第五章空間與圖形§5.1圖形的軸對稱、平移與旋轉中考數學

(北京專用)2014-2018年北京中考題組五年中考1.(2017北京,5,3分)下列圖形中,是軸對稱圖形但

中心對稱圖形的是

(

)

答案

A選項A中的圖形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;選項B、D中的圖形既是軸對

稱圖形又是中心對稱圖形;選項C中的圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.故選A.2.(2016北京,7,3分)甲骨文是我國的一種古代文字,是漢字的早期形式.下列甲骨文中,

軸對稱圖形的是

(

)

答案

D選項A、B、C都是軸對稱圖形,故選D.3.(2015北京,4,3分)剪紙是我國傳統的民間藝術.下列剪紙作品中,是軸對稱圖形的為

(

)

答案

D選項A、B既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形;選項C是中心對稱圖形,不是軸

對稱圖形;選項D是軸對稱圖形.故選D.4.(2013北京,6,4分)下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是

(

)

答案

A

A項是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形.B項既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.C項不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形.D項既不是中心對稱圖形,又不是軸對稱圖形.故選A.5.(2017北京,15,3分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,△AOB可以看作是△OCD經過若干次圖形

的變化(平移、軸對稱、旋轉)得到的,寫出一種由△OCD得到△AOB的過程:

.

答案將△OCD以點C為旋轉中心按順時針方向旋轉90°,再向左平移2個單位長度(答案不唯

一)6.(2011北京,22,5分)閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個問題:如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD相交于點O.若梯形

ABCD的面積為1,試求以AC、BD、AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積.圖1圖2小偉是這樣思考的:要想解決這個問題,首先應想辦法移動這些分散的線段,構造一個三角形,

再計算其面積即可.他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法,發現通過平移可以解決這個問題.

他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E,得到的△BDE即是以AC、BD、AD+

BC的長度為三邊長的三角形(如圖2).請你回答:圖2中△BDE的面積等于

.參考小偉同學思考問題的辦法,解決下列問題:如圖3,△ABC的三條中線分別為AD、BE、CF.(1)在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形(保留畫

圖痕跡);圖3(2)若△ABC的面積為1,則以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于

.解析

1.(1)如圖.

以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形是△CFP.(2)

.教師專用題組考點一軸對稱的概念及性質1.(2018重慶,2,4分)下列圖形中一定是軸對稱圖形的是

(

)

答案

D根據軸對稱圖形的概念可得矩形一定是軸對稱圖形.故選D.解題關鍵

判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸.2.(2018河北,3,3分)圖中由“

”和“

”組成軸對稱圖形,該圖形的對稱軸是直線

(

)

A.l1

B.l2

C.l3

D.l4

答案

C如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合,這個圖形叫做軸對

稱圖形,由此知該圖形的對稱軸是直線l3,故選C.3.(2018天津,10,3分)如圖,將一個三角形紙片ABC沿過點B的直線折疊,使點C落在AB邊上的點

E處,折痕為BD,則下列結論一定正確的是

(

)

A.AD=BD

B.AE=ACC.ED+EB=DB

D.AE+CB=AB答案

D由折疊的性質知,BC=BE,∴AE+CB=AB.故選D.4.(2018天津,11,3分)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個

動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是

(

)

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF答案

D在正方形ABCD中,連接CE、PC.

∵點A與點C關于直線BD對稱,∴AP=CP,∴AP+EP的最小值為EC.∵E,F分別為AD,BC的中點,∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE.故選D.思路分析

點A關于直線BD的對稱點為點C,連接CE,AP+EP的最小值就是線段CE的長度;通

過證明△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于線段AF的長.解后反思

本題考查軸對稱,正方形的性質,主要依據“兩點之間線段最短”.只要作出點A(或

點E)關于直線BD的對稱點C(或G),再連接EC(或AG),所得的線段長為兩條線段和的最小值.5.(2018新疆,9,5分)如圖,點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點,點M,N分別是AB,

BC邊上的中點,則MP+PN的最小值是

(

)

A.

B.1

C.

D.2答案

B如圖,取AD的中點M',連接M'N,M'P,則有MP=M'P.MP+PN的最小值為線段M'N的長,

即菱形邊長1.故選B.

