1.2021年普通高等學校招生全國統一考試?新高考I卷

）|專家評卷

穩中有變初心不改，優化創新立德樹人

由教育部命題考試中心統一命制的2021年全國新高考I卷數學試卷,遵循《普通高中數

學課程標準（2017年版2020年修訂）》的基本要求,著重考查基礎知識、基本思想方法、基

本技能和基本活動經驗，體現“低起點、多層次、高落差”的命題特點.全面對標《中國高

考評價體系》，很好地落實了“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能,堅持高考的核

心價值,突出學科特色,重視數學本質，既發揮了數學學科高考的選拔功能,又對深化中學數

學教學改革發揮了積極的導向作用.

與2020年相比,2021年新高考I卷數學試卷在繼承了2020年的命題風格的基礎上做了

一叱創新,試題命制出現了新動向,考點題型出現了新變化,素養能力考查出現了新亮點.

■高考命題新動向

1.注重基礎,緊扣教材.單項選擇題的第「6題較為簡單,側重考查了教材中的概念、性質、

公式等,第8題對相互獨立事件定義的考查正擊中同學們愛習中的盲點,較好地體現了高考

試題“題在書外，根在書內”，源于教材又高于教材的特點.

2.在數學文化類試題中，沒有出現篇幅長、文字晦澀難懂的情形,契合了命題中心早先提出的

優化情境題的情境設計的命題要求.

3.以能力立意,考查同學們的綜合素質，如第22題是以多元變量和不等關系的證明為教體，

側重考查了函數與導數模塊中的兩大熱點問題，同構問題與極值點偏移問題,考查化歸與轉

化能力、邏輯思維能力、運算求解能力.

■考點題型新變化

1.分值調整部分:多項選擇題由原來的“部分選對的得3分”調整為“部分選對的得2分”.

2.知識塊分值占比發生變化:數列知識模塊的占比有所減少，不等式部分的考查力度明顯降

低,沒有出現單獨的不等式試題,凸現了作為教材中的預備知識的不等式的工具作用,排列組

合的簡單運用進一步弱化，也符合新課標調整的新要求.

3.題型的變化:填空題中增加了雙空題,一個主題下分解出2個答題點,一方面增加了考查內

容,擴大了知識覆蓋面；另一方面,對于難度較大的試題,分空得分,在送出一部分分數的基

礎上,增加了試題的考查深度,豐富了命題形式,提高了試卷的區分度.

4.考點考查方式的調整:解析幾何在高考中大多考查橢圓和拋物線,而2021年主要考查了雙

曲線和定值類問題，題目難度不算大,但對運算能力有較高要求;在多項選擇題中圓的方程的

身影出現在2021年的第11題中，從2020年“隱身”之后實現“回歸”；將對隨機變量的分

布列、數學期望的考查調整到了解答題第18題的位置,難度較2020年有所下降,解三角形后

移至19題的位置，難度上升,考點考查方式的調整，體現了試題命制“穩中有變”的特點.

■素養試題新亮點

1.整卷將數學關鍵能力與學科素養統一到理性思維的主線上,考查推理論證能力以及發現問

題、解決問題的能力.

第7題以曲線的切線為背景考查邏輯思維能力、運算求解能力,事實上本題可以數形結合得

到正確答案,從而避開復雜的代數運算,實現了對學生思維靈活性的考查.

第16題以民間剪紙藝術為載體,對數列知識進行了考查,體現了數學文化學科素養,貫徹了

立德樹人的要求.

第22題以對數函數為載體，綜合考查了函數的單調性、不等式的證明，第(2)問中的不等式

證明，需要考生具有一定的分析探究能力和推理能力,對思維進行了深層次的考查,真正體現

了“高落差”的命題特點，區分度較好.

