾筒洗衣機(jī)的內(nèi)筒直徑為50cm，在進(jìn)行衣服脫水甩干時(shí)轉(zhuǎn)速可達(dá)到1200轉(zhuǎn)/分，則甩干時(shí)緊貼滾筒內(nèi)壁衣服的線速度大小約為（

）A．31m/s B．63m/s C．126m/s D．600m/s【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知角速度為則線速度大小為故選A。【變式演練4】如圖為古代常見的一種板車，車前輪與后輪轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為，車上放有質(zhì)量為m的重物（可視為質(zhì)點(diǎn)），推動(dòng)板車使重物恰好能夠隨車勻速前進(jìn)，此時(shí)車板與水平面間的傾角為，重物與車板間動(dòng)摩擦因數(shù)固定，若將車板與水平面間傾角變大，之后控制板車使其仍能水平勻速前行，則下列說法正確的是（）A．板車前輪與后輪的角速度之比為B．重物與板車間動(dòng)摩擦因數(shù)C．板車傾角變大后重物所受摩擦力也會(huì)隨之變大D．板車傾角變大后重物的對地運(yùn)動(dòng)方向沿板車斜面向下【答案】A【詳解】A．根據(jù)得故A正確；B．根據(jù)得故B錯(cuò)誤；C．板車傾角變大后，重物會(huì)沿斜面下滑，此時(shí)的摩擦力為重物所受摩擦力變小，故C錯(cuò)誤；D．板車傾角變大后重物相對板車沿斜面向下，板車相對地面向前運(yùn)動(dòng)，因此重物相對地面的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樾毕蛳潞拖蚯暗暮线\(yùn)動(dòng)方向，故D錯(cuò)誤。故選A。【變式演練5】如圖所示為某自行車的大齒輪、小齒輪和后輪結(jié)構(gòu)示意圖，它們的邊緣有三個(gè)點(diǎn)a、b、c，半徑大小關(guān)系為，下列判斷正確的是（）A．b比a的角速度小 B．b和c的角速度相等C．a(chǎn)比b的向心加速度大 D．c比b的向心加速度大【答案】C【詳解】AB．a(chǎn)、b共軸，角速度相同，b、c通過鏈條相連，線速度相同，根據(jù)，可知?jiǎng)t有故AB錯(cuò)誤；C．根據(jù)向心加速度公式又，則故C正確；D．根據(jù)向心加速度公式又，則故D錯(cuò)誤。故選C。【變式演練6】齒輪傳動(dòng)是現(xiàn)代工業(yè)中常見的一種動(dòng)力傳動(dòng)方式，荷蘭設(shè)計(jì)師丹尼爾·布朗設(shè)計(jì)了世上最強(qiáng)齒輪——古戈?duì)桚X輪。如圖，最左側(cè)小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)就會(huì)帶動(dòng)后面的大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，古戈?duì)桚X輪中有100個(gè)大齒輪，小齒輪與大齒輪的半徑之比為1∶10，若第一個(gè)小齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為1s，由圖可知要使古戈?duì)桚X輪中最后一個(gè)大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，需要的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】相鄰兩大、小齒輪的線速度相等，根據(jù)可得相鄰兩大、小齒輪的周期比為可得第一個(gè)大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，第二個(gè)小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，第二個(gè)大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期為，依此類推，第100個(gè)大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期為。故選D。題型二水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)【解題指導(dǎo)】1．向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力．2．向心力的確定(1)確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確定圓心的位置．(2)分析物體的受力情況，所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力．3．幾種典型運(yùn)動(dòng)模型運(yùn)動(dòng)模型向心力的來源圖示運(yùn)動(dòng)模型向心力的來源圖示飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎圓錐擺火車轉(zhuǎn)彎飛車走壁汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎水平轉(zhuǎn)臺4方法技巧：求解圓周運(yùn)動(dòng)問題必須進(jìn)行的三類分析,幾何分析目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑等運(yùn)動(dòng)分析目的是確定圓周運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界所提供的向心力類型1圓錐擺模型1.如圖所示，向心力F向＝mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsinθ，解得v＝eq\r(gLtanθsinθ)，ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ)).2．穩(wěn)定狀態(tài)下，θ角越大，對應(yīng)的角速度ω和線速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq\f(mg,cosθ)和運(yùn)動(dòng)所需向心力也越大．【例1】（2024·江蘇·高考真題）如圖所示，細(xì)繩穿過豎直的管子拴住一個(gè)小球，讓小球在A高度處作水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用力將細(xì)繩緩慢下拉，使小球在B高度處作水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，則（

）A．線速度vA>vB B．角速度ωA<ωBC．向心加速度aA<aB D．向心力FA>FB【答案】BC【詳解】設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，繩子長度為l，小球所在平面距離頂點(diǎn)的豎直高度為h，對小球分析有整理有，，a=gtanθA．由于小球從A處到達(dá)B處，l減小，θ增大，則無法判斷vA、vB的關(guān)系，故A錯(cuò)誤；B．由于其中聯(lián)立有由題意可知，小球從A處到達(dá)B處，h減小，則ωA<ωB，故B正確；CD．由于F向=mgtanθ=ma整理有a=gtanθ由題意可知，其角度θ變大，所以小球所受向心力變大，即FA<FB，向心加速度大小也變大，即aA<aB，故C正確、D錯(cuò)誤。故選BC。【變式演練1】如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長為l的細(xì)線懸于P點(diǎn)，使小球在水平面內(nèi)以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓心O到懸點(diǎn)P的距離為h，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．繩對小球的拉力大小為B．小球轉(zhuǎn)動(dòng)一周，繩對小球拉力的沖量為0C．保持h不變，增大繩長l，增大D．保持h不變，增大繩長l，繩對小球拉力的大小不變【答案】A【詳解】A．設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律可得解得繩對小球的拉力大小為故A正確；B．小球轉(zhuǎn)動(dòng)一周，小球的動(dòng)量變化為0，根據(jù)動(dòng)量定理可知，合外力的沖量為0，由于重力的沖量不為0，則繩對小球拉力的沖量不為0，故B錯(cuò)誤；CD．保持h不變，設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律可得解得可知增大繩長l，不變；根據(jù)可知增大繩長l，繩對小球拉力的大小增大，故CD錯(cuò)誤。故選A。【變式演練2】．