第2章時域分析

2.1離散時間LTI系統的零狀態響應2.2連續時間LTI系統的零狀態響應2.3系統沖激響應的性質*2.4系統的方框圖表示*2.5相關分析*2.6正交分析2.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.1LTI系統響應求解的基本思想假設任意信號x[n]可以分解為某種基本信號e[n]及其延時序列e[n-ni]的線性組合：x[n]=a0e[n]+a1e[n-n1]+a1e[n-n1]+…=∑iai

e[n

-ni]那么當假定e[n]激勵系統所產生的響應為ye[n]，則由系統的線性和時不變性可知

e[n

-ni]→ye[n

-ni][時不變性]

ai

e[n

-ni]→ai

ye[n

-ni][比例性]

∑iai

e[n

-ni]→∑iai

ye[n

-ni][疊加性]

也就是說，只需要知道基本信號的響應為ye[n]，就可以根據上述規律，求得任意信號的系統響應。2.12.22.32.42.52.62.1.12.1.22.1.32.1.42025/1/142/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.2零狀態響應的卷積和求解用δ[n]表示離散信號圖2.1中x[n]可以看成等式右端四個沖激序列的線性疊加

x[n]=x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+x[2]δ[n-2]一般情況下：

x[n]=…+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+…即：

任意離散時間信號都可以用單位沖激序列的線性組合表示。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.1離散時間信號的單位沖激序列分解2025/1/143/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和離散時間系統的零狀態響應已經定義δ[n]激勵系統所產生的響應為單位沖激響應h[n]，根據系統的線性時不變性可知

即離散時間LTI系統在任意信號激勵下的輸出響應為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/144/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和卷積和輸出響應的求解就是兩個序列相乘后再求和。形如上式的求和稱為卷積(convolution)。任意兩個時間序列x1[n]，x2[n]的卷積和定義為

簡記為引入了卷積和的概念后，離散時間LTI系統的零狀態響應等于系統輸入信號和系統沖激響應的卷積

，即已知系統的沖激響應h[n]后，可以求得系統在任意輸入情況下的輸出。因此，沖激響應在時域中完全表征了一個LTI系統，是對系統的充分描述。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/145/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和

【例2-1】假設通過實驗和分析確定圖1.42所示多徑傳輸系統的沖激響應序列為h[0]

=1，h[1]

=0.5，h[2]

=0.1。如果系統的輸入序列為x[0]

=2，x[1]

=1，試求系統的輸出序列。【解】

其他n取值時，y[n]

=0

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖1.42室內聲音多徑傳播的等效離散時間系統模型2025/1/146/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.3卷積和的計算方法一：借助信號波形作圖確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】

設x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，波形如圖2.2所示，計算卷積和。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.2例2-2中的方波序列和指數序列2025/1/147/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6橫軸變量n換為k

信號反轉反轉信號平移，平移參量為n平移后兩信號相乘不同的n取值，可能有不同的表達式2025/1/148/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和

x2[n-k]平移到圖(b)以前的位置，n<0

,此時x1[k]與x2[n-k]無重疊，乘積為零，即x2[n-k]平移到圖(c)所示，非零值重疊區間的求和范圍是從k=0到k=n，即上述結果在0≤n≤N-1才成立，即

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/149/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和x2[n-k]平移到如圖(d)的位置，重疊情況不再發生變化，此時綜合上述求解結果：2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1410/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法一求卷積和的要點歸納如下：

如何進行求和的分段x2[-k+n]平移時，的非零求和區間發生變化分段后如何確定的取值范圍確定波形x2[-k+n]在求和區間發生變化的臨界點時的平移量n的值如何確定求和上下限對比圖中關鍵點坐標k的取值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1411/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法二：借助單位階躍函數確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】對于例2-2所給的序列

x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，本例借助單位階躍函數計算其卷積和。

【解】由卷積和定義

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

k≥0時u[k]=1,k≤n時u[n-k]=1，k≥N時u[k-N]=1僅保留非零求和項注意求和上限需要大于下限2025/1/1412/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法二求卷積和的要點歸納如下：