2.與2020年新高考I卷數學試題相比,課程學習情境試題比例明顯加大,探索創新情境試題

和生活實踐情境試題比例相對減小,如第16題和第18題既是生活實踐情境試題又是探索創

新情境試題;而第12題以正三棱柱為載體的多項選擇題從探索創新方面做了有益的嘗試,題

干條件以向量的形式呈現,四個選項從四個不同角度、不同的設問方式明線考查了立體幾何

中的主干知識，暗線考查了空間軌跡問題,設計精妙.

3.第16題是最具特色的創新型試題,試題全面考查了數學學科素養中的埋性思維、數學應用、

數學文化、數學探索，考查了邏輯思維能力、運算求解能力、數學建模能力、創新能力,首先，

本題以中國傳統文化民間剪紙藝術為背景，其次，本題考查了數列型問題的“歸納、猜想、證

明”策略的靈活運用，考查學生“大膽猜想、小心求證”的思維品質，同時對耐心讀題、細心

審題有較高要求.

■2022屆備考建議

1.在立足教材的基礎上滲透數學思想方法的考查

在復習備考時要回歸教材,充分認識知識的生成、發展和應用的過程,充分領悟教材所滲透的

數學思想和方法，重視通性通法以及知識間的融會貫通，切實把握好“思、”與“算”的辯證

關系,提升運算求解能力.

2.吃透新課程標準的基礎上盤活教材

在平時的復習中，立足教材，同時也要活用教材，不拘泥于教材,注重知識點之間的關聯,搭建

完整的知識體系.

3.把握趨勢,拒絕套路,適當拓展提升能力

在復習時，不要“機械刷題”，而要在吃透《數學課程標準》，深刻領會《中國高考評價體系》

總體要求的基礎上,提高分析問題和解決問題的能力.

國師解題福建省高級教師湯小梅河北省高級教師李金泉

A本卷答案僅供參考

，答案速查

12345678910111213141516

5

BCBACCDBCDACACDBD11

240（3-等）

l.B【考查目標】必備知識:本題主要考查集合的交運算.關鍵能力:運算求解能力.學科

素養:理性思維.

【解析】因為A={x\-2<x<4),慶⑵3,4,5},所以加屆{2,3},故選B.

2.C【考查目標】必備知識:本題主要考查復數的運算、共扼復數的概念.關鍵能力:運算

求解能力.學科素養:理性思維.

【解析】因為z=2~i,所以z(z+i)=(2-i)(2必i)W*2i,故選C.

【方法總結】求解此類題需過好“雙關”：一是“運算關”，即熟練掌握復數的四則運算；

二是“概念關”，本題明晰共挽復數的概念，即可順利求解.

3.B【考查目標】必備知識:本題主要考查圓錐的側面展開圖.關鍵能力:通過對圓錐母線

長的探求，考查邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學應

用.

【解析】設圓錐的母線長為J,因為該圓錐的底面半徑為企,所以2nX^2=n],(解題關鍵:

利用圓錐的底面周長等于其側面展開圖的弧長建立等量關系)

解得7-2V2,故選B.

【解后反思】破解本題需明晰一個概念,即圓錐的概念;找到一個相等，即圓錐的底面周長

與其側面展開圖的弧長相等.

4.A【考查目標】必備知識:本題主要考查三角函數的圖象和性質.關鍵能力:邏輯思維能

力、運算求解能力.學科素養:理性思維.

【解析】解法一（常規求法）令一⑵U得

奉2E《后42行,kQZ.取上0,則后拳因為（0,學氧斗學,所以區間（0《）是函

數人力的單調遞增區間.故選A.

解法二（判斷單調性法）當0dg時，彳㈠彳多所以f（x）在（0,學上單調遞增,故A正確；當

的（/時,KT%所以小）在多/）上不單調，故B不正確;當冗Q號時，段號，所

以/W在（丸，1）上單調遞減，故C不正確；當?4<2n時,號:所以,（*）在（斗，2八）

22366N

上不單調，故D不正確.故選A.