思路分析

先確定M關于直線AC的對稱點M',再借助兩點之間線段最短來確定線段和的最小

值.解題關鍵

解決本題的關鍵是要借助軸對稱將MP+PN轉化為M'P+PN,進而借助兩點之間線

段最短來解決.6.(2017內蒙古呼和浩特,3,3分)下圖中序號(1)(2)(3)(4)對應的四個三角形,都是△ABC這個圖形

進行了一次變換之后得到的,其中是通過軸對稱得到的是

(

)

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)答案

A根據軸對稱的性質可知,序號(1)對應的三角形與△ABC的對應點所連的線段被一

條直線(對稱軸)垂直平分,故選A.7.(2017山西,6,3分)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到△BC'D,C'D與AB交于點E.若∠1=35°,則∠2的度數為

(

)

A.20°

B.30°

C.35°

D.55°答案

A∵AB∥CD,∠C=90°,∴∠ABD=∠1=35°,∠DBC=90°-∠1=55°,由折疊的性質得∠DBC'=∠DBC=55°,∴∠2=∠DBC'-∠ABD=55°-35°=20°.8.(2017福建,5,4分)下列關于圖形對稱性的命題,正確的是

(

)A.圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形B.正三角形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形C.線段是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形D.菱形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形答案

A圓是軸對稱圖形,每一條經過圓心的直線都是它的對稱軸,圓又是中心對稱圖形,對

稱中心是圓心,故選A.9.(2017新疆烏魯木齊,9,4分)如圖,在矩形ABCD中,點F在AD上,點E在BC上,把這個矩形沿EF折

疊后,使點D恰好落在BC邊上的G點處,若矩形面積為4

且∠AFG=60°,GE=2BG,則折痕EF的長為

(

)

A.1

B.

C.2

D.2

答案

C∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠H=∠D=∠FGH=∠C=90°.由折疊知∠GFE=∠DFE,FD=FG.∵∠GFD=180°-∠AFG=120°,∴∠GFE=∠DFE=60°.∵AD∥BC,∴∠FGE=∠AFG=60°,∠FEG=∠DFE=60°,∴△GEF是等邊三角形,∴FG=GE=FE.

設BG=x,則GF=GE=EF=FD=2x.作GM⊥AD,交AD于點M,則四邊形ABGM是矩形,GM=GF·sin60°=

x,MF=GF·cos60°=x,∴AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x,∵AD·GM=4

,∴4x·

x=4

,解得x=1或x=-1(不符合題意,舍去),∴EF=2x=2,故選C.10.(2017安徽,10,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.動點P滿足S△PAB=

S矩形ABCD.則點P到A,B兩點距離之和PA+PB的最小值為

(

)

A.

B.

C.5

D.

答案

D如圖,過P點作MN,使MN∥AB,作A點關于MN的對稱點A1,連接PA1,A1B,則PA1=PA,設

點P到AB的距離為h,由AB=5,AD=3,S△PAB=

S矩形ABCD可得h=2,則AA1=4,因為PA+PB=PA1+PB≥A1B,所以當P為A1B與MN的交點時,PA+PB最小,其最小值為

=

,故選D.

疑難突破

本題的突破口是根據S△PAB=

S矩形ABCD推出P點是在平行于AB的線段上運動,從而想到利用軸對稱的性質將問題轉化.11.(2016河北,3,3分)下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是

(

)

答案

A選項B只是軸對稱圖形,選項C和D只是中心對稱圖形,只有選項A既是軸對稱圖形,

又是中心對稱圖形.12.(2016四川南充,3,3分)如圖,直線MN是四邊形AMBN的對稱軸,點P是直線MN上的點,下列判

斷錯誤的是

(

)

A.AM=BM

B.AP=BNC.∠MAP=∠MBP

D.∠ANM=∠BNM答案

B根據軸對稱的性質,可知AM=BM,△MAP≌△MBP,△AMN≌△BMN,∴∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM,∴A、C、D正確.故選B.13.(2015福建福州,7,3分)如圖,在3×3的正方形網格中有四個格點A,B,C,D,以其中一點為原點,

網格線所在直線為坐標軸,建立平面直角坐標系,使其余三個點中存在兩個點關于一條坐標軸

對稱,則原點是

(

)

A.A點

B.B點

C.C點

D.D點答案

B以點B為坐標原點,網格線所在直線為坐標軸,建立平面直角坐標系,則點A,C關于坐

標軸對稱,故選B.14.(2018重慶,16,4分)如圖,把三角形紙片折疊,使點B、點C都與點A重合,折痕分別為DE,FG,得

到∠AGE=30°,若AE=EG=2

厘米,則△ABC的邊BC的長為

厘米.

答案

(6+4

)解析過E作EH⊥AG于H.∵∠AGE=30°,AE=EG=2

,∴EH=

,GH=EGcos30°=3,∴AG=6,∴GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2

,∴BC=BE+EG+GC=(6+4

)厘米.15.(2018河南,15,3分)如圖,∠MAN=90°,點C在邊AM上,AC=4,點B為邊AN上一動點,連接BC,△A'BC與△ABC關于BC所在直線對稱.點D,E分別為AC,BC的中點,連接DE并延長交A'B所在直線于點F,連接A'E.當△A'EF為直角三角形時,AB的長為

.