借助階躍函數表示序列后x1[k]中不作反轉變化的階躍函數決定了求和的下限，x2[n-k]中作反轉變化的階躍函數決定了求和的上限。各項求和表達式后限定范圍的階躍函數形式為“u[上限-下限]”。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1413/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和方法三：短序列卷積和的表格計算表格法事實上是將圖解法的數值計算過程進行了表格化編排。【例2-4】已知有限長序列x[n]={x[-1],x[0],x[1],x[2]}={1,2,3,-1}，

h[n]={h[0],h[1],h[2]}={1,-1,2}。求y[n]=x[n]*h[n]。

【解】考慮非零樣值，卷積和按定義式展開

代入n值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1414/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和上述過程可用如下表格表示卷積結果可簡便地表示為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

x[n]x[-1]=1x[0]=2x[1]=3x[2]=-1h[n]h[0]=1h[1]=-1h[2]=2246-2-1-2-31123-1y[n]11307-2n=02025/1/1415/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和排列豎式時注意下面兩點：

序列應右對齊排列。y[n]最右邊樣值n的取值為x[n]和h[n]最右邊樣值的n值和，在該例中為n=2+2=4。最后特別指出：若兩個有限長序列x1[n],x2[n]的長度分別為L1和L2，非零區間分別為[N1,N2]和[M1,M2]，可以證明：卷積后序列的長度為L1+L2

-1，非零區間為[N1+M1,N2+M2]。

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1416/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和2.1.4卷積和的性質性質1.交換律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令r=n-k

]2025/1/1417/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質2.結合律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令m=n-k

][交換律][交換求和次序][

y12[n]=x1[n]*x2[n]]

[交換律]2025/1/1418/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質3.分配律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/1419/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質4.與沖激序列的卷積【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[性質x[n]δ[n-n0]=x[n0]δ[n-n0]]

2025/1/1420/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和【例2-5】設

x1[n]=u[n]-

u[n-2]，x2[n]=an(u[n]-

u[n-2])，計算其卷積和。【解】由于x1[n]和x2[n]是很短的序列，可以沖激序列表示為利用卷積和性質有2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/1421/772.1離散時間LTI系統的零狀態響應：卷積和性質5.卷積后信號的時移與反轉若y[n]

=x1[n]*x2[n]，則【證明】由前面的性質4和2，第1式易證再證明第2式，由卷積和定義比較兩式可知2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令-k=r]

表達式y[n]

=x1[n]*x2[n]右邊的n是助記符，不是真正的時間變量，不能簡單的做變量代換。2025/1/1422/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.1零狀態響應的卷積積分求解

用δ(t)表示連續信號窄脈沖疊加近似2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.4連續時間信號的窄脈沖分解2025/1/1423/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分連續時間系統的零狀態響應若系統對δ(t)的響應為h(t)，由LTI系統的線性時不變性質可知即連續時間LTI系統對任意輸入信號x(t)的響應為形如上式的積分稱為卷積積分。一般函數x1(t)和x2(t)的卷積積分定義為簡記為因此，連續時間LTI系統的零狀態響應為y(t)

=x(t)*h(t)

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[時不變性][比例性][疊加性]2025/1/1424/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.2卷積積分的計算卷積積分的計算方法和卷積和的計算方法類似，主要有兩種計算方法。

方法一【例2-6】

x

(t)和h(t)波形如圖2.6所示，借助作圖求其卷積。2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.6例2-6的信號波形2025/1/1425/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分當5≥t>-∞時，y(t)=0，兩波形不相交當7≥t>5時，當9≥t>7時，當11≥t>9時，當t>11時，y(t)=02.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.7例2-6的卷積圖解過程

圖2.8例2-6卷積后信號y(t)的波形2025/1/1426/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分方法二【例2-7】借助階躍函數求解例2-6中兩信號的卷積積分。【解】兩信號可以表示為

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1427/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分由前式計算可得上式也可以寫成分段函數形式確定積分限和t值范圍的過程可歸納為下列兩點不作翻轉變化的階躍函數決定了積分的下限；作翻轉變化的階躍函數決定了積分的上限。積分項后限定t變化范圍的階躍函數形式為“u(上限-下限)”。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1428/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.3卷積積分的性質性質1.交換律、結合律和分配律交換律：結合律：分配律：性質2.微積分性質其中y(m)(t)表示m次求導（當m

