函數的極限

函數的極限第一節討論了數列的極限，由于數列是一種特殊的函數，即定義在正整數集上的函數xn=f(n)，因而，數列有兩個基本特點：一是自變量n(n∈N*)的變化是間斷的(跳躍的)；二是n無限制地增大.在生產和科學技術中，所討論的自變量往往是連續變化的并且絕對值無限增大或自變量趨近于某一點時函數的變化趨勢，這就是本節要學習的函數的極限問題.

一、函數極限的定義當自變量絕對值無限增大時，函數f(x)的極限1.設f(x)為定義于無限區間上的函數，所謂x的絕對值無限增大，包括如下三種情形：(1)

x取正值無限增大，記作x→+∞.

(2)

x取負值而|x|無限增大，記作x→－∞.

(3)

x不限定正負而|x|無限增大，記作x→∞.

一、函數極限的定義考察函數f(x)=xx+1，從圖2-5中可以看出，當x→+∞時，函數f(x)=xx+1無限趨近于常數1，此時稱1為函數f(x)=xx+1當x→+∞時的極限.圖2-5一、函數極限的定義當x→+∞時函數f(x)的極限與當n→∞時數列f(n)的極限十分類似，所不同的只是自變量x→+∞與n→∞的方式不同：x是連續地趨于+∞，而n是間斷地趨于∞.因此，它們的極限定義也極為類似，只需把數列極限中的“存在正整數N”用“存在正數M”來代替，當“n>N時”用“當x>M時”來代替，就可得下述定義.一、函數極限的定義定義4設函數f(x)定義在區間(a,+∞)上，且存在常數A，如果對于任意給定的ε>0，總存在正數M，當x>M時，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱A為x→+∞時函數f(x)的極限，記為

limx→+∞f(x)=A或f(x)→A(x→+∞)

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關于x→－∞時函數極限的定義，可仿照定義4給出.一、函數極限的定義定義5設函數f(x)定義在區間(－∞,a)上，且存在常數A，如果對于任意給定的ε>0，總存在正數M，當x<－M時，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱A為x→－∞時函數f(x)的極限，記為

limx→－∞f(x)=A或f(x)→A(x→－∞)

.

為了準確描述函數f(x)當x的絕對值無限增大時的變化情況，我們給出函數極限的“ε-M”定義.

一、函數極限的定義定義6如果對于任意給定的正數ε(不論多么小)，總存在一個正數M，使得當|x|>M時，恒有|f(x)－A|<ε成立，則稱當x→∞時，f(x)的極限為A，記作對于給定的正數ε，作兩條平行線y=A－ε和y=A+ε，總有一個正數M存在，當x∈(－∞,－M)∪(M,+∞)時，y=f(x)的圖形全部落在這兩條平行線之間(見圖2-6).

一、函數極限的定義讀者可仿照定義6給出x→+∞和x→－∞時函數極限的“ε-M”定義的幾何解釋.

圖2-6一、函數極限的定義【例14】一、函數極限的定義【例15】一、函數極限的定義“ε-M”證法的一般步驟是：①ε>0；②令f(x)－A<ε；③推出x>φ(ε)；④取M=φ(ε).其中關鍵的一步是由

f(x)－A<εx>φ(ε)，找到M=φ(ε)，并用定義敘述結論.利用定義不難推出如下定理成立.注一、函數極限的定義定理9一、函數極限的定義【例16】一、函數極限的定義當自變量趨向于某一點時，函數f(x)的極限2.【例17】圖2-7一、函數極限的定義一、函數極限的定義一、函數極限的定義定義7設函數f(x)在x0的某去心鄰域內有定義，如果對于任意給定的正數ε(不論多么小)，總存在一個正數δ，使得當0<|x－x0|<δ時，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱當x→x0時，f(x)的極限為A，記作

一、函數極限的定義對于任意給定的正數ε，作兩條平行線y=A－ε和y=A+ε，總有一個正數δ存在，當0<|x－x0|<δ，即x0－δ<x<x0+δ時，y=f(x)的圖形全部落在這兩條平行線之間(見圖2-8).

