第十八章平行四邊形（8類壓軸題專練）考點一矩形中的折疊問題例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級校考期末）如圖，將矩形沿著對角線折疊，使點落在處，交于，若，，______．變式訓練1．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）如圖，長方形中，E為的中點，將沿直線折疊時點B落在點F處，連接，若，則_度．2．（2023春·八年級課時練習）長方形紙片中，，，點E是邊上一動點，連接，把∠B沿折疊，使點B落在點F處，連接，當為直角三角形時，的長為______．3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，長方形紙片中，，，點、分別在邊和邊上，連接，將紙片沿折疊．(1)如圖（1），若點落在邊的延長線上的點處，求證：；(2)如圖（2），若點落在邊的中點處，求的長．考點二菱形中的折疊問題例題：（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝________；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為________．變式訓練1．（2022·全國·八年級假期作業）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處不與、重合，折痕為，若，，則的長為______．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形中，F為邊上一點，將沿折疊，點C恰好落在延長線上的點E處，連接交于點G，若，，則的長為______．3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD，交BE于點G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．考點三正方形中的折疊問題例題：（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數為（

）A． B． C． D．變式訓練1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，將正方形沿對折，使點落在對角線上的處，連接，則_________．2．（2022秋·福建寧德·八年級校考階段練習）如圖，在正方形中，，點E在邊上，將沿對折至，延長交于點G，G恰好是邊的中點，則的長是________．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．考點四矩形、菱形、正方形中旋轉問題例題：（2023秋·陜西渭南·九年級統考階段練習）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉中心，順時針旋轉矩形得到矩形，點，，的對應點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．變式訓練1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·江西宜春·九年級校考期中）如圖，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．3．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學校考期中）如圖，在菱形中，，把菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．4．（2022秋·山西呂梁·九年級統考期中）綜合與實踐【情境呈現】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉．(1)【數學思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數量關系是____，位置關系是_____．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉度得到的，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．考點五矩形、菱形、正方形中求定值問題例題：（2022秋·山東棗莊·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．變式訓練1．（2022秋·廣東梅州·九年級統考期中）如圖，在矩形中，點E是對角線上一點，有且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值2．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期末）如圖，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．考點六矩形、菱形、正方形中求最小值問題例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學校聯考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10變式訓練1．（2023秋·陜西寶雞·九年級統考期末）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能確定2．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點P運動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．3．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，在正方形中，邊長，點Q是邊的中點，點P是線段上的動點，則的最小值為_____．考點七矩形、菱形、正方形中求最大值問題例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級統考階段練習）矩形中，，，點A是y軸正半軸上任意一點，點B在x軸正半軸上．連接．則的最大值是___________．變式訓練1．（2022秋·福建漳州·九年級校考期中）如圖，平面內三點A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為____．3．（2022秋·湖北黃石·九年級校考階段練習）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）計算：=________；（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．考點八矩形、菱形、正方形中點四邊形問題例題：（2022春·安徽合肥·八年級校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形變式訓練1．（2022春·北京西城·八年級校考期中）四邊形的對角線，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關系？請說明理由；3．（2022秋·九年級課時練習）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是______．（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀（不必證明）．

第十八章平行四邊形（8類壓軸題專練）答案全解全析考點一矩形中的折疊問題例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級校考期末）如圖，將矩形沿著對角線折疊，使點落在處，交于，若，，______．【答案】3【分析】由折疊可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，設，則，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，．設，則，，在中，由勾股定理得：即，解得：，．，故答案為：．【點睛】本題主要考查翻折變換的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與勾股定理的知識，此題難度不大．變式訓練1．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）如圖，長方形中，E為的中點，將沿直線折疊時點B落在點F處，連接，若，則_______度．【答案】37【分析】由折疊的性質得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性質求出，即可得出的度數．【詳解】解：四邊形是長方形，，由折疊的性質得：，，，，，為的中點，，，，；故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊變換的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理；求出的度數是解題的關鍵．