>0）或m次積分（當m

<0）。該性質表明：對卷積后函數y(t)的m次微積分運算可以在x1(t)和x2(t)之間任意分配，只要對和的微分或積分次數之和等于m即可。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1429/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分性質3.與沖激函數的卷積將上述性質和微積分性質結合，則有

性質4.卷積后信號的時移與反轉若y(t)=x1(t)*x2(t)，則

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1430/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分【例2-8】利用卷積性質求例2-6中兩信號的卷積。

【解】x

(t)的一階導數為當t<1時，當1≤

t<5時，當t≥5時，根據卷積積分的性質有2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1431/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.9例2-8卷積結果2025/1/1432/772.2連續時間LTI系統的零狀態響應：卷積積分【例2-9】已知y(t)=x1(t)*x2(t)

，試用y(t)表示

x1(t-t1)*x2(t-t2)。

【解】反向利用性質3

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[交換律和結合律][性質3]2025/1/1433/772.3系統沖激響應的性質2.3.1系統特性與沖激響應沖激響應h(t)是對連續LTI系統的充分描述。因此，系統的許多性質也必然在沖激響應中得到體現。性質1.因果性若系統是因果的，其沖激響應必滿足h(t)=0或h[n]=0（t<0或n<0）性質2.穩定性若系統是BIBO穩定的，則其沖激響應必滿足：即，BIBO穩定系統的沖激響應必須是絕對可積的或絕對可和的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.62025/1/1434/772.3系統沖激響應的性質性質3.無記憶性若系統是無記憶的，則對所有的或，其沖激響應滿足h(t)=0或h[n]=0（t≠0或n≠0）【例2-10】試判斷下列系統是否是因果的、穩定的、無記憶的。(1)h(t)=e-tu(t+1) (2)

h[n]=u[n+3]-u[n-4]【解】(1)穩定性：由于，所以系統是穩定的。因果性：因為t<0時h(t)≠0

，因此系統是非因果性的。記憶性：因為t≠0時h(t)有非零值，因此系統是有記憶的。

(2)穩定性：由于，所以系統是穩定的。因果性：因為n<0時h[n]≠0

，因此系統是非因果的。記憶性：因為n≠0時h[n]有非零值，因此系統是有記憶的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.62025/1/1435/772.3系統沖激響應的性質2.3.2理想系統的沖激響應恒等系統的沖激響應所謂恒等系統即系統的輸出信號恒等于輸入信號，無失真無延時。所以恒等系統的沖激響應為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.10理想導線建模為恒等系統2025/1/1436/772.3系統沖激響應的性質理想傳輸系統的沖激響應所謂理想傳輸系統即為無失真有時延的傳輸系統。

所以理想傳輸系統的沖激響應為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.11連續時間理想傳輸系統的沖激響應

2025/1/1437/772.3系統沖激響應的性質2.3.3互聯系統的沖激響應串聯系統的總沖激響應卷積結合律，可以將兩個子系統串聯時的系統總輸出改寫為其中上式表明串聯系統的總沖激響應為子系統沖激響應的卷積，離散時間串聯系統的總沖激響應類似可得2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.12連續時間串聯系統的總沖激響應2025/1/1438/772.3系統沖激響應的性質并聯系統的總沖激響應當兩個子系統并聯時，由圖2.15可知

因此并聯系統總沖激響應為子系統沖激響應的和，即

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.15并聯系統的沖激響應

2025/1/1439/772.3系統沖激響應的性質混聯系統的總沖激響應利用前面的結論，可求得圖2.16所示混聯系統的總沖激響應為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.16混聯系統舉例2025/1/1440/772.4系統的方框圖表示2.4.1微分方程描述系統的方框圖表示一個線性常系數微分方程涉及三種基本的運算：微分、乘系數和相加。但是微分器抗干擾能力差。因此在系統實現時一般采用乘系數、相加和積分三種基本運算單元，用圖2.17所示的符號表示。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.17微分方程描述系統的基本運算單元2025/1/1441/772.4系統的方框圖表示一階系統的方框圖描述

兩邊積分令2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.18(a)一階前向系統；(b)一階反饋系統