答案

4或4

解析

(1)當點A'在直線DE下方時,如圖1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF為鈍角三角

形,不符合;(2)①當點A'在直線DE上方時,如圖2.當∠A'FE=90°時,∵DE∥AB,∴∠EDA=90°,∴A'B∥AC.由對稱知四邊形ABA'C為正方形,∴AB=AC=4;②當點A'在直線DE上方時,如圖3.當∠A'EF=90°時,A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE為等邊三角

形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC·tan60°=4

;③當點A'在直線DE上方時,∠EA'F<∠CA'B,不可能為90°.綜上所述,當△A'EF為直角三角形時,AB的長為4或4

.

圖1圖2

圖3思路分析

由題意知,點B為邊AN上的動點,A點的對稱點A'可以在直線DE的下方或上方.分類

討論,當點A'在DE的下方時,△A'EF不可能為直角三角形,當點A'在直線DE上方時,∠A'EF或∠A'FE為90°時分別計算AB的長,顯然∠EA'F<90°,可以排除.方法總結

解對稱(折疊)型問題,當對稱軸過定點時,一般要找出對稱中的定長線段,以定點為

圓心,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法.再根據題目中所要求的條

件,結合全等、相似或勾股定理等計算得出結果.16.(2017江西,12,3分)已知點A(0,4),B(7,0),C(7,4),連接AC,BC得到矩形AOBC,點D在邊AC上,將

邊OA沿OD折疊,點A的對應點為A',若點A'到矩形

兩對邊的距離之比為1∶3,則點A'的坐標為

.答案

(

,3)或(

,1)或(2

,-2)解析∵點A(0,4),B(7,0),C(7,4),∴BC=OA=4,OB=AC=7.分兩種情況進行討論:(1)當點A'在矩形AOBC的內部時,過A'作OB的垂線交OB于F,交AC于E,如圖1所示.

圖1①當A'E∶A'F=1∶3時,∵A'E+A'F=OA=4,∴A'E=1,A'F=3,由折疊可得OA'=OA=4,在Rt△OA'F中,OF=

=

=

,∴A'(

,3).②當A'E∶A'F=3∶1時,同理,得A'(

,1).(2)當點A'在矩形AOBC的外部時,此時點A'在第四象限,過A'作OB的垂線交OB于F,交AC于E,如

圖2所示.

圖2∵A'F∶A'E=1∶3,則A'F∶EF=1∶2,∴A'F=

EF=

BC=2,由折疊可得OA'=OA=4,在Rt△OA'F中,OF=

=

=2

,∴A'(2

,-2).綜上,點A'的坐標為(

,3)或(

,1)或(2

,-2).易錯警示

解此題時,需分類討論點A'的位置,學生往往只畫出點A'在第一象限的情況而漏解.17.(2016吉林,14,3分)在三角形紙片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,點D(不與B,C重合)是BC上任意

一點.將此三角形紙片按下列方式折疊.若EF的長度為a,則△DEF的周長為

(用含a的

式子表示).

答案

3a解析易知∠FDC=∠C=90°,∴∠FDB=90°.∵∠B=30°,∴在Rt△BDF中,∠BFD=60°.∵∠EDB=∠B=30°,∴∠DEF=60°.∴△DEF是等邊三角形.∴△DEF的周長是3a.18.(2015江蘇南京,13,2分)在平面直角坐標系中,點A的坐標是(2,-3),作點A關于x軸的對稱點,得

到點A',再作點A'關于y軸的對稱點,得到點A″,則點A″的坐標是(

,

).答案

-2;3解析點A(2,-3)關于x軸的對稱點A'的坐標是(2,3),點A'(2,3)關于y軸的對稱點A″的坐標是(-2,

3).19.(2014湖南郴州,16,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一點,將矩形ABCD沿CE

折疊后,點B落在AD邊的點F上,則DF的長為

.

答案

6解析在矩形ABCD中,CD=AB=8,由對稱性知CF=BC=10,在Rt△DCF中,DF=

=6.20.(2017甘肅蘭州,26,10分)如圖1,將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊,頂點C落到

點E處,BE交AD于點F.(1)求證:△BDF是等腰三角形;(2)如圖2,過點D作DG∥BE,交BC于點G,連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀,并說明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的長.

解析

(1)證明:由折疊得,△BDC≌△BDE,∴∠DBC=∠DBF.

(1分)又∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠FDB.

(2分)∴∠DBF=∠FDB.∴DF=BF.∴△BDF是等腰三角形.

(3分)(2)①四邊形BFDG是菱形.

(4分)理由如下:∵四邊形ABCD是矩形,∴FD∥BG,

(5分)又∵DG∥BE,∴四邊形BFDG是平行四邊形.

(6分)又∵DF=BF,∴四邊形BFDG是菱形.

(7分)②∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴BD=

=

=10.∵四邊形BFDG是菱形,∴GF⊥BD,FG=2OF,OD=

BD=5.

(8分)∵∠FDO=∠BDA,∠FOD=∠A=90°,∴△OFD∽△ABD.

(9分)∴

=

,即

=

,∴OF=

.∴FG=2OF=

.

(10分)思路分析

(1)利用折疊及矩形的性質得到角的等量關系,再用等角對等邊轉化成邊的等量關

系;(2)先判斷四邊形BFDG是平行四邊形,再利用一組鄰邊相等即可判斷四邊形BFDG是菱形;

(3)利用相似三角形的性質,把線段OF與矩形的邊聯系起來,求得線段OF的長,再利用菱形的性

質求出FG的長.考點二平移的概念及性質1.(2018江西,5,3分)小軍同學在網格紙上將某些圖形進行平移操作,他發現平移前后的兩個圖

形所組成的圖形可以是軸對稱圖形.如圖所示,現在他將正方形ABCD從當前位置開始進行一

次平移操作,平移后的正方形的頂點也在格點上,則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形

的平移方向有

(

)

A.3個

B.4個

C.5個

D.無數個答案

C如圖所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射線AC或BD方向平移,平移

后的兩個正方形組成軸對稱圖形.故選C.

2.(2016山東青島,5,3分)如圖,線段AB經過平移得到線段A'B',其中點A,B的對應點分別為點A',B',這四個點都在格點上.若線段AB上有一個點P(a,b),則點P在A'B'上的對應點P'的坐標為

(

)

A.(a-2,b+3)

B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)

D.(a+2,b-3)答案

A線段AB向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度得到線段A'B',由此可知線

段AB上的點P(a,b)的對應點P'的坐標為(a-2,b+3),故選A.評析

在平面直角坐標系中,點的平移與其坐標變化的關系是“上加下減,右加左減”,即點向

上(或下)平移a個單位長度,則縱坐標加a(或減a);點向右(或左)平移b個單位長度,則橫坐標加b

(或減b).3.(2014山東濟南,20,3分)如圖,將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著

AD方向平移,得到△A'B'C',當兩個三角形重疊部分的面積為32時,它移動的距離AA'等于

.

答案

4或8解析設AA'=x,則A'D=12-x,則有x(12-x)=32,解得x=4或8,經檢驗均符合題意.4.(2017山西,13,3分)如圖,已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).將△ABC向

右平移4個單位,得到△A'B'C',點A,B,C的對應點分別為A',B',C',再將△A'B'C'繞點B'順時針旋轉90°,得到△A″B″C″,點A',B',C'的對應點分別為A″,B″,C″,則點A″的坐標為

.

答案

(6,0)解析如圖,點A″的坐標為(6,0).

5.(2014江西,11,3分)如圖,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC的方向平移2個

單位后,得到△A'B'C',連接A'C,則△A'B'C的周長為

.

答案

12解析∵B'C'=BC=6,CC'=2,∴B'C=B'C'-CC'=4,∵A'B'=AB=4,∴B'C=A'B',又∵∠A'B'C=∠B=60°,∴△A'B'C是等邊三角形,∴△A'B'C的周長是12.6.(2018福建,21,8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.線段AD由線段AB繞點A按逆時

針方向旋轉90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直線EF過點D.(1)求∠BDF的大小;(2)求CG的長.

解析

(1)∵線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到,∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.(2)由平移的性質可得AE∥CG,AB∥EF,且AE=CG.∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°,∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,∴

=

,∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=

,∴CG=AE=

.解后反思

本題考查圖形的平移與旋轉、平行線的性質、等腰直角三角形的判定與性質、

解直角三角形、相似三角形的判定與性質等基礎知識,考查運算能力、推理能力、數形結合

思想、化歸與轉化思想.7.(2016江蘇南京,20,8分)我們在學完“平移、軸對稱、旋轉”三種圖形的變化后,可以進行進

一步研究.請根據示例圖形,完成下表.圖形的變化示例圖形與對應線段有關的結論與對應點有關的結論平移

(1)

.AA'=BB';AA'∥BB'.軸對稱

(2)

.(3)

.旋轉

AB=A'B';對應線段AB和A'B'所在

的直線相交所成的角與旋轉角相

等或互補.(4)

.解析

(1)AB=A'B';AB∥A'B'.(2)AB=A'B';對應線段AB和A'B'所在的直線相交,交點在對稱軸l上.(3)l垂直平分AA',BB'.(4)OA=OA';∠AOA'=∠BOB'.8.(2017安徽,18,8分)如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中,給出了格點△ABC

和△DEF(頂點為網格線的交點),以及過格點的直線l.(1)將△ABC向右平移兩個單位長度,再向下平移兩個單位長度,畫出平移后的三角形;(2)畫出△DEF關于直線l對稱的三角形;(3)填空:∠C+∠E=

°.