一個(gè)單擺在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)（擺角較小），擺球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)對細(xì)線的拉力大小為、擺動(dòng)的周期為；保持?jǐn)[長不變，讓該小球在水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，擺線偏離豎直方向的夾角也為，運(yùn)動(dòng)過程中擺球?qū)?xì)線的拉力大小為，擺動(dòng)的周期為。則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)擺球質(zhì)量為m，擺長為L，對單擺有，對圓錐擺有，聯(lián)立以上四式可得，故選B。【變式演練3】．摩托車特技表演中的飛檐走壁讓人震撼，其運(yùn)動(dòng)可簡化為如圖所示的小球在光滑的半球形容器內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。小球的質(zhì)量為m，容器的球心為O、半徑為R，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)時(shí)，Oa與豎直方向夾角為θ，運(yùn)動(dòng)過程中容器靜止在水平地面上。半球形容器及底座的質(zhì)量為M，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）

A．小球運(yùn)動(dòng)的角速度大小為B．小球運(yùn)動(dòng)的線速度大小為C．底座受到地面的摩擦力大小為D．底座對地面的壓力大于【答案】AC【詳解】A．對小球受力分析，如圖

由牛頓第二定律，可得，根據(jù)幾何關(guān)系，有聯(lián)立，解得故A正確；B．根據(jù)線速度與角速度關(guān)系，可得故B錯(cuò)誤；C．對容器受力分析，如圖

由平衡條件，可得又聯(lián)立，解得故C正確；D．同理根據(jù)牛頓第三定律，可得故D錯(cuò)誤。故選AC。【變式演練4】如圖所示，兩根輕細(xì)線上端固定在S點(diǎn)，下端分別連一小鐵球A、B，使兩者恰好在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，SO的高度為H，不計(jì)空氣阻力，下列說法中正確的是（）A．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到重力、細(xì)線拉力和向心力作用B．如果兩個(gè)小球的質(zhì)量相等，則兩條細(xì)線受到的拉力不相等C．A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為D．球A運(yùn)動(dòng)的周期小于球B運(yùn)動(dòng)的周期【答案】BC【詳解】A．對小球受力分析，其受到的重力與細(xì)線的拉力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B．小球豎直方向有整理有若小球的質(zhì)量相等，由于細(xì)繩與豎直方向夾角不同，所以兩條細(xì)繩受到的拉力不相等，故B項(xiàng)正確；C．對小球水平方向有又因?yàn)檎碛杏捎趦烧咔『迷谕凰矫鎯?nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故C項(xiàng)正確；D．由之前的分析可知，兩球的角速度大小相同，由角速度與周期的公式有球A運(yùn)動(dòng)的周期等于球B運(yùn)動(dòng)的周期，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選BC。類型2生活中的圓周運(yùn)動(dòng)【例2】（2024·山東煙臺·三模）如圖所示，MN為半徑為r的圓弧路線，NP為長度19r的直線路線，為半徑為4r的圓弧路線，為長度16r的直線路線。賽車從M點(diǎn)以最大安全速度通過圓弧路段后立即以最大加速度沿直線加速至最大速度vm并保持vm勻速行駛。已知賽車勻速轉(zhuǎn)彎時(shí)徑向最大靜摩擦力和加速時(shí)的最大合外力均為車重的k倍，最大速度，g為重力加速度，賽車從M點(diǎn)按照MNP路線運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)與按照路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的時(shí)間差為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】賽車從M點(diǎn)按照MNP路線運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過程，在圓周運(yùn)動(dòng)過程有，在NP直線路線勻加速過程有，解得，在NP直線路線勻加速至最大速度過程的位移為則勻速過程的時(shí)間賽車從M點(diǎn)按照路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過程，在圓周運(yùn)動(dòng)過程有，在直線路線勻加速過程有，解得，在直線路線勻加速至最大速度過程的位移為即勻加速至最大速度時(shí)，恰好到達(dá)，則賽車從M點(diǎn)按照MNP路線運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)與按照路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的時(shí)間差為解得故選C。【變式演練1】如圖所示為我國某平原地區(qū)從P市到Q市之間的高鐵線路，線路上，，位置處的曲率半徑分別為r，r、2r。若列車在P市到Q市之間勻速率運(yùn)行，列車在經(jīng)過，，位置處與鐵軌都沒有發(fā)生側(cè)向擠壓，三處鐵軌平面與水平面間的夾角分別為、，。下列說法正確的是（）A．列車依次通過3個(gè)位置的角速度之比為1：1：2B．列車依次通過3個(gè)位置的向心加速度之比為1：1：2C．3個(gè)位置的D．3個(gè)位置的內(nèi)外軌道的高度差之比為1：1：2【答案】C【詳解】A.根據(jù)可知，列車依次通過3個(gè)位置的角速度之比為2：2：1，故A錯(cuò)誤；B.根據(jù)可知，列車依次通過3個(gè)位置的向心加速度之比為2：2：1，故B錯(cuò)誤；C.根據(jù)火車在轉(zhuǎn)彎處的受力分析，由牛頓第二定律可知故故C正確；D.設(shè)內(nèi)外軌道間距離為，則有h和成正比，所以故D錯(cuò)誤。故選C。【變式演練2】如圖所示，有一輛汽車在前擋風(fēng)玻璃內(nèi)懸掛了一個(gè)掛件。當(dāng)汽車在水平公路上轉(zhuǎn)彎時(shí)，司機(jī)發(fā)現(xiàn)掛件向右傾斜并且傾斜程度在緩慢減小，已知汽車的轉(zhuǎn)彎半徑一定，則下列說法正確的是（）A．汽車正在向右加速轉(zhuǎn)彎B．汽車正在向右減速轉(zhuǎn)彎C．汽車正在向左加速轉(zhuǎn)彎D．汽車正在向左減速轉(zhuǎn)彎【答案】D【詳解】掛件向右傾斜，對掛件受力分析可知，重力、拉力的合力水平向左，即向心力向左，汽車向左轉(zhuǎn)彎。設(shè)掛件與豎直方向的夾角為，則擺動(dòng)過程中的向心力為由于掛件傾斜程度在緩慢減小，擺角變小，而汽車的轉(zhuǎn)彎半徑一定，所以汽車的速率在減小，即汽車正在向左減速轉(zhuǎn)彎。故選D。【變式演練3】．運(yùn)球轉(zhuǎn)身是運(yùn)球中的一種基本方法，是籃球運(yùn)動(dòng)中重要進(jìn)攻技術(shù)之一。拉球轉(zhuǎn)身的動(dòng)作是難點(diǎn)，例如圖a所示為運(yùn)動(dòng)員為拉球轉(zhuǎn)身的一瞬間，由于籃球規(guī)則規(guī)定手掌不能上翻，我們將此過程理想化為如圖b所示的模型，薄長方體代表手掌，轉(zhuǎn)身時(shí)球緊貼豎立的手掌，繞著轉(zhuǎn)軸（中樞腳所在直線）做圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)手掌和球之間的最大靜摩擦因數(shù)為0.5，籃球質(zhì)量為600克，直徑24厘米，手到轉(zhuǎn)軸的距離為0.5米，則要順利完成此轉(zhuǎn)身動(dòng)作，籃球和手至少要有多大的速度（??）A．2.28m/s B．2.76m/sC．3.16m/s D．3.52m/s【答案】B【詳解】豎直方向上水平方向上解得故選B。題型三圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界極值問題類型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題三種臨界情況(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是彈力FN＝0.(2)相對滑動(dòng)的臨界條件：兩物體相接觸且處于相對靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，則相對滑動(dòng)的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值．(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷.【例1】（2024·江蘇·高考真題）陶瓷是以粘土為主要原料以及各種天然礦物經(jīng)過粉碎混煉、成型和煅燒制得的材料以及各種制品。如圖所示是生產(chǎn)陶磁的簡化工作臺，當(dāng)陶瓷勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，臺面面上掉有陶屑，陶屑與桌面間的動(dòng)摩因數(shù)處處相同（臺面夠大），則（

