函數的連續與間斷函數的連續與間斷前面學習了極限，通過極限理論進一步考察函數的變化關系.可以發現，在自然界中有許多現象，如植物的生長、氣溫的變化、河水的流動等都是連續變化的.就植物的生長來看，當時間變化很微小時，植物的變化也是很微小的，這種現象在函數關系上的反映就是函數的連續性.本節主要討論連續函數的概念和間斷的概念及其分類.

一、函數的連續性函數的增量1.定義15設自變量x從它的初值x0變到終值x1，則終值與初值之差x1－x0稱為自變量的改變量(或增量)，記為Δx=x1－x0.若函數y=f(x)在點x0處的某個鄰域有定義，當自變量在此鄰域內x從x0變到x0+Δx時，函數相應的改變量記為Δy，則有Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

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與自變量一樣，函數的改變量也稱為函數的增量Δy

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函數的增量是可正可負的.若f(x0+Δx)>f(x0)，則Δy>0；若f(x0+Δx)<f(x0)，則Δy<0

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一、函數的連續性這個關系式的幾何解釋如圖2-11所示.圖2-11一、函數的連續性【例45】一塊正方形的金屬薄板，受熱膨脹后，邊長和面積都在增大.當邊長有一增量Δx時，求其面積A的增量.解設面積與邊長的函數關系為A=x2，當自變量x有一個改變量Δx時，相應函數的增量為ΔA.ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x?Δx+(Δx)2.一、函數的連續性函數的連續性概念2.設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，如果當Δx趨向于零時，函數相對應的增量Δy也趨向于零，即limΔx→0Δy=0成立，則稱函數y=f(x)在點x0連續.

在定義16中，若令x=x0+Δx,即Δx=x－x0，則當Δx→0時，也就是當x→x0時.又因為Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而limΔx→0Δy=0可以改寫為

limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函數y=f(x)在點x0處連續的定義又可敘述如下.定義16一、函數的連續性定義17設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，如果有limx→x0f(x)=f(x0)成立，則稱函數y=f(x)在點x0處連續，且稱x0為函數y=f(x)的連續點.

更直觀一些又可表述為：函數在一點連續應滿足三個條件：(1)函數y=f(x)在點x0有定義.

(2)limx→x0f(x)存在.

(3)極限值等于該點的函數值f(x0)

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如果借用極限定義的“ε-δ”語言，連續性的定義又可表述如下.

設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，如果對于任意給定的小正數ε，總存在正數δ，使得當|x－x0|<δ時，恒有|f(x)－f(x0)|<ε成立，則稱函數y=f(x)在點x0連續.一、函數的連續性定義18如果函數y=f(x)滿足limx→x-0f(x)=f(x0)［或limx→x+0f(x)=f(x0)］，則稱函數y=f(x)在點x0處左(或右)連續.

設函數y=f(x)在區間［a,b］內有定義，如果有limx→b－f(x)=f(b)，那么我們就稱函數y=f(x)在右端點b左連續；如果limx→a+f(x)=f(a)，那么我們就稱函數y=f(x)在左端點a右連續.一、函數的連續性定義19如果一個函數y=f(x)在開區間(a,b)內每一點都連續,則稱函數y=f(x)在開區間(a,b)內連續.如果一個函數y=f(x)在開區間(a,b)內連續，又在左端點a右連續，右端點b左連續，則稱函數y=f(x)在閉區間［a,b］上連續.如果函數y=f(x)在整個定義域內連續，則稱該函數為連續函數.一、函數的連續性定理24函數y=f(x)在點x0處連續的充要條件是函數y=f(x)在點x0既左連續又右連續.一、函數的連續性【例46】證明y=cosx在(－∞,+∞)內是連續的.一、函數的連續性連續函數的圖像是一條連續而不間斷的曲線.通過上面的學習我們已經知道函數的連續性了，同時我們可以聯想一下，若函數在某一點不連續，會出現什么情形呢？下面我們就來討論這個問題：函數的間斷點.注二、函數的間斷點定義20若函數f(x)在點x0的某一空心鄰域內有定義，且f(x)在點x0處不連續，則稱f(x)在點x0處間斷，稱點x0為f(x)的間斷點.

由定義17知，函數f(x)在點x0處連續的條件是：(1)函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義.

如果其中任何一條不滿足，即函數f(x)有下列三種情形之一，那么點x0為f(x)的間斷點：(1)f(x)在點x0處沒有定義.

二、函數的間斷點定義21設點x0為f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；若f(x)在點x0處的左、右極限至少有一個不存在，則稱點x0為函數f(x)的第二類間斷點.

二、函數的間斷點二、函數的間斷點二、函數的間斷點圖2-12二、函數的間斷點【例47】二、函數的間斷點【例48】二、函數的間斷點