2．（2023春·八年級課時練習）長方形紙片中，，，點E是邊上一動點，連接，把∠B沿折疊，使點B落在點F處，連接，當為直角三角形時，的長為______．【答案】或3【分析】當為直角三角形時，有兩種情況：①當點F落在矩形內部時，如答圖1所示．連接，先利用勾股定理計算出，根據折疊的性質得，而當為直角三角形時，只能得到，所以點A、F、C共線，即沿折疊，使點B落在對角線上的點F處，則，，可計算出，設，則，然后在中運用勾股定理可計算出x．②當點F落在邊上時，如答圖2所示．此時為正方形．【詳解】解：當為直角三角形時，有兩種情況：當點F落在矩形內部時，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點B落在點F處，∴，當為直角三角形時，只能得到，∴點A、F、C共線，即沿折疊，使點B落在對角線上的點F處，∴，∴，設，則，在中，∵，∴解得：；②當點F落在邊上時，如答圖2所示．此時為正方形，∴．故答案為：或3；【點睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．也考查了矩形的性質以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，長方形紙片中，，，點、分別在邊和邊上，連接，將紙片沿折疊．(1)如圖（1），若點落在邊的延長線上的點處，求證：；(2)如圖（2），若點落在邊的中點處，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由折疊的性質及矩形的性質得出，則可得出結論；（2）設，由勾股定理得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，將紙片沿折疊，，，；（2）解：四邊形是矩形，，是的中點，，由折疊的性質可知：，設，，，解得，．【點睛】本題考查了矩形的性質，翻折變換，等腰三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質．考點二菱形中的折疊問題例題：（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝________；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為________．【答案】

90°

2.8【分析】（1）由折疊得∠，再根據平角的定義可得結論；（2）首先證明B、G、D在同一條直線上，再運用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解由折疊得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案為：90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵點E為AB的中點，且AB=2∴∵點A與點G重合，∴∵點B與點H重合∴又∴∴點G與點H重合∵∠∴三點在同一條直線上過點D作，交BC的延長線于點O，如圖，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折疊得，，設，則∴，在中，∴解得，∴故答案為2.8【點睛】本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，勾股定理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．變式訓練1．（2022·全國·八年級假期作業）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處不與、重合，折痕為，若，，則的長為______．【答案】【分析】作于，根據折疊的性質得到，根據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，根據勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于，由折疊的性質可知，，由題意得，，四邊形是菱形，，，為等邊三角形，，設，則，在中，，，在中，，即，解得，，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質、菱形的性質、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形中，F為邊上一點，將沿折疊，點C恰好落在延長線上的點E處，連接交于點G，若，，則的長為______．【答案】【分析】根據折疊的性質得CF=EF，DF⊥BC，代入相關數據可得CF=5，BC=7，由菱形的性質得DC=7，最后根據勾股定理可得DF的長．【詳解】解：由折疊得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四邊形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了折疊的性質，菱形的性質以及勾股定理等知識，根據折疊的性質得到CF=EF，DF⊥BC是解答本題的關鍵．3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD，交BE于點G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根據FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，從而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四邊形CEFG是平行四邊形，即可得證；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的長，可得DF=1，設EF=x，則CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．【詳解】（1）證明：（1）∵△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，∴△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE=FE，∴四邊形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，∴DF=AD-AF=2，設EF=x，則CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+（6-x）2=x2，解得x=，∴CE=，∴四邊形CEFG的面積是：CE?DF=×2=．【點睛】本題考查翻折變化、菱形的性質和判定、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．考點三正方形中的折疊問題例題：（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方形的性質可得，，再由折疊可得，然后利用三角形的外角進行計算即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，由折疊得：，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，三角形外角的性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．變式訓練1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，將正方形沿對折，使點落在對角線上的處，連接，則_________．【答案】67.5【分析】根據正方形的性質求出，再根據折疊的性質得，進而根據等腰三角形的性質得出答案．【詳解】∵四邊形為正方形，∴，，平分，∴，根據折疊可知，，∴，∴．故答案為：67.5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質等，判定等腰三角形是解題的關鍵．2．（2022秋·福建寧德·八年級校考階段練習）如圖，在正方形中，，點E在邊上，將沿對折至，延長交于點G，G恰好是邊的中點，則的長是________．【答案】或【分析】根據正方形的性質和折疊的性質證明，進而得到，由G是的中點，得到，設，則，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：連接，由折疊得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，G是的中點，∴，設，則，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、折疊的性質、三角形全等的判定和性質、勾股定理等知識，理解折疊的性質、合理的進行轉化到一個直角三角形中是解決此類問題常用的方法．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長為2【分析】（1）由正方形的性質可得．