解法三（特殊值法）因為與考§3,但/?（守守sin/,f§）7si喏<7,所以區間成“）

不是函數〃*）的單調遞增區間，排除B;因為n中號召但f（r）=7sinn不〃爭=7sin

詈3<0,所以區間（丸，妥不是函數f（x）的單調遞增區間，排除C;因為萼翠號<2丸，但

f（詈）=7sin瑞=-7sin涉-7,Ay）=7siny=-7,所以區間號,2n）不是函數f（x）的單調

遞增區間，排除D.故選A.

5.C【考查目標】必備知識:本題主要考查橢圓的定義及最值問題.關鍵能力:邏輯思維能

力、運算求解能力.學科素養:理性思維.

【解析】由橢圓號?，得|J0|+|柩|二2*34,則I物?“網W（M0:MF2）92項

94N

當且僅當I姐I=I姐1=3時等號成立.故選C.

6.C【考查目標】必備知識:本題主要考查二倍角公式、同角三角函數的基本關系等知識.

關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維.

【解析】通解（求值代入法）因為tan夕=-2,所以角。的終邊在第二、四象限，（提示：

根據正切值的正負，確定角0可能所在的象限）

所以1sm‘一痣或卜皿一產所以當誓粵明等學二汨e8杷os

（cos。=-京（COS0=京sin6+cosesm8+cos6

O）=sin20-^sinGeos?故選C.

優解一(弦化切法)因為tan。=-2,所以筆坦啥紅哼警件rin〃(sin^os

sinS+cos。sin0+cos0

0、_giMe+sin8cos夕jaMe+tang_42J痂*「

)sin2"cos26l+tan20i+ZT改儂L，

優解二(正弦化余弦法)因為tan〃=-2,所以sin0=-2cos〃.則

sin0(l+sin20)sin0(sin0+cos0)2.,°、siM6+sin6cos64cos20-2cos204-22心、公

-r-:...------------=sin8a(sin夕a何os------------77----—=.故口

sinO+cos。sm0+cos0sin20+cos2?4oos20+cos201+45

C.

【得分秘籍】破解此類問題的關鍵:一是化簡,利用二倍角公式、同角三角函數的基本關系

等,化簡已知三角式;二是求值,利用弦化切或切化弦,求出三角函數值.

7.D【考查目標】必備知識:本題主要考查導數的幾何意義、直線的點斜式方程、利用導

數判斷函數的單調性.關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探

索.

【解題思路】設切點(照,㈤，必也利用導數的幾何意義求出切線方程，再利用切點在切線

上且在已知函數的圖象上,可得關于施的方程,且該方程有兩個不同的解,最后通過構造函數,

轉化為兩個函數的圖象有兩個不同的交點,利用導數判斷新函數的單調性,從而作出新函數

的大致圖象，即可得出正確的結論.

【解析】通解(數形結合法)設切點(風㈤，足0,則切線方程為尸加^。(彳-血，由

\y0~b1眇°(%。一心得鏟。(1-照七)=b,則由題意知關于此的方程鏟。(1楨七)多有兩個不同的

(y0-鏟。

解.設f{x}m'(1-x+ci),則F'(才)*(1-x+a)="e'(xa),由f'(A)X)得x=a,所以當x<a時，F

'(X)3,f(x)單調遞增，當x>a時,f'(x)。f(x)單調遞減,所以f(x)na=f(a)*'(1-a+a)**,

當xQ時,a-D,所以f(x)A),當l-8時,f(x)f0,當l+8時,〃彳)--8,(提示:判斷函

數極值點左右兩側的圖象特征很重要,需掌握用極限思想判斷函數圖象的趨勢,從而能準確

作出草圖，以達到草圖不草的目的)

函數f(x)和％1-*七)的大致圖象如圖所示，

因為Ax)的圖象與直線y=b有兩個交點,所以0%④故選D.

光速解（用圖估算法）過點（&8）可以作曲線的兩條切線，則點（8。）在曲線ym*的下方

且在A?軸的上方,得04G".故選D.