圖2-8一、函數極限的定義①在極限定義中，要求|x－x0|>0是為了去掉x=x0的情形.因函數f(x)在x=x0處是否有定義并不影響函數f(x)在x→x0時是否有極限.但當x→1時，其極限為4，所以定義中的0<|x－x0|<δ不能寫成|x－x0|<δ.②δ是由給定的ε和不等式|f(x)－A|<ε來確定的，故δ與ε有關，且ε越小δ就越小.有時為了表示這種依賴關系，就寫成δ(ε)，但是δ的值不是唯一的(若δ滿足要求，則比δ小的任何正數都滿足要求).③由定義求函數極限時，常常先限定自變量x的變化范圍：|x－x0|<δ0.由于我們考察的是：當x→x0時，函數f(x)的變化趨勢，所以在點x0鄰域(x0－δ0,x0+δ0)之外，函數f(x)的變化是無關緊要的.注一、函數極限的定義【例18】一、函數極限的定義【例19】一、函數極限的定義“ε-δ”證法的一般步驟是：①將f(x)－A化簡或適當放大成f(x)－A≤φ(x－x0)；②ε>0，令φ(x－x0)<ε，解得x－x0<δ(ε)；③取δ=δ(ε)或δ=min{1,δ(ε)}等；④用“ε-δ”語言敘述結論.其中關鍵的一步是“瞄準”式子x－x0，由

f(x)－A≤φ(x－x0)<εx－x0<δ(ε)，找到δ.有時為了找δ，還要輔以放大不等式，先不妨設x－x0<1等技巧.注一、函數極限的定義單邊極限3.在定義4中，所謂的“x→x0”指的是x從x0的左、右兩側趨近于x0，我們把f(x)在點x0的極限稱為雙邊極限.但在有些問題中，往往只需要考慮x從x0的一側趨近于x0時，函數f(x)的變化趨勢，我們把f(x)在點x0的一側趨近于x0時的極限稱為單邊極限.一、函數極限的定義定義8設函數f(x)在x0的左側有定義，如果當x從x0的左側(x<x0)趨近于x0(記為x→x－0)時f(x)以A為極限，即如果對于任意給定的ε>0，總存在一個正數δ，使得當0<x0－x<δ(或x0－δ<x<x0)時，恒有

|f(x)－A|<ε，則稱常數A為函數f(x)當x→x0時的左極限，記為類似地有下面的定義.一、函數極限的定義定義9設函數f(x)在x0的右側有定義，如果當x從x0的右側(x>x0)趨近于x0(記為x→x+0)時f(x)以A為極限，即如果對于任意給定的ε>0，總存在一個正數δ，使得當0<x－x0<δ(或x0<x<x0+δ)時，恒有

|f(x)－A|<ε，則稱常數A為函數f(x)當x→x0時的右極限，記為

為了精確描述函數f(x)當x無限趨近于某一點(即x→x0)時的變化情況，我們給出函數極限的“ε-δ”定義.

由雙邊極限及單邊極限的定義不難推出，函數f(x)在點x0的極限與函數f(x)在點x0的左、右極限有如下關系.一、函數極限的定義定理10一、函數極限的定義【例20】一、函數極限的定義定義10如果因變量Y在自變量的某一變化過程中，無限趨近于某一常數A，則稱A為變量Y的極限，簡記為limY=A或Y→A

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利用極限的精確定義證明極限時，有關“ε”的特性和“N，M，δ”的尋找方法，本書不再詳細介紹，有興趣的讀者可參看數學分析有關教材和參考書.二、函數極限的性質定理11(有界性定理)若limx→x0f(x)=A，則必存在x0的某一鄰域，使得函數f(x)在該鄰域內有界，即存在正數M和δ，當0<x－x0<δ時，有

f(x)≤M.

證按極限定義，對于任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當x滿足0<x－x0<δ時，恒有