，由折疊的性質得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對應角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質和線段中點的定義可得，，再由三角形的外角性質得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設，表示出、，根據點是的中點求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點，，，，，，，即，；②解：設，則，，正方形邊長為6，為的中點，，，在中，根據勾股定理得：，解得：，即線段的長為2．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、翻折變換的性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．考點四矩形、菱形、正方形中旋轉問題例題：（2023秋·陜西渭南·九年級統考階段練習）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉中心，順時針旋轉矩形得到矩形，點，，的對應點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由旋轉矩形可得，，再根據斜邊為公共邊，利用“”可證得結論；（2）由可知，由旋轉矩形可知，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵旋轉矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋轉矩形得到矩形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、矩形的性質、解題關鍵是證明，利用矩形和旋轉性質求解．變式訓練1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】連接，先根據矩形的性質和勾股定理求出，然后根據旋轉的性質和勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，，∵矩形，，∴，，∴，∵將矩形繞點A順時針旋轉后，得到矩形，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，掌握矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理是解題的關鍵．2．（2022秋·江西宜春·九年級校考期中）如圖，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．【答案】【分析】交于點，連接；根據全等三角形性質，通過證明，得；結合旋轉的性質，得；根據三角函數的性質計算，得，結合正方形和三角形面積關系計算，即可得到答案．【詳解】如圖，交于點，連接根據題意得：，∵∴∴∵正方形繞點順時針旋轉到∴，∴∴∴∴∴∴陰影部分的面積故答案為：．【點睛】本題是面積問題(旋轉綜合題)，考查了正方形、全等三角形、旋轉、三角函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉、三角函數的性質．3．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學校考期中）如圖，在菱形中，，把菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．【答案】或【分析】連接相交于O，與相交于E，根據菱形的性質先求出，根據菱形的性質和旋轉可得，三點共線，再求出，最后根據，即可得答案．【詳解】解：如下圖，連接相交于O，與相交于E，四邊形是菱形，，∴∠CAB=30°，AC⊥BD，，，∴，，菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，∴∠D′AB=30°，AD=AD′=2，∴A，D′，C三點共線，∴CD′=CA-AD′=23-2，，∴∠D′EC=360°-120°-120°-30°=90°，，∴D′E=3-1，CE=3D′E=3-3，S△D′EC，12×23×1-12×（3-1）×（3-3）=3-3故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，旋轉的性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用這些性質解決問題．4．（2022秋·山西呂梁·九年級統考期中）綜合與實踐【情境呈現】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉．(1)【數學思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數量關系是____，位置關系是_____．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉度得到的，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【答案】(1)，(2)（1）中的結論成立，證明見解析；(3)【分析】（1）由正方形性質可以得到與相等且垂直；（2）由可證，可得，，由余角的性質可證；（3）由（2）問結論連接，表示出三邊即可利用勾股定理列方程解題．【詳解】（1）∵四邊形和均為正方形，∴，∴，即，∴與的數量關系是相等；位置關系是垂直故答案為：相等；垂直（2）（1）中結論成立，理由如下：設交于O，于N，∵四邊形和均為正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3）連接，∵，∴，∴,，由（2）可得：，∴在中，，則，∴解方程得：，∴，即線段的長度為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．考點五矩形、菱形、正方形中求定值問題例題：（2022秋·山東棗莊·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．【答案】或2.4【分析】根據矩形的性質，，，可求出矩形的面積，的長，由此可知的面積，根據，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設與相交于點，連接，∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質，等面積法求高，掌握矩形的性質，三角形的等面積法求高是解題的關鍵．變式訓練1．（2022秋·廣東梅州·九年級統考期中）如圖，在矩形中，點E是對角線上一點，有且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值【答案】D【分析】連接，過點作，利用，即可得解．【詳解】解：連接，過點作，交于點，∵在矩形中，，，∴，∵即：，∴；∵，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查矩形的性質和勾股定理以及等積法求線段．熟練掌握矩形的性質，以及等積法求線段的長度是解題的關鍵．2．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期末）如圖，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______【答案】【分析】首先利用菱形的性質得出，，進而利用三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴，∴S△ABD，∴S△ABD，而，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質：菱形的對邊分別平行，四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，并且分別平分兩組內角．也考查了三角形的面積公式．3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是定值，【分析】（1）作出輔助線，得到，然后再判斷，得到，則有，即可判斷矩形為正方形；（2）由四邊形為正方形，四邊形是正方形可知，，故可得，得到，即可判斷，為定值．【詳解】（1）解：如圖所示，過作于點，過作于點，四邊形為正方形，，，，，，四邊形為矩形，，，即，是正方形對角線的點，，在和中，，，，矩形為正方形．（2）的值為定值，矩形為正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質與判定，矩形的性質，關鍵是結合圖形得出三角形全等．考點六矩形、菱形、正方形中求最小值問題例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學校聯考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【答案】A【分析】連接交于P點，根據“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長，求出的長即可.