【方法總結】導數的幾何意義把函數的導數與曲線的切線聯系在一起，曲線Hx）在點

（旅,F（加）處的切線的方程為y-f（旅）=（入-照）f’（加），其中f'（胸）表示曲線F（x）在點

（照,F（施））處的切線的斜率.有關曲線的切線方程,若沒有見到切點,應當先設出切點,再根據

切點的“一拖三”（切點與切線斜率相關、切點在切線上、切點在曲線上）來求切線方程.

8.B【考查目標】必備知識:本題主要考查相互獨立事件、互斥事件的判斷.關鍵能力：

邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學應用.

【教你審題】需注意題眼“有放回地隨機取兩次”“每次取1個球”，還需注意題眼“第

一次……”"第二次……”，強調的是順序.盯選項,需判斷兩個事件是否相互獨立,利用相

互獨立事件的概念進行解題,若事件A,3滿足P（腸=〃力）尸09,則事件46相互獨立.

【解析】事件甲發生的概率網甲）事件乙發生的概率尸（乙）3事件丙發生的概率

66

尸（丙）4亮，事件丁發生的概率P（丁）事件甲與事件丙同時發生的概率為0,〃甲

6X63ooXoo

丙）WP（甲）一（丙），故A錯誤;事件甲與事件丁同時發生的概率為2（甲丁）二尸（甲）AT）,

QXQ36

故B正確;事件乙與事件丙同時發生的概率為名殘，尸（乙丙）W尸（乙）尸（丙），故C錯誤;事件

丙與事件丁是互斥事件,不是相互獨立事件，故D錯誤.選B.

9.CD【考查目標】必備知識:本題主要考查平均數、中位數、標準差、極差的定義.關鍵

能力:邏輯思維能力.學科素養:理性思維、數學應用.

【解析】設樣本數據的檢…,力，的平均數、中位數、標準差、極差分別為％，見。，玄依題

意得，新樣本數據九人…,外的平均數、中位數、標準差、極差分別為加3。，￡,因為

eWO,所以C,D正確，故選CD.

10.AC【考查目標】必備知識:本題主要考查平面向量的模、平面向量的數量積.關鍵能

力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探索.

［解析］由題可知，I函I=Vcos2a+sin2a=l,0^I=7cos2p4-（-sinp）2=l,所以

碉|二|6g|,故A正確；

取a三,則巴（李爭，取B哼則P2（W則碉工|同，故B錯誤；

IS^jOA?O^=cos（a+^）,0^*?0^=cosacosP-sinasinB=cos（a+B）,所以

OA?限碉?甌故C正確;

因為鼐?5^=cosa,OP??OP；=cosBcos(a+B)-sin3sin(a+f.)=cos(a+2P),取

aP《，(提示：用取特殊值法進行排除)

44

貝lj瓦彳?西亭,函?OP^=cos^-=~所以m?西X西?西,故D錯誤.故選AC.

11.ACD【考查目標】必備知識:本題主要考查直線與圓的位置關系，最值問題，點到直線

的距離公式等.關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探索.

【解析】設圓(XT)?*尸5)2=16的圓心為做5,5),由題易知直線18的方程為彳號二1,即

42

戶21或則圓心"到直線4?的距離d」5+2.4表乂,所以直線力夕與圓必相離,所以點尸到

v5VS

直線48的距離的最大值為43垸,4喘＜5+醫=1°，故A正確.

易知點尸到直線48的距離的最小值為八關，蔡皿清十1,故B不正確.

過點8作圓"的兩條切線,切點分別為N,。如圖所示,連接MB,MN,MQ,則當/陶最小時，點P

與“重合，I閩二2T52+(5-2產-42今年,當/曬最大時，點夕與0重

合，IPB\=3V2,故C,D都正確.綜上,選ACD.