解析

(1)如圖所示.

(3分)(2)如圖所示.

(6分)

(3)45.

(8分)提示:∠A1C1F1=∠C+∠E,連接A1F1,易證三角形A1F1C1是等腰直角三角形且∠A1C1F1=45°.9.(2015福建龍巖,22,12分)下列網格中的六邊形ABCDEF是由邊長為6的正方形左上角剪去邊

長為2的正方形所得,該六邊形按一定的方法可剪拼成一個正方形.(1)根據剪拼前后圖形的面積關系求出拼成的正方形的邊長;(2)如圖甲,把六邊形ABCDEF沿EH,BG剪成①②③三部分,請在圖甲中畫出將②③與①拼成的

正方形,然后標出②③變動后的位置,并指出②③屬于旋轉、平移和軸對稱中的哪一種圖形變

換;

圖甲

圖乙(3)在圖乙中畫出一種與圖甲不同位置的兩條裁剪線,并在圖乙中畫出將此六邊形剪拼成的正

方形.解析

(1)由剪拼前后面積相等可知,拼成的正方形的邊長=

=4

.

(3分)(2)

②③都是平移變換.

(8分)(3)如下圖,兩種只需對一種即可.

(12分)考點三旋轉的概念及性質1.(2018天津,4,3分)下列圖形中,可以看作是中心對稱圖形的是

(

)

答案

A在平面內,把一個圖形繞著某個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重

合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,選項A中的圖形符合中心對稱圖形的定義,故選A.2.(2018山西,8,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點C按逆時針方

向旋轉得到△A'B'C,此時點A'恰好在AB邊上,則點B'與點B之間的距離為

(

)

A.12

B.6

C.6

D.6

答案

D如圖,連接BB',由旋轉可知AC=A'C,BC=B'C,∵∠A=60°,∴△ACA'為等邊三角形,∴∠ACA'=60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BCB'為等邊三角形,在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=6,則BC=6

.∴BB'=BC=6

,故選D.

3.(2017福建,10,4分)如圖,網格紙上正方形小格的邊長為1.圖中線段AB和點P繞著同一個點做

相同的旋轉,分別得到線段A'B'和點P',則點P'所在的單位正方形區域是

(

)

A.1區

B.2區

C.3區

D.4區答案

D連接AA',BB',分別作AA',BB'的垂直平分線,兩條直線相交于點O,點O就是旋轉中心,

旋轉角為90°,連接OP,OP繞點O逆時針旋轉90°即可得到OP',可知點P'落在4區,故選D.4.(2017河北,5,3分)圖1和圖2中所有的小正方形都全等.將圖1的正方形放在圖2中①②③④的

某一位置,使它與原來7個小正方形組成的圖形是中心對稱圖形,這個位置是

(

)

圖1圖2A.①

B.②

C.③

D.④答案

C根據中心對稱圖形的定義知當正方形放在③的位置時,可使它與原來的7個小正方

形組成的圖形是中心對稱圖形.故選C.5.(2017天津,9,3分)如圖,將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE,點C的對應點E恰好落在AB的

延長線上,連接AD.下列結論一定正確的是

(

)

A.∠ABD=∠E

B.∠CBE=∠CC.AD∥BC

D.AD=BC答案

C∵△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△DBE,∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,∴△ABD是等邊三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAB=∠CBE,∴AD∥BC,故選C.解題關鍵

熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.6.(2016河南,8,3分)如圖,已知菱形OABC的頂點O(0,0),B(2,2),若菱形繞點O逆時針旋轉,每秒旋

轉45°,則第60秒時,菱形的對角線交點D的坐標為

(

)

A.(1,-1)

B.(-1,-1)C.(

,0)

D.(0,-

)答案

B由題意知菱形每8秒旋轉一周,60秒旋轉7周余4秒,4秒旋轉180°,即旋轉60秒后得到

的圖形與原圖形關于原點成中心對稱,因為B(2,2),所以D(1,1),D關于原點對稱的點的坐標為(-1,-1).故選B.7.(2015天津,7,3分)在平面直角坐標系中,把點P(-3,2)繞原點O順時針旋轉180°,所得到的對應