【詳解】連接，交于P點∵四邊形為正方形∴A點和C點關于對稱根據“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關鍵.變式訓練1．（2023秋·陜西寶雞·九年級統考期末）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能確定【答案】A【分析】作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、BP，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【詳解】解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，則P是AC中點，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，即Q在AB上，∵M為BC中點，∴Q為AB中點，∵MQ⊥BD，∴，∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴，BQ＝CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴，∴，而點Q是AB的中點，故PQ是△ABD的中位線，即點P是BD的中點，同理可得，PM是△ABC的中位線，故點P是AC的中點，即點P是菱形ABCD對角線的交點，∵四邊形ABCD是菱形，則△BPC為直角三角形，∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置．2．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點P運動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再由垂線段最短的性質得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC，最后由面積關系建立等式求出其解即可．【詳解】解：連接AP，∵在△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，∴，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF＝AP．根據垂線段最短可知，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，此時即，解得：∴EF的最小值為，故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質、垂線段最短、三角形面積等知識；由直角三角形的面積求出AP是解決問題的關鍵，屬于中考常考題型．3．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，在正方形中，邊長，點Q是邊的中點，點P是線段上的動點，則的最小值為_____．【答案】【分析】先連接，連接、，再根據正方形的對稱性得，進而得出的最小值，然后根據勾股定理求出解即可.【詳解】解：連接，交于點P，連接、．∵四邊形是正方形，∴點B與點D關于對稱，∴，∴．∵，點Q是邊的中點，∴，，在中，，∴的最小值為．故答案為:．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理等，得出點P的位置是解題的關鍵．考點七矩形、菱形、正方形中求最大值問題例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級統考階段練習）矩形中，，，點A是y軸正半軸上任意一點，點B在x軸正半軸上．連接．則的最大值是___________．【答案】或【分析】取的中點M，連接，當成一條直線時，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜邊中線的性質可得答案．【詳解】解：取的中點M，連接，當成一條直線時，有最大值，在中，，在中，，∴的最大值是，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、三角形三邊關系、直角三角形斜邊上中線的性質，讀懂題意，得出當成一條直線時，有最大值是解本題的關鍵．變式訓練1．（2022秋·福建漳州·九年級校考期中）如圖，平面內三點A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．【答案】D【分析】如圖將繞點順時針旋轉得到．由旋轉不變性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，當的值最大時，的值最大，根據三角形的三邊關系求出的最大值即可解決問題．【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉得到，由旋轉不變性可知：，，，是等腰直角三角形，，當的值最大時，的值最大，，，的最大值為11，的最大值為．故選：D．【點睛】本題考查正方形的性質，動點問題，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題．2．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為____．【答案】2【分析】作點關于的對稱點，連接，從而可得，再根據菱形的性質、等邊三角形的判定證出是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質可得，由此即可得．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，，如圖，作點關于的對稱點，連接，則，，當且僅當共線時，等號成立，，，，是等邊三角形，，即的最大值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵．3．（2022秋·湖北黃石·九年級校考階段練習）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）計算：=________；（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．【答案】

6

【分析】（1）連接AC，證明，從而得到：，即可求出；（2）利用，可以推出四邊形AECF的面積等于△ABC的面積，利用△CEF的面積等于△ABC的面積減去△AEF的面積，當△AEF的面積面積最小時，即可求出△CEF的面積．【詳解】解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∵△AEF為等邊三角形，∴，∵，，又∵，∴，∵，∴（ASA），∴，∴；故答案為：6．（2）∵∴四邊形AECF的面積=，∴，∴當最小時，最大，根據垂線段最短，當時，最短，此時最小，∵為等邊三角形，∴當時，，，∴，同理可求：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，等邊三角形的性質．解題的關鍵是連接菱形的對角線，構造全等三角形．考點八矩形、菱形、正方形中點四邊形問題例題：（2022春·安徽合肥·八年級校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形【答案】C【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據選項條件結合矩形、菱形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：，分別是，的中點，，，，分別是，的中點，，，，，四邊形是平行四邊形；，分別是，的中點，、分別是、中點，，，當四邊形是矩形時，，，四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；當四邊形是菱形時，，，，，四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；當四邊形滿足時，不能證明四邊形是菱形，故C錯誤，符合題意；當四邊形滿足，時，∵，，∴AC是BD的垂直平分線，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了中點四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關鍵變式訓練1．（2022春·北京西城·八年級校考期中）四邊形的對角線，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】根據三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】點分別為邊的中點，是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，正確；若四邊形是平行四邊形，∴,∵分別為的中點，∴∴四邊形是平行四邊形，由（1）可得四邊形是平行四邊形，與互相平分，的中點就是的中點，則與交于點正確；若四邊形是矩形，則，，四邊形是菱形，不是矩形；不正確；四邊形中，若，則四邊形是正方形，若四邊