專題檢測一202512345678910111213141516171819一、選擇題1.(2023·全國乙,理4)已知f(x)=是偶函數,則a=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2D12345678910111213141516171819A12345678910111213141516171819解析

設f(x)=(3x-3-x)cos

x,則f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函數為奇函數,排除B,D選項.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0,故選A.123456789101112131415161718193.(2020·新高考Ⅱ,8)若定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)單調遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]D解析

因為定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,且f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,且f(-2)=0,f(0)=0,所以當x∈(-∞,-2)∪(0,2)時,f(x)>0,當x∈(-2,0)∪(2,+∞)時,f(x)<0,解得-1≤x≤0或1≤x≤3,所以滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718194.生物豐富度指數

是河流水質的一個評價指標,其中S,N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大,水質越好.如果某河流治理前后的生物種類數S沒有變化,生物個體總數由N1變為N2,生物豐富度指數由2.1提高到3.15,則(

)D12345678910111213141516171819B12345678910111213141516171819A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>bA12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.(2024·新高考Ⅱ,8)設函數f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為(

)C解析

當x≤-a時,x+a≤0,當x≥-a時,x+a≥0,當-b<x≤1-b時,ln(x+b)≤0,當x≥1-b時,ln(x+b)≥0,要使f(x)≥0,必須-a=1-b,即b=a+1,123456789101112131415161718198.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函數f(x)的定義域為R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當x<3時,f(x)=x,則下列結論中一定正確的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000B12345678910111213141516171819解析

∵當x<3時,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定義域為R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1

000.∴f(20)>1

000.結合各選項知,選項B一定正確.12345678910111213141516171819二、選擇題9.(2023·新高考Ⅰ,11)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則(

)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數D.x=0為f(x)的極小值點ABC解析

對于選項A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正確;對于選項B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正確;對于選項C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正確;對于選項D,用特值法,函數f(x)=0,為常數函數,且滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常數函數沒有極值點,所以D錯誤.故選ABC.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181910.(2020·新高考Ⅰ,11)已知a>0,b>0,且a+b=1,則(

)ABD123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.(2024·新高考Ⅰ,10)設函數f(x)=(x-1)2(x-4),則(

)A.x=3是函數f(x)的極小值點B.當0<x<1時,f(x)<f(x2)C.當1<x<2時,-4<f(2x-1)<0D.當-1<x<0時,f(2-x)>f(x)AC12345678910111213141516171819解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函數f(x)的定義域為R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.當x<1或x>3時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當1<x<3時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,∴x=3是函數f(x)的極小值點,∴A正確.當0<x<1時,0<x2<x<1,又由上可知當0<x<1時,f(x)單調遞增,∴f(x2)<f(x),∴B錯誤.當1<x<2時,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正確.f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=-2(x-1)3.當-1<x<0時,f(2-x)-f(x)=-2(x-1)3的值有正有負,∴D錯誤.故選AC.12345678910111213141516171819三、填空題12.(2024·廣東廣州三模)函數

其中a>0且a≠1,若函數是單調函數,則a的一個可能取值為

.

4(答案不唯一)解析

因為a>0且a≠1,若函數是單調函數,結合二次函數性質可知f(x)在R上單調遞增,故答案為4(答案不唯一).1234567891011121314151617181913.函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為

.

1123456789101112131415161718191234567891011121314151617181991234567891011121314151617181912345678910111213141516171819四、解答題15.(13分)(2024·上海,18)若f(x)=logax(a>0,a≠1).(1)曲線y=f(x)過(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集;(2)存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差數列,求實數a的取值范圍.解

(1)因為y=f(x)的圖象過點(4,2),故loga4=2,故a2=4,即a=2(負值舍去).而f(x)=log2x在(0,+∞)上單調遞增,又f(2x-2)<f(x),所以0<2x-2<x,即1<x<2,故f(2x-2)<f(x)的解集為{x|1<x<2}.12345678910111213141516171819(2)因為存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差數列,所以2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2)有解.因為a>0,a≠1,故x>0,故a2x2=(x+1)(x+2)在(0,+∞)上有解,12345678910111213141516171819(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在x=-1處取得極值,求f(x)的單調區間,以及其最大值與最小值.12345678910111213141516171819x(-∞,-1)-1(-1,4)4(4,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.(15分)(2020·全國Ⅰ,文20)已知函數f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求實數a的取值范圍.解

(1)當a=1時,f(x)=ex-x-2,則f'(x)=ex-1.當x<0時,f'(x)<0;當x>0時,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.12345678910111213141516171819(2)f'(x)=ex-a.當a≤0時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調遞增,故f(x)至多存在1個零點,不合題意.當a>0時,由f'(x)=0可得x=ln

a.當x∈(-∞,ln

a)時,f'(x)<0;當x∈(ln

a,+∞)時f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln

a)單調遞減,在(ln

a,+∞)單調遞增,故當x=ln

a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln

a)=-a(1+ln

a).12345678910111213141516171819由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln

a)存在唯一零點.由(1)知,當x>2時,ex-x-2>0,所以當x>4且x>2ln(2a)時,故f(x)在(ln

a,+∞)存在唯一零點.從而f(x)在(-∞,+∞)有兩個零點.1234567891011121314151617181918.(17分)(2022·北京,20)已知函數f(x)=exln(1+x).(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)設g(x)=f'(x),討論函數g(x)在[0,+∞)上的單調性;(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).因此曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.12345678910111213141516171819所以對任意x∈[0,+∞),g'(x)>0恒成立,故g(x)在[0,+∞)上單調遞增.12345678910111213141516171819(3)證明

設函數F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).因為t>0,所以x+t>x>0.因為g(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以g(x+t)>g(x),即g(x+t)-g(x)>0,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上單調遞增.又因為s>0,所以F(s)>F(0),即f(s+t)-f