點P'的坐標為

(

)A.(3,2)

B.(2,-3)C.(-3,-2)

D.(3,-2)答案

D在平面直角坐標系中,任意一點A(x,y)繞原點O順時針旋轉180°,所得到的對稱點是

A'(-x,-y),故點P(-3,2)關于原點的對稱點是P'(3,-2).故選D.8.(2015天津,11,3分)如圖,已知?ABCD中,AE⊥BC于點E,以點B為中心,取旋轉角等于∠ABC,

把△BAE順時針旋轉,得到△BA'E',連接DA'.若∠ADC=60°,∠ADA'=50°,則∠DA'E'的大小為

(

)

A.130°

B.150°

C.160°

D.170°答案

C在?ABCD中,因為∠ADC=60°,所以∠CBA=60°.在△AEB中,因為∠EBA=60°,∠AEB=90°,所以∠EAB=30°.又因為AD∥BC,∠ADA'=50°,所以∠BA'D=180°-50°=130°.由旋轉的

性質知,∠E'A'B=∠EAB=30°,所以∠DA'E'=130°+30°=160°.故選C.9.(2018江西,10,3分)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉,得到矩形AEFG,點B的對應點E落在CD上,且DE=EF,則AB的長為

.

答案

3

解析根據旋轉的性質,得BC=EF,AB=AE,又四邊形ABCD為矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=90°,即△ADE為等腰直角三角形,根據勾股定理得AE=

=3

,所以AB=AE=3

.解題關鍵

熟練掌握旋轉的性質是解決本題的關鍵.10.(2018陜西,14,3分)如圖,點O是?ABCD的對稱中心,AD>AB,E、F是AB邊上的點,且EF=

AB;G、H是BC邊上的點,且GH=

BC.若S1,S2分別表示△EOF和△GOH的面積,則S1與S2之間的等量關系是

.

答案

2S1=3S2

解析如圖,連接AC,BD,交點為O,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AO=OC,∴S△ABO=S△OBC,∵EF

=

AB,∴S1=

S△ABO,∵GH=

BC,∴S2=

S△OBC,所以2S1=3S2.

11.(2018內蒙古包頭,20,3分)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一個動點(不

與點A,B重合),連接CD,將CD繞點C順時針旋轉90°得到CE,連接DE,DE與AC相交于點F,連接

AE.

下列結論:①△ACE≌△BCD;②若∠BCD=25°,則∠AED=65°;③DE2=2CF·CA;④若AB=3

,AD=2BD,則AF=

.其中正確的結論是

.(填寫所有正確結論的序號)答案①②③解析①根據旋轉的性質及AC=BC可得△ACE≌△BCD;②在△BDC中,∠BDC=180°-45°-25°

=110°,∴∠AEC=110°.由題意知CD=CE,∠DCE=90°,∴∠DEC=45°,∴∠AED=∠AEC-∠DEC=

65°;③∵∠ACE=∠FCE,∠FEC=∠CAE=45°,∴△CFE∽△CEA,∴

=

,即CE2=CF·CA,∵在Rt△DCE中,2CE2=DE2,∴DE2=2CF·CA;④∵AB=3

,AD=2BD,∴AC=3,AD=2

,AE=BD=

,易知∠DAE=90°,∴DE=

=

,由③知DE2=2CF·CA,∴(

)2=2CF×3,∴CF=

,∴AF=AC-CF=

.所以正確的結論為①②③.思路分析

根據旋轉的性質及AC=BC可判斷①正確;由∠BCD=25°,∠B=45°,可得∠BDC=∠AEC=110°,由題意知△DCE為等腰直角三角形,進而求得∠AED=65°,②正確;易證△CFE∽△CEA,則CE2=CF·CA.根據DE2=2CE2可知③正確;在Rt△ADE中,由勾股定理得DE=

,根據DE2=2CF·CA求得CF=

,進而求得AF=

,所以④錯.疑難突破

本題考查了旋轉的性質,等腰直角三角形的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性

質等知識,靈活運用旋轉的性質是關鍵,難點在于由旋轉的性質得到數量關系及由題中條件判

定三角形相似,并由相似的性質求線段間的數量關系,再求有關線段的長度.12.(2016新疆烏魯木齊,15,4分)如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P是邊DC上的動點,G是AP的中

點,以P為中心,將PG繞點P順時針旋轉90°,G的對應點為G',當B、D、G'在一條直線上時,PD=

.

答案

解析當B、D、G'在一條直線上時(如圖),過點G'作G'M⊥CD的延長線,垂足為M.

