河南省部分名校2023-2024學年高二上學期1月期末考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．2．已知是公比為2的等比數列，若，則（

）A．100 B．80 C．50 D．403．已知直線與垂直，則（

）A．0 B．0或 C． D．0或4．一個做直線運動的質點的位移與時間的關系式為，則該質點的瞬時速度為時，（

）A． B． C． D．5．記數列的前項和為，已知，且，則（

）A．6 B．5 C．3 D．16．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點，且，則（

）

A．6 B．8 C．9 D．107．曲率是數學上衡量曲線彎曲程度的重要指標，對于曲線，其在點處的曲率，其中是的導函數，是的導函數.已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則該拋物線上的各點處的曲率最大值為（

）A．2 B．1 C． D．8．橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（

）注：表示面積.A．2 B． C．3 D．二、多選題9．已知數列的前項和，則（

）A． B． C．是等差數列 D．是遞增數列10．已知曲線，則（

）A．當時，曲線是橢圓B．當時，曲線是以直線為漸近線的雙曲線C．存在實數，使得過點D．當時，直線總與曲線相交11．已知圓和圓，則（

）A．圓與軸相切B．兩圓公共弦所在直線的方程為C．有且僅有一個點，使得過點能作兩條與兩圓都相切的直線D．兩圓的公切線段長為12．已知正方體的棱長為分別是棱和的中點，是棱上的一點，是正方形內一動點，且點到直線與直線的距離相等，則（

）A．B．點到直線的距離為C．存在點，使得平面D．動點在一條拋物線上運動三、填空題13．曲線在點處的切線方程為.14．在空間直角坐標系中，向量，分別為異面直線的方向向量，若所成角的余弦值為，則.15．已知是雙曲線的左?右焦點，為上一點，且（為坐標原點），，則的離心率為.16．已知數列的通項公式為，其前項和為，不等式對任意的恒成立，則的最小值為.四、解答題17．已知公比不為1的等比數列滿足，且是等差數列的前三項.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.18．如圖，在四棱錐中，為棱的中點，平面.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為，且.(1)求的值；(2)過點作兩條互相垂直的直線，分別與圓交于不同于點的兩點，若，求直線的方程.20．已知數列的各項都是正數，前項和為，且.(1)證明：是等差數列；(2)求數列的前項和.21．如圖，在斜三棱柱中，，且三棱錐的體積為.

(1)求三棱柱的高；(2)若平面平面為銳角，求二面角的余弦值.22．已知橢圓的上頂點為，右頂點為，且直線的斜率為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點（異于點），且滿足，求面積的最大值.參考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．A7．D8．C9．AC10．ABC11．ACD12．AD13．14．15．/16．17．(1)(2)【解析】（1）設的公比為，因為成等差數列，則，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三項為，則等差數列的首項為，公差為，所以，即.所以.18．(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為平面，平面，所以，又，由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標系.又，為棱的中點，易知.所以，所以，所以.（2）因為平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一個法向量.又因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)或【解析】（1）由題意可知圓的圓心為，半徑.因為，所以，從而，即，兩邊平方整理得，又因為，所以.（2）由（1）知圓，點在圓上，又因為，所以線段為圓的直徑，即直線過圓心，顯然直線的斜率不為0，設其方程為，點到直線的距離為.根據三角形的面積公式可得.所以，解得，所以直線的方程為或.20．(1)證明見解析(2)【解析】（1）在中，令，得，當時，由，得，整理得，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列.（2）由（1）知.所以①，②①-②，得，所以.21．(1)(2)【解析】（1）解：設三棱柱的高為，因為，所以，又因為三棱錐的體積為，可得，解得，即三棱柱的高為.（2）解：過點作于點，連接，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因為為銳角，所以，在中，，所以.以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為平面，可得平面的一個法向量為，所以，所以二面角的余弦值為.

22．(1)(2)【解