2025/1/1442/772.4系統的方框圖表示兩個系統可以級聯起來，即所謂的直接I型

串聯的兩個子系統互換位置，合并完全相同的積分支路，得直接II型結構

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.20(a)交換子系統位置后的系統；(b)一階系統的直接II型結構圖2.19一階微分方程系統的結構：直接I型2025/1/1443/772.4系統的方框圖表示N階系統的方框圖描述可類似推導出階微分方程系統的直接II型結構。繪制系統框圖步驟可歸納如下：確定系統方程最高階次即為系統框圖積分器數目畫出框圖主體架構按照微分方程，在系統框圖對應位置填入對應系數（缺項的部分無連線）

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.21N階微分方程系統的直接II型結構

2025/1/1444/772.4系統的方框圖表示【例2-11】試繪出下列微分方程的系統方框圖。【解】該系統為4階系統，可以得到圖2.22(a)所示的直接II型的系統方框。稍加整理可以改畫為更為美觀的圖2.22(b)的形式。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.22例2-11圖2025/1/1445/772.4系統的方框圖表示2.4.2差分方程描述系統的方框圖表示差分方程涉及的三個基本運算為乘系數、相加和序列延時(移位)，其符號表示如圖2.23所示2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.23差分方程描述系統的基本運算單元2025/1/1446/772.4系統的方框圖表示一階系統的方框圖描述一階差分方程的一般形式為令則

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.24(a)一階前向系統；(b)一階反饋系統

2025/1/1447/772.4系統的方框圖表示兩個系統級聯后對應于一般性一階系統，該結構稱為直接I型

兩個級聯的子系統互換位置，合并完全相同的支路，得直接II型結構。2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.26(a)交換子系統位置后結構；(b)一階系統的結構：直接II型圖2.25一階系統的結構：直接I型2025/1/1448/772.4系統的方框圖表示

N階系統的方框圖描述假設N階差分方程具有如下形式

可類似推導出圖2.27所示的

N階差分方程的直接II型結構。對于M<N的情況，令對應項系數為零即可。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.27N階差分方程的系統結構：直接II型2025/1/1449/772.4系統的方框圖表示

FIR系統用下列差分方程形式描述的系統（ak=0,k>0）有著較為廣泛的應用，因為它總是穩定的。

該系統的沖激響應為有限長序列，因此這類系統稱為有限長脈沖響應（FIR）系統。這類系統的結構可以進一步簡化為下圖所示。2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.29FIR系統

2025/1/1450/772.5相關分析2.5.1連續時間信號相關函數相關分析在通信、雷達等領域中有著廣泛的應用。2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6圖2.30雷達測距基本原理2025/1/1451/772.5相關分析自相關函數能量有限實數信號x(t)的自相關函數定義為令t=t–τ，可得到實信號自相關函數的等價定義形式

對于功率信號，上述積分將趨于無窮大，定義需改為周期信號是典型的功率信號，上述定義可以簡化為對于能量有限復數信號，自相關函數的定義為

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1452/772.5相關分析

【例2-13】

求下列信號的自相關函數(1)方波信號x(t)=u(t)-u(t-T)(2)正弦信號x(t)=cosωt；x(t)=sinωt(3)復指數信號x(t)=

ejωt【解】(1)當0>τ≥-T時（參見圖(a)）

當T

>τ≥0時（參見圖(b)），

相關和卷積的表達式非常相似，因此也可以利用卷積積分計算相關函數。2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6圖2.31方波信號的相關函數2025/1/1453/772.5相關分析(2)由周期信號自相關函數的定義知

類似的方法可以求得(3)ejωt是復周期信號，按照定義有

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6[上式第1項，余弦函數在完整周期內積分為零]

2025/1/1454/772.5相關分析自相關函數性質

性質1.對稱性實數信號的自相關函數為偶函數，即

復信號相關函數滿足所謂的共軛對稱性

性質2.極值性自相關函數在τ

=0時取最大值，即

性質3.