【解題關鍵】破解此類題的關鍵:一是會轉化,即把動點到定直線的距離的范圍問題進行轉

化,利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而判斷出直線與圓的位置關系，即可

得出動點到定直線的距離的范圍;二是會利用圓的切線，輕松判斷何時角取得最值.

12.BD【考查目標】必備知識:本題主要考查空間幾何體的特征、空間線面位置關系的判

定、定值問題.關犍能力:邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、

數學探索.

【思維導圖】

4=1一點P的軌跡一△月臺夕周長的表達式一判斷選項A

〃=1-*點0的軌跡----二判斷選項B

4〃=0或〃刁-*點2的位置一判斷選項C

〃欲使線面垂直,需線線垂直一點戶的位置一判斷選項I)

【解析】而=人前+〃西(OWXW1,OW〃WD.

對于選項A,當4=1時，點尸在棱CG上運動,如圖1所示,此時△陽U的周長為

AB\+AP+P&=42+，1+/+J1+(I-”^^2句1+『［2-2〃+*,不是定值,A錯誤；

，陽

紋

圖1

對于選項B,當〃=1時，點。在棱上5運動，如圖2所示，

圖2

則%-A18C/1P8。3見收*色《S&械、XI卷，為定值，故B正確；

對于選項C,取a'的中點D,僅C\的中點隊,連接屹,4氏則當AW時，點尸在線段D仄上運動，

假設4aL死則4尸物弘式即(爭2*1—〃/嗎)2〃?解得〃力或〃刁,所以點尸與點

〃或〃重合時,4尸_L"故C錯誤；

解法一由多選題特征,排除A,C,故選BD.

解法二對于選項D,易知四邊形4比4為正方形,所以AiBUR,設AA與48交于點K,連接

PK,要使48J_平面AB￡需4員L能所以點尸只能是棱S的中點，故選項D正確.綜上,選BD.

解法三對于選項D,分別取陽,笫的中點￡?連接/則當〃胃時，點尸在線段站上運動，

以點G為原點建立如圖3所示的空間直角坐標系G-xyzt則

M0,1,1),^(0,1,0),4喙0),產(0,17,§,所以砧=(號,1),瓦?=(0,7,〉若

4由L平面ABR則AW工BF,所以解得A=1,所以只存在一個點月使得4反L平面ARP,

此時點尸與尸重合,故D正確.綜上,選BD.

13.1【考查目標】必備知識:本題主要考查函數的奇偶性與函數的解析式.關鍵能力:邏

輯思維能力、運算求解能力.學科素養:通過利用定義法、特殊值法、轉化法解題，考查理性

思維學科素養.

【解析】通解（定義法）因為〃力寸心-2'-2一）的定義域為R,且是偶函數，（提示:有關函

數的奇偶件問題,注意優先求解定義域）

所以/?（-x）￥（x）對任意的x￡R恒成立，（方法技巧:利用偶函數的定義轉化為恒成立問題）

所以（-x”（a?2"29?2-2）對任意的x￡R恒成立,所以f（a-1）（2-2）4）對任意的

x￡R恒成立,所以a=L

優解一（取特殊值檢驗法）因為Ax）=V（a-2匚2'）的定義域為R,且是偶函數,所以

A-1）寸⑴，所以-弓-2）之吟解得經檢驗，/U）寸（2，-2,為偶函數,所以a=l.（易錯

警示:用特殊值法求得的參數值,需檢驗所求得的參數值是否符合題意,不符合的需舍去）

優解二（轉化法）由題意知FJ）寸（a-2、-2。的定義域為R,且是偶函數.設

g（x）-Zh（x）=a?2r-2r,因為4為奇函數，所以力⑺:a?2'-2'為奇函數，所以

力（0）?2°-2"4解得a=L經檢驗，f（x）寸（2=2、）為偶函數，所以心.

14.x=^【考查目標】必備知取:本題主要考查拋物線的方程、拋物線的幾何性質.關鍵

能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探索.