）A．離軸OO′越遠(yuǎn)的陶屑質(zhì)量越大B．

離軸OO′越近的陶屑質(zhì)量越小C．只有平臺邊緣有陶屑D．離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不會(huì)超過某一值【答案】D【詳解】ABC．與臺面相對靜止的陶屑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力為最大靜摩擦力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得解得因與臺面相對靜止的這些陶屑的角速度相同，由此可知能與臺面相對靜止的陶屑離軸OO′的距離與陶屑質(zhì)量無關(guān)，只要在臺面上不發(fā)生相對滑動(dòng)的位置都有陶屑。故ABC錯(cuò)誤；D．離軸最遠(yuǎn)的陶屑其受到的靜摩擦力為最大靜摩擦力，由前述分析可知最大的運(yùn)動(dòng)半徑為μ與ω均一定，故R為定值，即離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不超過某一值R。故D正確。故選D。【變式演練1】如圖所示，天花板下通過兩個(gè)支架固定一根細(xì)鋼管，輕繩從鋼管穿過后，在其兩端分別掛質(zhì)量為m1、m2的小球a、b（均可視為質(zhì)點(diǎn)），兩小球的質(zhì)量之比為，鋼管左端輕繩AB段長度為l=1m，當(dāng)鋼管一側(cè)懸掛小球的輕繩上張力不小于另一側(cè)張力的時(shí)，繩不會(huì)發(fā)生滑移，為使小球b保持靜止?fàn)顟B(tài)，已知重力加速度大小為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列說法正確的是（）A．若小球a也保持靜止?fàn)顟B(tài)，則B．若k=1，可將小球a拉至輕繩AB段與豎直方向成夾角53°無初速度釋放C．若可使小球a在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度范圍為D．若輕繩AB段與豎直方向的夾角為37°，可使小球a在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則【答案】AC【詳解】A．對小球b，根據(jù)平衡條件若小球a也保持靜止?fàn)顟B(tài)，則且聯(lián)立，解得即故A正確；B．若k=1，設(shè)，小球a拉至輕繩AB段與豎直方向成夾角53°無初速度釋放，設(shè)小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，根據(jù)動(dòng)能定理輕繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律解得小球b因?yàn)樗裕∏騜不能保持靜止，故B錯(cuò)誤；C．若，則設(shè)，，對b則小球a受到的輕繩的拉力設(shè)小球a在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)輕繩與豎直方向的夾角為，則在水平方向聯(lián)立，解得故C正確；D．若輕繩AB段與豎直方向的夾角為37°，可使小球a在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向解得又因?yàn)榍医獾眉垂蔇錯(cuò)誤。故選AC。【變式演練2】如圖所示，豎直平面內(nèi)的光滑金屬細(xì)圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時(shí)有一長為R的輕桿一端固定于球上，另一端通過光滑的鉸鏈固定于圓環(huán)最低點(diǎn)，當(dāng)圓環(huán)以角速度繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，輕桿對小球的作用力大小和方向?yàn)椋ǎ〢．沿桿向上 B．沿桿向下C．沿桿向上 D．沿桿向下【答案】B【詳解】設(shè)輕桿與豎直直徑夾角為，由幾何關(guān)系可得解得則小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為作圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力為小球有向上運(yùn)動(dòng)的趨勢，設(shè)桿對小球有沿桿向下的拉力F1，環(huán)對小球有指向圓心的支持力F2，有平衡條件可知解得故選B。【變式演練3】如圖所示，水平圓臺可以繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓臺中心兩側(cè)放上甲、乙兩物體，兩物體的質(zhì)量均為m，均可視為質(zhì)點(diǎn)，甲、乙兩物體到圓臺中心距離分別為2R、R，其連線過圓臺中心。兩物體與圓臺間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。（1）若圓臺以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)。求兩物體的加速度之比；（2）若圓臺的角速度逐漸增大，請分析說明甲、乙兩物體誰先滑動(dòng)；（3）若將甲、乙兩物體用不可伸長的輕繩連接，輕繩最初拉直而不張緊，緩慢增加圓臺的轉(zhuǎn)速，求兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)圓臺轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω。【答案】（1）2:1；（2）甲；（3）【詳解】（1）若圓臺以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，甲、乙均未滑動(dòng)，根據(jù)可得兩物體的加速度之比（2）若圓臺的角速度逐漸增大，根據(jù)可得因甲轉(zhuǎn)動(dòng)半徑較大，臨界角速度較小，可知甲物體誰先滑動(dòng)；（3）兩物體剛要滑動(dòng)時(shí)，甲受最大靜摩擦力指向圓心，乙受最大靜摩擦力背離圓心，則對甲對乙解得圓臺轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度【變式演練4】．（2023·福建·高考真題）一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。細(xì)桿的一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸上的O點(diǎn)，并可隨軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)。桿上套有一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與套在桿上的圓環(huán)相連。當(dāng)測速器穩(wěn)定工作時(shí)，圓環(huán)將相對細(xì)桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。已知細(xì)桿長度，桿與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角a始終為，彈簧原長，彈簧勁度系數(shù)，圓環(huán)質(zhì)量；彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不計(jì)（1）若細(xì)桿和圓環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求圓環(huán)到O點(diǎn)的距離；（2）求彈簧處于原長時(shí)，細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小；（3）求圓環(huán)處于細(xì)桿末端P時(shí)，細(xì)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小。