廊坊市2024—2025學年度第一學期期末考試高三數學試卷本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項:1.答題前，先將自己的姓名、班級和準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.不能答在本試卷上，否則無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在非答題區域無效.4.考試結束后，只交答題卡.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.設復數滿足，則（）A. B.2 C. D.3.已知和都是單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.34.已知等比數列，則（）A3 B.±3 C.3 D.5.已知點、在圓上，點在直線上，點為中點，若，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.已知，隨機變量，若，則的值為（）A. B. C. D.8.已知都是定義在上的函數，對任意滿足，且，則下列說法正確的是（）AB.若，則C.函數的圖象關于直線對稱D二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關于概率統計說法中正確的是（）A.數據1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位數是7B.由兩個分類變量的成對樣本數據計算得到，依據的獨立性檢驗，可判斷獨立C.經驗回歸方程相對于點的殘差為D.若一組樣本數據的對應樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為10.設函數，則下列結論正確的是（）A.當時，在點處的切線方程為y=-1B.當時，有三個零點C.若有兩個極值點，則D.若在上有解，則正實數的取值范圍為11.如圖所示，棱長為的正方體中，點是棱的中點，則下列結論中正確的是（）A.點到平面的距離是到平面的距離的倍B.若點平面，且與所成角是，則點的軌跡是雙曲線的一支C.三棱錐的外接球的表面積為D.若線段，則的最小值是三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數是定義在上的奇函數，且當時，_____.13.設雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，若，且，則雙曲線的漸近線方程為_____.14.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下:若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.6.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.則第次投籃的人是甲的概率是_____.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，將函數的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.（1）求函數解析式；（2）設銳角的內角所對的邊分別為，若，且b=4，求面積的最大值.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證:平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.17.已知圓和定點為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與直線交于點，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點是曲線上位于軸上方的兩個不同點，且滿足，求四邊形面積的取值范圍.18.已知函數，其中為自然對數底數.（1）當a=2時，求的單調區間；（2）若方程有兩個不同的實根.(i)求的取值范圍；(ii)證明:.19.因受到中國八卦圖和《周易》陰陽理論的啟發，德國數學家萊布尼茨提出二進制記數法.用二進制記數只需數字0和1，對于整數可理解為逢二進一，例如:自然數1在二進制中就表示為表示為表示為表示為.發現若可表示為二進制表達式，則，其中或.（1）記，求證:（2）記為整數的二進制表達式中的0的個數，如，(i)求的值；(ii)求的值.廊坊市2024—2025學年度第一學期期末考試高三數學試卷一、選擇題1.D2.C3.B4.C5.B6.A7.A8.B二、選擇題9.BCD10.ACD11.ACD三、填空題12.13.14.四、解答題15.（1）依題意，.所以.（2）由（1）知，解得，在銳角中，，即，則，解得，由余弦定理得，，當且僅當時取等號，于是，所以面積的最大值為.16.（1）在四棱錐中，由平面平面，平面平面，，平面，得平面，而平面，則，又，且，平面，于是平面，而平面，所以平面平面.（2）假定在棱上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，取中點為，連接，由，得，由平面平面，且平面平面，平面，得平面，而平面，則，由，得，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，顯然，，則，，，設，，則，，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，整理得，而，解得，即，所以在棱上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，.17.（1）由垂直平分線的性質可得，故，因此點的軌跡為以為焦點的橢圓,且，故，故橢圓方程.（2）不妨設直線方程為，分別延長,與橢圓相交于另一點，，連接,由于，根據橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，聯立得，設Ax則，故，點到直線的距離為，因此，令，則，，故，由于，故單調遞增，故，當且僅當時取等號，故，因此，由于是平行四邊形對角線的交點，過點，因此四邊形與四邊形全等，故,因此.18.（1）a=2時，，則，當單調遞增，當單調遞減，故的單調遞增區間為0,1，單調遞減區間為1,+∞（2）(i)令，則，由（1）知函數在0,1單調遞增，在1,+∞單調遞減，故的極大值為，且當時，gx>0，，因此的大致圖象如下：要使方程有