【解析】通解（解直角三角形法）由題易得|0F|h|PF|=p,NOPF=NPQF,所以

tanZOPF=tanZPQF,所以黑=鑒,即其,解得P=3,所以C的準線方程為x=-1.

VkIWQIP62

光速解（應用射影定理法）由題易得|0F|與|PF|二p,|PF|2二|0F|?|FQ|,即p2=1X6,解得

p=3或p=0（舍去），所以C的準線方程為x=-1.

15.1【考查目標】必備知識:本題主要考查函數的最值、導數的應用.關鍵能力:通過判

斷函數的單調性,得到函數的最值,考查邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養：理性思維、

數學應用.

【解題思路】先求函數Ax)的定義域,再對x進行分類討論,去掉絕對值符號,最后利用導

數法、基本初等函數的單調性,判斷函數F(x)的單調性，可得最值.

【解析】函數F(x)=|2xT|-21nx的定義域為(0,正⑹.

①當x*時，(提示:對才進行分類討論)

f(x)=2x-l-21nx,所以F'(x)=2工,當工<￥<1時"'(*)<0,當x>\時，F'(x)X),所以

x？'x22

f(x)nln=F(l)=2-l-21n1=1;

②當044時"(x)=12r-21nx在(0,0單調遞減，(提示:直接用基本初等函數的單調性進

行判斷)

所以F(x)nin=/>(3=-2】n：=21n2=ln4>lne=l.

綜上，F(X)nin=L

16.5240(3裝)【考查目標】必備知識:本題主要考查數列的實際應用.關鍵能力:通

過構建數列模型，歸納出數列的通項公式,并利用錯位相減法求出數列的前〃項和,考查邏輯

思維能力、運算求解能力、數學建模能力、創新能力.學科素養:借助錯位相減法，考查理性

思維、數學應用、數學探索學科素養.

【思維導圖】

列出對折3次、4次相應的各種規格的圖形S的值歸納推理右偌位相減法A￡SK

k-l

【解析】錯位相減法依題意得，S=120X2N40;S-60X3=180;

當n=Qt時,共可以得到5dmX6dm,-dmX12dm,10dmX3dm,20dmX-dm四種規格的圖形,

22

且5X6￥0,1X12-3O,10X340,20x1-30,所以￡考0X4=120;

當〃為時，共可以得到5dmX3dm,|dmX6dm,：dmM2dm,10dmx|dm,20dmX^dm五

種規格的圖形,所以對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為5,且

5X3-15,^X6<5,-X12<5,10^15,20短二15,所以S=15X5胃5;

2424

所以可歸納金嚶XGHD*竺熱.

所以善產力的（1玲玲i*2：I嚶）①,

所以衿舌產240像玲+i囁崇）②，

由①■②》,如魯產力40（1￡￡**?$端）90（1啟警費）之40G端），（提示：

用等比數列的前〃項和公式S蘭詈巴可避免計算數列項數時出錯）

l-q

所以E￡=240（3喟）dm2.

k=l2n

17.【考查目標】必備知識:本題主要考查數列的遞推公式、等差數列的定義及等差數列的

前〃項和.關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探索.

【解題思路】⑴根據血=1,+l'n為奇學及"=如可得到瓦坊及人與6”的遞推

（冊+2,〃為偶數

關系,利用等差數列的知識確定數列也｝的通項公式；（2）根據a^4an+1，婚心?'確定數

bn+2,n為偶數

列｛a｝的奇數項和偶數項分別成等差數列,再求其前20項和.

解:（1）因為be且國=1,即*1'n，建

1即+2,n為偶數，

所以匕=&=&+12

bi=a=a1+1=庚+2+1=5.

因為札=甌,所以b*加源=如2\=&”\+1=%也+1=出滔,

所以狐一4二的+3-&*3,

所以數列｛4｝是以2為首項,3為公差的等差數列,4r2+3（〃T）=3〃T,〃￡N’.