【答案】（1）0.05m；（2）；（3）【詳解】（1）當(dāng)細(xì)桿和圓環(huán)處于平衡狀態(tài)，對圓環(huán)受力分析得根據(jù)胡克定律得彈簧彈力沿桿向上，故彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈簧此時(shí)的長度即為圓環(huán)到O點(diǎn)的距離（2）若彈簧處于原長，則圓環(huán)僅受重力和支持力，其合力使得圓環(huán)沿水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律得由幾何關(guān)系得圓環(huán)此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為聯(lián)立解得（3）圓環(huán)處于細(xì)桿末端P時(shí)，圓環(huán)受力分析重力，彈簧伸長，彈力沿桿向下。根據(jù)胡克定律得對圓環(huán)受力分析并正交分解，豎直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，則有，由幾何關(guān)系得聯(lián)立解得【變式演練5】如圖所示，在水平圓盤上放置一個(gè)質(zhì)量為的小滑塊，滑塊離圓盤中心。滑塊與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，現(xiàn)使圓盤繞垂直于盤面的中心軸緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，至小滑塊與盤面發(fā)生相對滑動(dòng)。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度取，則（

）A．圓盤緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，滑塊所受的摩擦力做功為0B．小滑塊與盤面發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為C．在小滑塊上面再放置一個(gè)相同的小滑塊，發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)的角速度為D．在小滑塊上面再放置一個(gè)質(zhì)量為的小滑塊，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.05，發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)的角速度為【答案】D【詳解】A．小滑塊動(dòng)能增大，故摩擦力做正功，A錯(cuò)誤；B．小滑塊與盤面發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)有解得B錯(cuò)誤；C．在小滑塊上面再放置一個(gè)相同的小滑塊，發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)有解得C錯(cuò)誤；D．在小滑塊上面再放置一個(gè)的小滑塊，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.05，則兩個(gè)小滑塊首先發(fā)生相對滑動(dòng)，有解得D正確。故選D。類型2豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1．兩類模型對比輕繩模型(最高點(diǎn)無支撐)輕桿模型(最高點(diǎn)有支撐)實(shí)例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運(yùn)動(dòng)等圖示受力示意圖F彈向下或等于零F彈向下、等于零或向上力學(xué)方程mg＋F彈＝meq\f(v2,R)mg±F彈＝meq\f(v2,R)臨界特征F彈＝0mg＝meq\f(vmin2,R)即vmin＝eq\r(gR)v＝0即F向＝0F彈＝mg討論分析(1)最高點(diǎn)，若v≥eq\r(gR)，F(xiàn)彈＋mg＝meq\f(v2,R)，繩或軌道對球產(chǎn)生彈力F彈(2)若v<eq\r(gR)，則不能到達(dá)最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)彈＝mg，F(xiàn)彈背離圓心(2)當(dāng)0<v<eq\r(gR)時(shí)，mg－F彈＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)彈背離圓心并隨v的增大而減小(3)當(dāng)v＝eq\r(gR)時(shí)，F(xiàn)彈＝0(4)當(dāng)v>eq\r(gR)時(shí)，mg＋F彈＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)彈指向圓心并隨v的增大而增大2．解題技巧(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系；(3)注意：求對軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力．【例1】如圖所示，一長為L的輕繩拉著質(zhì)量為m的小球保持靜止。現(xiàn)在給小球一個(gè)水平初速度，使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是（）A．小球在最高點(diǎn)的速度可以等于0B．小球獲得的初速度大小為C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中僅有一處合力指向圓心D．小球過最低點(diǎn)與最高點(diǎn)時(shí)受到繩的拉力大小之差等于6mg【答案】D【詳解】A．小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，若小球恰好能通過最高點(diǎn)，則有重力提供向心力，可得解得可知小球能通過最高點(diǎn)的最小速度是，因此小球在最高點(diǎn)的速度不可以等于0，A錯(cuò)誤；

B．若小球恰好能通過最高點(diǎn)，設(shè)小球獲得的初速度大小為v＇，則在最低點(diǎn)時(shí)由動(dòng)能定理，則有解得由以上計(jì)算可知，是小球獲得的初速度大小的最小值，有可能比這個(gè)速度要大，B錯(cuò)誤；C．小球在豎直面內(nèi)做完整的變速圓周運(yùn)動(dòng)，由以上分析可知，小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處合力指向圓心，C錯(cuò)誤；D．設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v0，在最低點(diǎn)時(shí)的速度為，由動(dòng)能定理可得小球在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得聯(lián)立以上各式解得D正確。故選D。【例2】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖所示，長為的輕繩懸掛于O點(diǎn)，另一端連接質(zhì)量為的小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)。在點(diǎn)正下方的處固定一光滑小釘，將小球拉起使懸線呈水平繃緊狀態(tài)后，無初速地釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)后繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為．（1）要使小球能以為圓心做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，OC長度至少為多大？（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，當(dāng)重力功率最大時(shí)，繩對小球的拉力為多大。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）以點(diǎn)為重力勢能參考點(diǎn)，設(shè)OC距離為，小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為，由機(jī)械能守恒定律得由牛頓第二定律得解得（2）當(dāng)繩對小球拉力的豎直分量與重力大小相等時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)速度的豎直分量最大，重力功率最大，設(shè)此時(shí)繩與水平方向的夾角為，小球速度大小為，則有由動(dòng)能定理得由牛頓運(yùn)動(dòng)定理得解得【例3】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖所示，長為0.1m的輕桿一端固定一小球質(zhì)量為0.1kg的小球，小球繞圓心O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。