二階線性微分方程解的結構二階線性微分方程解的結構二階線性微分方程的一般形式是其中P(x)，Q(x)及f(x)是自變量x的已知函數，函數f(x)稱為方程(12-15)的自由項.當f(x)=0時，方程(12-15)變為這個方程稱為二階齊次線性微分方程，相應地，方程(12-15)稱為二階非齊次線性微分方程.(12-15)(12-16)二階線性微分方程解的結構對于二階齊次線性微分方程，有下述兩個定理.定理1

如果函數y1(x)與y2(x)是方程(12-16)的兩個解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)(12-17)

也是方程(12-16)的解，其中C1，C2是任意常數.證

將式(12-17)代入方程(12-16)的左端，有(C1y1+C2y2)″+P(x)(C1y1+C2y2)′+Q(x)(C1y1+C2y2)=(C1y″1+C2y″2)+P(x)(C1y′1+C2y′2)+Q(x)(C1y1+C2y2)=C1［y″1+P(x)y′1+Q(x)y1］+C2［y″2+P(x)y′2+Q(x)y2］=0，所以式(12-17)是方程(12-16)的解.齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理.二階線性微分方程解的結構二階線性微分方程解的結構設y1(x)，y2(x),…，yn(x)是定義在區間I上的n個函數，如果存在n個不全為零的常數k1，k2，…，kn,使得當x∈I時恒有k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn=0，則稱這n個函數在區間I上線性相關；否則稱為線性無關.根據定義可知，在區間I上兩個函數是否線性相關，只要看它們的比是否為常數.如果比為常數，則它們線性相關，否則線性無關.定義6二階線性微分方程解的結構例如，函數y1(x)=sin2x，y2(x)=6sinxcosx是兩個線性相關的函數，因為而y1(x)=e4x，y2(x)=ex是兩個線性無關的函數，因為有了函數線性無關的概念后，有下面的定理.二階線性微分方程解的結構如果y1(x)與y2(x)是方程(12-16)的兩個線性無關的特解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)就是方程(12-16)的通解，其中C1，C2是任意常數.證由定理1知，y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的解，因為y1(x)與y2(x)線性無關，所以其中兩個任意常數C1與C2不能合并，即它們是相互獨立的，所以y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程(12-16)的通解.定理2二階線性微分方程解的結構例如，對于方程y″－5y′+6y=0，容易驗證y1=e2x與y2=e3x

是它的兩個特解，又所以y=C1e2x+C2e3x就是該方程的通解.由一階線性微分方程的討論知，一階非齊次線性微分方程的通解可以表示為對應齊次線性微分方程的通解與一個非齊次線性微分方程的特解的和.實際上，不僅一階非齊次線性微分方程的通解具有這樣的結構，而且二階甚至更高階的非齊次線性微分方程的通解也具有同樣的結構.二階線性微分方程解的結構定理3

設y*是方程(12-15)的一個特解，而Y是其對應的齊次方程(12-16)的通解，則y=Y+y*(12-18)就是二階非齊次線性微分方程(12-15)的通解.證把式(12-18)代入方程(12-15)的左端，得(Y+y*)″+P(x)(Y+y*)′+Q(x)(Y+y*)

=(Y″+y*″)+P(x)(Y′+y*′)+Q(x)(Y+y*)

=［Y″+P(x)Y′+Q(x)Y］+［y*″+P(x)y*′+Q(x)y*］=0+f(x)=f(x),即y=Y+y*是方程(12-15)的解.由于對應齊次方程的通解Y=C1y1(x)+C2y2(x)二階線性微分方程解的結構含有兩個相互獨立的任意常數C1，C2，所以y=Y+y*是方程(12-15)的通解.二階線性微分方程解的結構(解的疊加原理)設y1*與y2*分別是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)與y″+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)

的特解，則y1*+y2*是方程y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)(12-19)

的特解.證

將y1*+y2*代入方程(12-19)左端，得(y1*+y2*)″+P(x)(y1*+y2*)′+Q(x)(y1*+y2*)=［y1*″+P