自相關與卷積的關系2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1455/772.5相關分析【例2-14】利用相關函數和卷積的關系求x(t)=u(t)-u(t-T)的自相關函數。

【解】2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1456/772.5相關分析互相關函數能量有限實信號和復信號的互相關函數定義分別為

對于功率有限信號和周期信號，上述定義按照自相關的形式修正即可。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1457/772.5相關分析自相關函數性質

性質1.對稱性實信號：復信號：

性質2.互相關與卷積的關系2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1458/772.5相關分析

【例2-14】利用互相關函數考察x(t)=cosωt和y(t)=sinωt之間的相關性問題，并分別求解Rxy(τ)和Ryx(τ)。【解】周期信號互相關函數的定義應為對于本題有

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1459/772.5相關分析

【例2-16】本例考察LTI系統輸入信號x(t)和輸出信號y(t)之間的相關性。【解】設系統的沖激響應為h(t),y(t)=x(t)*h(t)。由互相關函數的定義知即同理可得2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6[令t’=t+τ

][對比定義，令λ=-v][交換積分上下限，對比定義]2025/1/1460/772.5相關分析相關系數在有些應用場合，只需直接考慮兩個信號的相似度問題，不必考慮信號的平移。為了在相似度的度量中去除信號幅度的影響，可以采取歸一化措施，定義如下相關系數：

對于功率有限信號和周期信號，上述定義按照自相關的形式修正即可。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1461/772.5相關分析用相關系數度量信號相似度或相關性具有以下特點。相關系數是歸一化的度量參數，即

|ρ|≤1ρ=±1時的相關性：當信號波形相同、幅度不同時（即y(t)=Ax(t)

）ρ=1。

當信號波形相同、極性相反時

（即y(t)=-Ax(t)

）ρ=-1。ρ=0時表明，x(t)和y(t)不相關或正交。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1462/772.5相關分析

【例2-17】參見圖2.32，考察y1(t)至y4(t)與x(t)的相似程度。

【解】先求各信號在一個周期內的能量

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1463/772.5相關分析

不難求得下列積分根據周期信號的相關系數代入上述計算數值，可得y1(t)至y4(t)與x(t)的相關系數分別為即

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1464/772.5相關分析2.5.2離散時間信號相關函數離散時間能量有限復信號x[n]和y[n]的互相關函數定義為功率信號的互相關函數定義為對于周期信號，可在任意一個周期內求和，即上述定義同樣適用于是信號。

x[n]=

y[n]時，上述定義變為自相關2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1465/772.5相關分析相關函數性質性質1.自相關對稱性

x[n]為實信號，其自相關滿足

x[n]為復信號，其自相關滿足

性質2.自相關極值性自相關函數在m

=0時取最大值，即性質3.互相關對稱性

性質4.

與卷積的關系實數序列相關函數和卷積的關系為

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1466/772.5相關分析【例2-18】

求下列離散時間信號的自相關函數

(1)x[n]=u[n]-u[n-N]；(2)x[n]=cosΩn；(3)x[n]=ejΩn【解】(1)當-N≥n>-∞或n≥N+1時，當0≥n≥-N+1時，當N≥n≥1時，

(2)(3)2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1467/772.6正交分析2.6.1信號正交的概念和定義從矢量正交到信號正交

設x=[x1,x2,…,xN],y=[y1,y2,…,yN],為維實數矢量，矢量x和y之間的夾角由下式確定

其中當x和y正交時夾角為90o,

cosθ

=0，即兩個矢量內積為零2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.62025/1/1468/772.6正交分析信號正交的定義如果將矢量元素[x1,x2,…,xN]和[y1,y2,…,yN]看成離散時間信號的序列值，則可以稱滿足上式內積為零的兩個離散時間信號是正交的。對于連續時間信號則可以將兩個信號乘積后積分為零定義為正交的條件。同時為了表述的統一，可定義兩個連續函數的內積為若連續時間信號和在區間[t1,t2]上滿足則稱x(t),y(t)在區間[t1,t2]上正交。類似，離散時間信號正交的定義為2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.62025/1/1469/772.6正交分析

【例2-19】試證明下列信號是正交的。(1)sinkω1t與cosmω1t(k,m為整數)正交。(2)當k≠m時，ejkΩ1n與ejmΩ1n正交。(3)圖2.33所示的兩個反相方波信號正交。

2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.6圖2.33兩個相位差180°的方波2025/1/1470/772.6正交分析【解】(1)sinkω1t與cosmω1t是周期信號，且T=2π/ω1為兩者的公共周期。積分范圍只需取一個周期

因此sinkω1t與cosmω1t正交。(2)ejkΩ1n與ejmΩ1n是周期信號，且N=2π/Ω1為兩者的公共周期。內積的定義修正為一個周期內的求和，有

因此，當k≠m時，ejkΩ1n與ejmΩ1n正交