P是圓周上的最高點(diǎn)，重力加速度，下面說法正確的時(shí)（）A．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與O相平的水平位置時(shí)，桿對小球作用力為零B．若小球經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度為1m/s，桿對小球作用力為零C．若小球經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)桿對小球作用力等于0.36N，小球的速度一定等于0.8m/sD．若小球經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)桿對小球作用力等于5N，小球速度一定等于2m/s【答案】BD【詳解】A．小球做圓周運(yùn)動(dòng)過程中要有向心力，因此，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與相平的水平位置時(shí)桿對小球提供一個(gè)指向圓心的拉力，故A錯(cuò)誤；B．在最高點(diǎn)，當(dāng)只有重力提供向心力時(shí)有代入數(shù)據(jù)解得故B正確；C．在最高點(diǎn)，桿對小球的作用力可能向上，也可能向下，因此有或解得故C錯(cuò)誤；D．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受桿的拉力為，有代入數(shù)據(jù)解得故D正確。故選BD。【變式演練1】如圖所示，在O點(diǎn)用長為L不可伸長的輕繩懸掛一質(zhì)量為m的小球，O點(diǎn)正下方的P點(diǎn)固定一細(xì)釘子，OP距離為d，C點(diǎn)和P點(diǎn)等高。小球處于O點(diǎn)右側(cè)同一水平高度的A點(diǎn)時(shí)，繩剛好拉直，將小球從A點(diǎn)由靜止釋放。不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是（）A．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)的過程中，重力的功率逐漸變大B．繩撞釘子前后，小球的角速度不變C．d取某個(gè)值（不等于0）時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度恰好為零D．若時(shí)，小球不能繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)【答案】D【詳解】A．小球在A點(diǎn)時(shí)速度為零，重力的功率為零，小球在B點(diǎn)時(shí)速度沿水平方向，重力的功率也為零，又因?yàn)樾∏驈腁點(diǎn)運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)的過程中，速度大小和方向是連續(xù)變化的，不存在突變過程，所以該過程中重力的功率先增大后減小，故A錯(cuò)誤；B．撞釘子前后的一小段時(shí)間內(nèi)，由于小球在水平方向加速度為零，所以線速度大小不變，但小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑突然變小，則根據(jù)可知小球的角速度變大，故B錯(cuò)誤；C．小球運(yùn)動(dòng)過程中繩子拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以無論d在0＜d＜L范圍內(nèi)取何值，即C點(diǎn)低于O點(diǎn)高于B點(diǎn)時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度都不可能為零，故C錯(cuò)誤；D．若時(shí)，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為vC，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有解得若要使小球能繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，其到最高點(diǎn)的最小速度vm應(yīng)滿足即小球由C點(diǎn)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中克服重力做功，速度減小，所以不可能以vm通過O點(diǎn)，即不能繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，故D正確。故選D。【變式演練2】如圖所示，粗糙的水平軌道和光滑的豎直圓軌道ABCD相切于A點(diǎn)，小滑塊P靜置在水平軌道上，現(xiàn)對P施加水平向右的恒力F使之由靜止向右運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)撤去F。研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)起點(diǎn)在M點(diǎn)左側(cè)或N點(diǎn)右側(cè)時(shí)，P進(jìn)入圓軌道后不會(huì)脫離軌道。設(shè)MA與NA的比值為k，小滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則（）A．μ越大，k越大 B．μ越大，k越小C．k=2 D．k=【答案】D【詳解】根據(jù)題意知，滑塊從M點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好能夠到最高點(diǎn)，有在最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力滑塊從N點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛好能夠運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，有聯(lián)立上式得k的取值與μ無關(guān)，故選D。【變式演練3】（2024·河北·三模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長度為R的水平軌道，BCDE是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)。一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以某速度（大小未知）水平向左運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，小球剛好過最高點(diǎn)D點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，小球不會(huì)脫離圓弧軌道C．若小球能通過E點(diǎn)，則越大，小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差越大D．小球從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的最長時(shí)間為【答案】AD【詳解】A．由題知，小球剛好過最高點(diǎn)D點(diǎn)，則由圓周運(yùn)動(dòng)知在A到D過程中，由動(dòng)能定理可知聯(lián)立解得A正確；B．當(dāng)時(shí)，設(shè)上升高度為，假設(shè)小球不會(huì)脫離圓弧軌道，則必須滿足，由動(dòng)能定理知代入得假設(shè)不成立，故當(dāng)時(shí)，小球會(huì)脫離圓弧軌道，B錯(cuò)誤；C．B到E運(yùn)動(dòng)過程中，由動(dòng)能定理知在B點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為在E點(diǎn)時(shí)，小球所受彈力為則小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差為故小球在B點(diǎn)與E點(diǎn)所受的彈力之差不變，C錯(cuò)誤；D．在D到E過程中，由動(dòng)能定理知代入得從E到A運(yùn)動(dòng)過程中，小球做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，則代入得D正確；故選AD。【變式演練4】如圖所示，一輕繩系一質(zhì)量為m小球，豎直懸掛在O點(diǎn)，現(xiàn)將小球沿圓弧拉至與O等高的A點(diǎn)，由靜止自由釋放。