∵∠ADC=90°,∠GPG'=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∠APD+∠DPG'=90°,∴∠DAP=∠DPG',∴

Rt△PAD∽Rt△G'PM,∴

=

=

,∵AP的中點為G,PG繞P順時針旋轉90°得PG',∴PG'∶AP=1∶2,∴

=

=

,不妨設PD=x,則G'M=

x,∵G'M∥BC,∴△DCB∽△DMG',∴

=

,∵AB=CD=4,BC=8,∴

=

,則DM=

x,∴PM=

x.∵

=

,∴

=

,解得x=

.13.(2015福建福州,16,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=

.將△ABC繞點C逆時針旋轉60°,得到△MNC,連接BM,則BM的長是

.

答案

+1解析如圖,連接AM,易知△AMC是等邊三角形,所以CM=AM,易證△BMC≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt△CDB中,CD=CB·sin45°=1,所以BD=CD=1.在Rt△CDM中,DM=CM·sin60°=

,所以BM=BD+DM=

+1.

14.(2018吉林,20,7分)下圖是由邊長為1的小正方形組成的8×4網格,每個小正方形的頂點叫做

格點.點A,B,C,D均在格點上,在網格中將點D按下列步驟移動:第一步:點D繞點A順時針旋轉180°得到點D1;第二步:點D1繞點B順時針旋轉90°得到點D2;第三步:點D2繞點C順時針旋轉90°回到點D.

(1)請用圓規畫出點D→D1→D2→D經過的路徑;(2)所畫圖形是

對稱圖形;(3)求所畫圖形的周長(結果保留π).解析

(1)

(3分)(2)軸.

(4分)(3)所畫圖形的周長為

+

×2=4π+4π=8π.

(7分)評分說明:1.第(1)題,畫圖正確,不標D1,D2不扣分;2.第(1)題,畫圖不完整時,每畫對一條弧給1分;3.第(3)題,直接寫8π也給分.15.(2017河南,22,10分)如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,

連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.(1)觀察猜想圖1中,線段PM與PN的數量關系是

,位置關系是

;(2)探究證明把△ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理

由;(3)拓展延伸把△ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.

解析

(1)PM=PN;PM⊥PN.

(2分)(2)等腰直角三角形.

(3分)理由如下:由旋轉可得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.

(5分)∵點P,M分別是DC,DE的中點,∴PM是△DCE的中位線.∴PM=

CE且PM∥CE.同理可證PN=

BD且PN∥BD.∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC.

(6分)∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN.∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△PMN為等腰直角三角形.

(8分)(3)

.

(10分)詳解:同(2)可證△PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PM⊥PN.又知PM=

EC,所以S△PMN=

PM2=

EC2,所以當EC最大時,S△PMN最大.如圖,EC的最大值為AE+AC=AD+AB=4+10=14,∴S△PMN的最大值為

.

16.(2015江西南昌,16,6分)如圖,正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱.已知A,D1,D三點的坐標分別是(0,4),(0,3),(0,2).(1)求對稱中心的坐標;(2)寫出頂點B,C,B1,C1的坐標.

解析

(1)∵D和D1是對稱點,∴對稱中心是線段DD1的中點.

(1分)∴對稱中心的坐標是

.

(2分)(2)B(-2,4),C(-2,2),B1(2,1),C1(2,3).

(6分)17.(2015廣西南寧,21,8分)如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-1,

1),B(-3,1),C(-1,4).(1)畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1;(2)將△ABC繞點B順時針旋轉90°后得到△A2BC2.請在圖中畫出△A2BC2,并求出線段BC在旋轉

過程中所掃過的面積.(結果保留π)

解析

(1)△A1B1C1如圖所示.

(3分,正確作出一點給1分)(2)△A2BC2如圖所示.

(6分,正確作出一點給1分)

在Rt△ABC中,AB=2,AC=3,∴BC=

=

.

(7分)∵∠CBC2=90°,∴

=

=

.

(8分)考點一軸對稱的概念及性質三年模擬A組

2016—2018年模擬·基礎題組1.(2018北京石景山一模,4)下列博物院的標識中不是軸對稱圖形的是

(

)

答案

A選項A中的圖形不是軸對稱圖形,故選A.2.(2018北京平谷一模,1)風和日麗春光好,又是一年舞箏時.放風箏是我國人民非常喜愛的一項

戶外娛樂活動.下列風箏剪紙作品中,不是軸對稱圖形的是

(

)

答案

B選項B中的圖形不是軸對稱圖形.故選B.3.(2018北京延慶一模,6)已知正六邊形ABCDEF,下列圖形中,不是軸對稱圖形的是

(

)

