第三章導數導數及其應用黃石三中郝海濱1/15/2025一．知識串講

導數是高等數學的基礎，是學習微分和積分的第一步。與其他數學知識一樣，導數與人們的生活和生產實際有著密切的聯系。

我們就是從曲線的切線和物體直線運動的速度出發來研究導數的基本概念的。1/15/2025曲線的切線

以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點P(x0，y0)，點Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點P臨近的一點，做割線PQ，當點Q沿曲線C無限地趨近點P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點P處的切線。1/15/2025（1）導數的概念

1．導數的定義：對函數y=f(x)，在點x=x0處給自變量x以增量△x，函數y相應有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點x=x0處的導數，記為f’(x0)，或y|；1/15/2025

2．導函數：如果函數y=f(x)在區間(a，b)內每一點都可導，就說y=f(x)在區間(a，b)內可導．即對于開區間(a，b)內每一個確定的x0值，都相對應著一個確定的導數f’(x0)，這樣在開區間(a，b)內構成一個新函數，把這一新函數叫做f(x)在(a，b)內的導函數．簡稱導數．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=1/15/2025

3．導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為

y

y0=f’(x0)·(x－x0)．

4．導數的物理意義：物體作直線運動時，路程s關于時間t的函數為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導數，即v(t)=s’(t).1/15/2025（2）常見函數的導數：(C)’

0,(c為常數)；(xn)’

mxn1

；(sinx)’

cosx；(cosx)’

sinx；(ex)’

ex；(ax)’

ax·lna；(lnx)’

；(logax)’

1/15/2025（3）導數的運算

1．函數的和或差的導數法則：兩個函數的和或差的導數，等于兩個函數的導數的和或差，即(u±v)’＝u’±v’.2．函數的積的導教法則：兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即(uv)’＝u’v+v’u.1/15/20253．函數的商的導數法則：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方．即()’=

(v≠0)。1/15/20254．復合函數y=f[g(x)]的導數法則：設函數u＝g(x)在點x處有導數u’x＝g’(x)，函數f(u)在點x處的u處有導數y’u=f’(u)；則復合函數y=f[g(x)]在點x處也有導數，且y’x＝y’u·u’x，也可簡述為：復合函數對自變量x的導數，等于已知函數對中間變量u的導數乘以中間變量u對自變量x的導數。1/15/2025（4）函數的單調性

設函數y=f(x)在某個區間(a,b)內可導，如果f’(x)>0，則函數y=f(x)在區間(a,b)內為增函數；如果f’(x)<0，則函數y＝f(x)在區間(a,b)內為減函數；如果恒有f’(x)＝0，則y=f(x)在區間(a,b)內為常數函數.1/15/2025

1．設函數y=f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有點x都有f(x)＜f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)；2．如果對x0附近的所有點x，都有f(x)＞f(x0)，稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0).極大值與極小值統稱為極值。1/15/2025

3．判斷法則：①對于在x0處連續的函數，如果在x0附近的左側f’(x)>0，右側f’(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f’(x)<0，右側f’(x)>0，那么f(x0)是極小值．1/15/2025（5）函數的最大值與最小值

1．定義：最值是一個整體性概念，是指函數在給定區間(或定義域)內所有函數值中最大的值或最小的值，最大數值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小值記為m.1/15/2025

2．存在性：在閉區間[a，b]上連續函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．3．求最大（小）值的方法：函數f(x)在閉區間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內的極值；②將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值.1/15/2025例1．已知函數f(x)=,判斷f(x)在x＝1處是否可導？分析：函數在x=1的左右兩側的函數表達式是不同的，要判斷

f(x)在x=1處的可導性，就要分兩側研究極限，比較它們的極限值是否相同。二．例題講解

1/15/2025解：f(1)=1,

函數y=f(x)在x＝1處不可導．例1．已知函數f(x)=,判斷f(x)在x＝1處是否可導？1/15/2025例2．設曲線y＝cosx在A(，)點處的切線傾斜角為θ，求cot(

θ)的值分析：要求cot(－θ)的值，就必須求出θ角的一個三角函數值，由于θ是切線的傾斜角，所以，切線的斜率k=tanθ.解：y

cosx,

y’

sinx,當x

時,k

sin

,

tanθ

，

cot(

θ)

.1/15/2025例3．證明：若函數y=f(x)是可導奇函數，那么它的導數y=f’(x)是偶函數。

證明：定義法：設f(x)為可導奇函數，則f(－x)＝－f(x),

f’(－x)===f’(x).即f’(－x)=f’(x)．

導函數為偶函數.

同理可證：可導的偶函數的導函數是奇函數．1/15/2025例4．求函數y＝sin(log3ex)的導數．分析一：將其變形為y＝sin(x·log3e)，其中log3e是常數，那么此函數是由u＝x·log3e與y＝sinu構成的復合函數；解法一：由y＝sin(log3ex)得y＝sin(x·log3e),

y’=cos(x·log3e)·log3e=cos(log3ex)·log3e.分析二：將原函數看作是由函數y＝sinu,u=log3v，v=ex，三個函數構成的復合函數．

解法二：原函數可看成y=sinu,u=log3v，v=ex，三個函數復合而成，

y’=cosu·()·ex

=cos(log3ex)·log3e

1/15/2025

說明：在求復合函數的導數時，應首先對函數解析式作認真的分析，經過合理的變形，使求解的過程達到簡便準確的目的．復合函數的求導法則可推廣用于多層復合函數的情形，如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，那么y’(x)=f’(u)·g’(v)·h’(x).1/15/2025例5．設<a<1，函數f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值為1，最小值為

,求a,b的值。解：f’(x)=3x2－3ax=3x(x－a)，當x變化時，f’(x),f(x)的變化情況列表如下：1/15/2025當x=0時,f(x)取得極大值b，在x=a處取得一個極小值f(a)=，而f(0)>f(a)，f(－1)<f(1)，∴需要比較f(0)與f(1)的大小，∵f(0)－f(1)＝a－1>0，∴f(x)的最大值為f(0)＝b=1，1/15/2025

又f(

1)

f(a)

(a3

3a

2)

(a

1)2(a

2)<0，

f(x)|min

f(

1)，

a

1

b

a

,

a

，b

1.1/15/2025

說明：這是一個確定最大值的問題。在確定最大值時，應求出所有的極值（包括極大值與極小值），然后將它們與函數在區間的端點值的大小進行比較，其中最大的值是函數的最大值，最小的值是函數的最小值。一定要注意：不能直接將極值作為最值。1/15/2025例6．已知實數x,y，滿足x2＋y2＝2x，求x2y2的取值范圍．解：本題主要考查函數最值的一般求法，關鍵要注意變量的取值范圍．x2y2=x2(2x－x2)＝2x3