小球運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，繩與豎直方向的夾角為，以下判斷正確的是（）A．小球下擺到最低點(diǎn)的過程中，重力平均功率為0，細(xì)繩拉力一直增大B．小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，其加速度大小為C．小球運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，輕繩對小球的拉力大小為D．若小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)重力功率最大，則【答案】CD【詳解】AC．小球下擺到最低點(diǎn)的過程中，重力平均功率為小球下降高度不為0，可知，重力平均功率不為0。令輕繩長為L，根據(jù)動(dòng)能定理有對小球進(jìn)行分析，小球做圓周運(yùn)動(dòng)，則有解得小球向下運(yùn)動(dòng)過程中，減小，則細(xì)繩拉力一直增大，故A錯(cuò)誤，C正確；B．結(jié)合上述可知，小球沿半徑方向的加速度為解得小球沿圓周切線方向有小球的加速度解得故B錯(cuò)誤；D．小球重力的瞬時(shí)功率結(jié)合上述解得若有對函數(shù)求導(dǎo)有當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為0時(shí)，重力的瞬時(shí)功率達(dá)到最大，解得故D正確。故選CD。【變式演練5】．如圖所示，被鎖定在墻邊的壓縮彈簧右端與質(zhì)量為0.2kg、靜止于A點(diǎn)的滑塊P接觸但不粘連，滑塊P所在光滑水平軌道與半徑為0.8m的光滑半圓軌道平滑連接于B點(diǎn)，壓縮的彈簧儲(chǔ)存的彈性勢能為2.8J，重力加速度取10m/s2，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，滑塊P被彈簧彈出，脫離彈簧后沖上半圓軌道的過程中（）A．可以到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)DB．經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對半圓軌道的壓力大小為9NC．不能到達(dá)最高點(diǎn)D，滑塊P能到達(dá)的最大高度為1.35mD．可以通過C點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道，脫離時(shí)的速度大小為2.2m/s【答案】BC【詳解】A．設(shè)滑塊P恰能通過最高點(diǎn)D，則有解得則滑塊P從B點(diǎn)到D點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有解得滑塊在B點(diǎn)的動(dòng)能為所以滑塊不能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)D，故A錯(cuò)誤；B．滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，根據(jù)功能關(guān)系可得在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可得聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第三定律可知對半圓軌道的壓力大小為9N，故B正確；CD．滑塊在C點(diǎn)的重力勢能為則滑塊可以通過C點(diǎn)且在CD之間某位置脫離軌道，此時(shí)的速度大小為v根據(jù)功能關(guān)系可得根據(jù)牛頓第二定律可得聯(lián)立解得，滑塊離開軌道后做斜上拋運(yùn)動(dòng)根據(jù)功能關(guān)系可得解得滑塊P能到達(dá)的最大高度為故C正確，D錯(cuò)誤。故選BC。【變式演練6】如圖所示，長為L的桿一端固定在過O點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定質(zhì)量為m的小球。桿在電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，帶動(dòng)小球以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中A點(diǎn)為最高點(diǎn)，C點(diǎn)為最低點(diǎn)，B、D點(diǎn)與O點(diǎn)等高。已知重力加速度為g，下列說法正確的是（

）A．小球在B、D兩點(diǎn)受到桿的作用力大于mgB．小球在A、C兩點(diǎn)受到桿的作用力大小的差值為6mgC．小球在B、D兩點(diǎn)受到桿的作用力大小等于D．小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程，桿對小球做的功等于【答案】A【詳解】AC．當(dāng)小球在B、D兩點(diǎn)時(shí)，桿對小球作用力豎直方向的分力應(yīng)等于重力，水平方向分力提供向心力，故桿對小球的作用力為故A正確；C錯(cuò)誤；B．若小球在最高點(diǎn)，桿對小球的作用力為支持力，則在A點(diǎn)在C點(diǎn)所以若小球在最高點(diǎn)，桿對小球的作用力為拉力，則在A點(diǎn)在C點(diǎn)所以故B錯(cuò)誤；D．小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理，可得解得桿對小球做的功等于故D錯(cuò)誤。故選A。【變式演練7】如圖半徑為L的細(xì)圓管軌道豎直放置，管內(nèi)壁光滑，管內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于軌道半徑，小球直徑略小于圓管內(nèi)徑，下列說法不正確的是（）A．經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球可能處于失重狀態(tài)B．經(jīng)過最高點(diǎn)Z時(shí)小球可能處于完全失重狀態(tài)C．若小球能在圓管軌道做完整圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)Z的速度v最小值為0D．若經(jīng)過最高點(diǎn)Z的速度v增大，小球在Z點(diǎn)對管壁壓力可能減小【答案】A【詳解】A．小球在最低點(diǎn)時(shí)加速度向上，則小球處于超重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤，符合題意；B．小球經(jīng)過最高點(diǎn)Z時(shí)，若對軌道的壓力為零，則重力完全提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，故B正確，不符合題意；C．由于在最高點(diǎn)圓管能支撐小球，所以速度的最小值為零，故C正確，不符合題意；D．若過最高點(diǎn)的速度較小，則在Z點(diǎn)，小球在Z點(diǎn)對管壁壓力向下，軌道對小球有向上的彈力，根據(jù)牛頓第二定律可得此時(shí)經(jīng)過最高點(diǎn)Z的速度增大，小球在Z點(diǎn)和管壁的作用力減小，故D正確，不符合題意。故選A。【變式演練8】如圖所示，豎直平面內(nèi)固定有一個(gè)半徑為R的光滑圓環(huán)形細(xì)管，現(xiàn)給小球（直徑略小于管內(nèi)徑）一個(gè)初速度，使小球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v。已知重力加速度為g，則下列敘述中正確的是（）A．v的最小值為B．當(dāng)時(shí)，小球處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用C．當(dāng)時(shí)，軌道對小球的彈力方向豎直向下D．當(dāng)v由逐漸減小的過程中，軌道對小球的彈力也逐漸減小【答案】C【詳解】A．小球通過最高點(diǎn)時(shí)細(xì)管可以提供豎直向上的支持力，當(dāng)支持力的大小等于小球重力的大小，小球的最小速度為零，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)公式可知，當(dāng)時(shí)，小球的加速度為方向豎直向下，則小球處于完全失重狀態(tài)，只受重力作用，故B錯(cuò)誤；C．當(dāng)時(shí)，小球需要的向心力為則可知，軌道對小球的彈力大小為，方向豎直向下，故C正確；D．當(dāng)時(shí)，小球需要的向心力可知，小球受軌道豎直向上的彈力，由牛頓第二定律有可得則逐漸減小的過程中，軌道對小球的彈力逐漸增大，故D錯(cuò)誤。故選C。