答案

D選項A、B、C是軸對稱圖形,選項D不是軸對稱圖形.故選D.4.(2017北京海淀一模,2)下列四個圖形依次是北京、云南、西藏、安徽四個省市自治區的圖

案字體,其中是軸對稱圖形的是

(

)

答案

A觀察各選項中的圖形可知,只有A有一條對稱軸,是軸對稱圖形,其他圖形都不是軸

對稱圖形.故選A.5.(2017北京石景山一模,4)篆體是我國漢字古代書體之一.下列篆體字“美”“麗”“北”

“京”中,不是軸對稱圖形的為

(

)

答案

B觀察可知B中圖形不是軸對稱圖形.6.(2016北京朝陽一模,4)下列圖形選自歷屆世博會會徽,其中是軸對稱圖形的是

(

)

答案

B選項A、C、D均不是軸對稱圖形,故選B.7.(2016北京西城二模,2)“瓦當”是中國古代用以裝飾美化建筑物檐頭的建筑附件,其圖案各

式各樣,屬于中國特有的文化藝術遺產.下列“瓦當”的圖案中,是軸對稱圖形的是

(

)

答案

B選項A、C、D都不是軸對稱圖形,只有選項B是軸對稱圖形.故選B.考點二平移的概念及性質(2017北京懷柔二模,9)在平面直角坐標系中,將點A(-1,2)向右平移3個單位長度得到點B,則點B

關于x軸的對稱點C的坐標是

(

)A.(-4,-2)

B.(2,2)

C.(-2,2)

D.(2,-2)答案

D點A(-1,2)向右平移3個單位長度,則橫坐標加3,縱坐標不變,得B(2,2);B、C兩點關于

x軸對稱,則其縱坐標互為相反數,故C(2,-2).故選D.考點三旋轉的概念及性質1.(2018北京朝陽一模,5)下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是

(

)

答案

B是軸對稱圖形的為選項A、C,是中心對稱圖形的為選項B、C,所以是中心對稱圖

形但不是軸對稱圖形的是選項B.故選B.2.(2018北京海淀一模,4)下列圖形中,既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形的是

(

)

答案

B是軸對稱圖形的為選項B、D,是中心對稱圖形的為選項A、B,所以既是中心對稱

圖形也是軸對稱圖形的是選項B.故選B.3.(2018北京西城一模,2)在中國集郵總公司設計的2017年紀特郵票首日紀念戳圖案中,可以看

作中心對稱圖形的是

(

)

答案

C選項A是軸對稱圖形,選項C既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形;選項B、D既不是

中心對稱圖形也不是軸對稱圖形.故選C.4.(2018北京門頭溝一模,5)利用“分形”與“迭代”可以制作出很多精美的圖形,以下是制作

出的幾個簡單圖形,其中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是

(

)

答案

A選項A是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形,選項B、D既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形,選項C不是軸對稱圖形.故選A.5.(2018北京順義一模,5)已知下圖中所有的小正方形都全等,若在圖中再添加一個全等的小正

方形得到新的圖形,使新圖形是中心對稱圖形,則正確的添加方案是

(

)

答案

B選項B是中心對稱圖形.故選B.6.(2017北京豐臺一模,3)北京教育資源豐富,高校林立,下面四個高校校徽主體圖案是中心對稱

圖形的是

(

)

答案

B選項A、C中圖形是軸對稱圖形,選項B中圖形是中心對稱圖形,選項D中圖形既不

是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形.故選B.7.(2017北京順義一模,4)我國傳統文化中的“福祿壽禧”圖(如圖)由四個圖案構成.這四個圖

案中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是

(

)

答案

B選項A、D中圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形;選項B中圖形既是軸對

稱圖形又是中心對稱圖形;選項C中圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形.故選B.8.(2016北京海淀一模,4)下列圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是

(

)

答案

C選項A既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形;選項B既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形;選項C是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;選項D不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.故

選C.9.(2016北京西城一模,12)在平面直角坐標系xOy中,將點(-2,3)繞原點O旋轉180°,所得到的對應

點的坐標為

.答案

(2,-3)解析繞原點旋轉180°即關于原點中心對稱,所以橫縱坐標均互為相反數,(-2,3)關于原點中心

對稱的點的坐標是(2,-3).B組2016—2018年模擬·提升題組(時間:30分鐘分值:35分)一、選擇題(每小題3分,共9分)1.(2018北京石景山一模,6)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點C,B,E在y軸上,Rt△ABC經過變化

得到Rt△EDO,若點B的坐標為(0,1),OD=2,則這種變化可以是

(

)

A.△ABC繞點C順時針旋轉90°,再向下平移5個單位長度B.△