類型3斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力相等，解決此類問題時(shí)，可以按以下操作，把問題簡化．【例1】如圖所示，傾角為的斜面體固定在水平地面上，在斜面上固定一個(gè)半圓管軌道AEB，圓管的內(nèi)壁光滑、半徑為r，其最低點(diǎn)A、最高點(diǎn)B的切線水平，AB是半圓管軌道的直徑，現(xiàn)讓質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)以一定的水平速度滑進(jìn)圓管，圓管的內(nèi)徑略大于小球的直徑、重力加速度為g，、，下列說法正確的是（）A．當(dāng)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到沿斜面方向的彈力剛好為0，則小球在B點(diǎn)的速度為B．小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為C．若小球在B點(diǎn)的加速度大小為2g，則A點(diǎn)對小球沿斜面方向的彈力大小為D．若小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到沿斜面方向的彈力剛好為0，則小球的落地點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離為【答案】BCD【詳解】A．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到沿斜面方向的彈力剛好為0，則由重力沿斜面的分力提供向心力，則有解得A錯(cuò)誤；B．小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上有解得B正確；D．若小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)受到沿斜面方向的彈力剛好為0，根據(jù)上述有，小球的落地點(diǎn)與P點(diǎn)間的距離為解得D正確；C．小球在B點(diǎn)的加速度大小為2g，則在B點(diǎn)有小球由A運(yùn)動(dòng)到B過程有小球在A點(diǎn)有解得C正確。故選BCD。【變式演練1】如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，盤面與水平面的夾角為30°，g取。則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)剛要滑動(dòng)時(shí)，所受的靜摩擦力沿斜面向上達(dá)到最大時(shí)，角速度為ω1，由牛頓第二定律得：代入數(shù)據(jù)解得：當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最高點(diǎn)剛要滑動(dòng)時(shí)，所受的靜摩擦力沿斜面向下達(dá)到最大時(shí)，角速度為ω2，同理雖然，但小物體從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，摩擦力和重力無法提供出滿足向心力出來，所以要保證小物體與圓盤始終保持相對靜止，圓盤的角速度應(yīng)取其通過最低點(diǎn)的最大角速度，故D錯(cuò)誤，ABC正確。故選ABC。【變式演練2】如圖所示，在傾角為的足夠大的固定斜面上，一長度為L的輕桿一端可繞斜面上的O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連著一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）。現(xiàn)使小球從最低點(diǎn)A以速率v開始在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)B。重力加速度大小為g，輕桿與斜面平行，不計(jì)一切摩擦。下列說法正確的是（）A．小球通過A點(diǎn)時(shí)所受輕桿的作用力大小為B．小球通過B點(diǎn)時(shí)的最小速度為C．小球通過A點(diǎn)時(shí)斜面對小球的支持力與小球的速度無關(guān)D．若小球以的速率通過B點(diǎn)時(shí)突然脫落而離開輕桿，則小球到達(dá)與A點(diǎn)等高處時(shí)與A點(diǎn)間的距離為2L【答案】ACD【詳解】A．小球在A點(diǎn)受到重力、斜面的支持力以及桿的拉力，由向心力公式可得可得故A正確；B．桿可以為小球提供支持力，所以小球經(jīng)過最高點(diǎn)B時(shí)的最小速度為零，故B錯(cuò)誤；C．斜面對小球的支持力始終等于重力沿垂直于斜面方向的分量，與小球的速度無關(guān)，故C正確；D．經(jīng)分析可知小球經(jīng)過B點(diǎn)脫落后在斜面上作類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿斜面方向做初速度為零的勻加速度直線運(yùn)動(dòng)。沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律由位移公式可知水平方向故D正確。故選ACD。【變式演練3】如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則（

）A．小球通過最高點(diǎn)A時(shí)的速度B．小球通過最高點(diǎn)A時(shí)的速度C．小球通過最高點(diǎn)A時(shí)，細(xì)線對小球的拉力T=0D．小球通過最高點(diǎn)A時(shí)，細(xì)線對小球的拉力T=mgsinθ【答案】AC【詳解】小球在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的等效重力為恰好通過最高點(diǎn)A時(shí)，只有等效重力提供向心力，故此時(shí)有解得故選AC。題型四圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合問題類型1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合問題【例1】（2024·北京·一模）當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體角速度ω變化時(shí)，我們可以引用角加速度β來描述角速度ω的變化快慢，即。圖甲中某轉(zhuǎn)盤自時(shí)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，其前4s內(nèi)角加速度β隨時(shí)間t變化如圖乙所示。則（

）A．第4s末，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng) B．角加速度的變化率的單位為：rad/sC．0~2s內(nèi)轉(zhuǎn)盤做勻角加速圓周運(yùn)動(dòng) D．第2s末，轉(zhuǎn)盤的角速度大小為10rad/s【答案】D【詳解】A．根據(jù)可知可知圖線下的面積表示角速度的變化量，第4s末，角速度的變化量最大，轉(zhuǎn)盤未停止轉(zhuǎn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；B．角加速度的變化率的單位為，故B錯(cuò)誤；C．由圖乙可知，0~2s內(nèi)轉(zhuǎn)盤的角加速度均勻增加，則轉(zhuǎn)盤做非勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；D．圖線下的面積表示角速度的變化量，可知第2s末，轉(zhuǎn)盤的角速度大小為故D正確。故選D。【例2】如圖甲所示，將質(zhì)量為M的物塊A和質(zhì)量為m的物塊B放在水平轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為L的水平輕繩連接，物塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的k倍，物塊A與轉(zhuǎn)軸的距離等于輕繩長度，整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，輕繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，繩中張力與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的平方的關(guān)系如圖乙所示，當(dāng)角速度的平方超過時(shí)，物塊A、B開始滑動(dòng)。若圖乙中的、及重力加速度均為已知，下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由題圖乙可知，當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度的二次方為時(shí)，A、B間的細(xì)繩開始出現(xiàn)拉力，可知此時(shí)B達(dá)到最大靜摩擦力，故有當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度的二次方為時(shí)，A達(dá)到最大靜摩擦力，對A有對B有聯(lián)立以上三式解得故選BD。【變式演練1】如圖甲所示，兩個(gè)完全一樣的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）用輕繩連接置于水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l。圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸極緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，木塊和圓盤保持相對靜止。ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，a、b與圓盤保持相對靜止的過程中所受摩擦力與ω2滿足如圖乙所示關(guān)系，圖中f2=3f1，下列判斷正確的是（

）A．圖線（1）對應(yīng)物體b B．繩長為2lC． D．ω=ω2時(shí)繩上張力大小為【答案】ABD【詳解】A．根據(jù)圖像剛開始為過原點(diǎn)的直線，可得開始時(shí)有f=mω2r則剛開始時(shí)繩子無拉力，摩擦力提供各自的向心力為，因?yàn)椋杂袆t圖線（1）對應(yīng)物體b，A正確；B．當(dāng)時(shí)，對物體ab有，，可得解得所以繩子長度為B正確；CD．當(dāng)時(shí)，對b有得當(dāng)時(shí)，設(shè)此時(shí)繩子拉力為，對物體ab有，聯(lián)立解得，C錯(cuò)誤，D正確。故選ABD。【變式演練2】如圖所示，相同的物塊a、b用沿半徑方向的細(xì)線相連放置在水平圓盤上．當(dāng)圓盤繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊a、b始終相對圓盤靜止．下列關(guān)于物塊a所受的摩擦力隨圓盤角速度的平方（ω2）的變化關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】轉(zhuǎn)動(dòng)過程中a、b角速度相同。當(dāng)圓盤角速度較小時(shí)，a、b由靜摩擦力充當(dāng)向心力，繩子拉力為零，此過程中a、b所需要的摩擦力分別為，因?yàn)椋剩忠驗(yàn)閍、b與平臺的最大靜摩擦力相同，所以隨著角速度增大，b先達(dá)到最大靜摩擦力，當(dāng)b達(dá)到最大靜摩擦力f0時(shí)繩子開始出現(xiàn)拉力，此時(shí)對于a、b有，聯(lián)立可得由上述分析可知，繩子拉力出現(xiàn)之前圖像的斜率為，繩子拉力出現(xiàn)之后圖線的斜率為，所以繩子有拉力時(shí)圖線斜率變大。故選D。【變式演練3】如圖所示，長為L的細(xì)繩上端固定在天花板上，下端拴一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。細(xì)繩跟豎直方向的夾角為θ，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω。當(dāng)小球以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩與豎直方向的夾角θ隨之變化，已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮間，下列關(guān)于θ與ω的關(guān)系圖像可能正確的是（

） B． C． D．【答案】C【詳解】由向心力公式可得可得即與成正比。故選C。類型2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與圖像結(jié)合【解題指導(dǎo)】1.清楚圓周運(yùn)動(dòng)中繩、桿模型的物理規(guī)律，列出正確的物理方程。2.對一次函數(shù)y＝kx＋b要非常熟練，會(huì)用會(huì)畫。3.熟練地將數(shù)學(xué)和物理結(jié)合起來，用圖像法來解決物理問題。【數(shù)理思想與模型建構(gòu)】1.數(shù)理思想是基于物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的科學(xué)思維方法。2.模型建構(gòu)(1)輕繩模型：①v＞eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)繩子的彈力為零，是安全通過最高點(diǎn)的臨界條件(2)輕桿模型①v＞eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力F＝meq\f(v2,R)－mg，方向豎直向下②v＝eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力為零，是物體所受彈力方向變化的臨界速度。③v＜eq\r(gR)時(shí)輕桿對物體的彈力FN＝mg－meq\f(v2,R)，方向豎直向上。【思維建構(gòu)】1.根據(jù)物理現(xiàn)象列出物理方程。2.根據(jù)物理方程整理成函數(shù)關(guān)系。3.將物理方程與一次函數(shù)相對應(yīng)。4.根據(jù)函數(shù)思想對應(yīng)物理圖像分析求解。【例1】如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)一切阻力），小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對小球的拉力為，小球在最高點(diǎn)的速度大小為，其圖像如圖乙所示，則（）A．輕質(zhì)繩長為B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹镃．當(dāng)時(shí)，輕質(zhì)繩的拉力大小為D．只要，小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差均為【答案】D【詳解】A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，對小球受力分析，由牛頓第二定律有可得可知圖線斜率為可得輕質(zhì)繩長為故A錯(cuò)誤；B．由圖像可知縱軸上截距的絕對值為則有故B錯(cuò)誤；C．由圖像可知故當(dāng)時(shí)，有故C錯(cuò)誤；D．從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒有在最低點(diǎn)對小球受力分析，由牛頓第二定律有聯(lián)立可得小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差為故D正確。故選D。【例2】如圖甲所示，一質(zhì)量m＝4kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0＝4m/s的速度從A點(diǎn)沖上豎直光滑半圓軌道。當(dāng)半圓軌道的半徑R發(fā)生改變時(shí)，小球?qū)點(diǎn)的壓力與半徑R的關(guān)系圖像如圖乙所示，g取10m/s2，下列說法不正確的是（）A．x＝2.5B．y＝40C．若小球能通過軌道上的C點(diǎn)，則其落地點(diǎn)距A點(diǎn)的最大水平距離為0.80mD．當(dāng)小球恰能通過軌道上的C點(diǎn)時(shí)，半圓軌道的半徑R＝64cm【答案】ABD【詳解】AB．從A到B，根據(jù)動(dòng)能定理可得在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得聯(lián)立解得結(jié)合題圖乙可知，故AB錯(cuò)誤，AB滿足題意要求；D．恰能通過最高點(diǎn)時(shí)，在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得解得故D錯(cuò)誤，滿足題意要求；C．從最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有，且聯(lián)立解得當(dāng)解得取最大值，可得故C正確，不滿足題意要求。故選ABD。【變式演練1】如圖甲所示，質(zhì)量為0.2kg的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上，并在圓環(huán)最高點(diǎn)保持靜止。受到輕微擾動(dòng)后，小球由靜止開始沿著圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，小球與圓心的連線轉(zhuǎn)過θ角度時(shí)，小球的速度大小為v，v2與cosθ的關(guān)系如乙圖所示，g取。則（）A．圓環(huán)半徑為0.6mB．時(shí)，小球所受合力為4N