（2）因為電平+1'咤梵

+2,一為偶數，

所以keN”時，Q2k=Qlk-\*1=Qlk-\/1,即Q2k=32k-l+1①，

②，

32kQ=32kZl=32k，l+1,即③,

所以①+②得斑k八二&kI+3,即32k八一及卜1^3,

所以數列｛&｝的奇數項是以1為首項,3為公差的等差數列；

②+③得cfoA-2—cfeA-^3,即續戶2一續"考，

又出%所以數列｛a｝的偶數項是以2為首項,3為公差的等差數列.

所以數列｛a｝的前20項和

￡o=(a］玲/―,/aig)+(金+&依夫=104詈X3+20金等X3W00.

【解后反思】本題是根據數列的遞推關系,通過迭代法求解.例如：已知a尸,1a*ac+n,求

數列｛4｝的通項公式，此題我們都很熟悉，利用“累加法”很容易求得，但是此種解題方法程

式化，忽略了遞推關系的本質和內涵,此題也可以用迭代法遞

推,an=an-\Hn-l)二③2*(〃-2)+(〃T)=??二國*1,2+3石??+(〃T)

18.【考查目標】必備知識:本題主要考查離散型隨機變量的分布列、數學期望.關鍵能力:

邏輯思維能力、運算求解能力、數學建模能力.學科素養:理性思維、數學應用.

【解題思路】(D首先確定才的所有可能取值,然后分別求出每個可能取值對應的概率,最

后與出乃的分布列；(2)根據(1)的分布列求出先回答A類問題的累計得分方的數學期望，再求

出先回答B類問題的累計得分V的分布列和數學期望，比較兩個數學期望即可得出結論.

解：(1)由題意得,才的所有可能取值為0,20,100,

P(六0)=1-0.84).2,

P(J=20)=0.8X(l-0.6)=0.32,

0(1=100)=0.8X0.6=0.48,

所以/的分布列為

1020100

0.30.4

尸0.2

28

⑵當小明先回答A類問題時，由(1)可得￡(?=0X0.2+20X0.32H00X0.48-54.4.

當小明先回答B類問題時,記V為小明的累計得分，

則？的所有可能取值為0,80,100.

P(r=0)=l-0.6=0.4,

P(J”0)R.6X(l-0.8)R.12,

AMOO)0.6X0.80.48,

所以y的分布列為

Y080100

0.10.4

P0.4

28

￡⑺=0X0.4對0X0.12*100X0.48=57.6.

因為57.6%4.4,即￡（丹）￡（心，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題.

19.【考查目標】必備知識:本題主要考查利用正、余弦定理解三角形.關鍵能力:邏輯思維

能力、運算求解能力.學科素養:理性思維、數學探索.

【解題思路】（1）對已知條件BDsin/ABC=asinC利用正弦定理得BD?b=ac,再結合S=ac,

即可得證；⑵過點〃作DE〃BC交AB于￡分別在48龍和△力式中利用余弦定理求得

cosNBED和cosN力陽利用cosZBED=~CQSZABCb'ac確定出&與c的關系，進而求出

cosNABC.

解：（1）因為BDsinZABC=a^inC,所以由正弦定理得,BD*b=ac,又S=ac,所以BD*b=R,

又處所以BD=b.

⑵如圖所示,過點〃作DE〃BC交仍于Et

因為仍2%所以裝嘿2箓與人

所以吟,必爭.

會受廿j；2+4a2-9b2/2+4@2-9好

在△〃比'中，3SNDED*+DE2_BB

2BE?DE2xgx笥4ac4ac

在△力宛中，COSN腕，2+叱"爐+。2廿―C2+Q2-ac

2AB?BC2ac2ac

c2+4a2-9ace2+a2-ac

因為/戚5-ZABC,所以cos/應％P0SN/I8G所以，，化簡得

4ac2ac

3/用，Tiac=o,方程兩邊同時除以才,得3（￡）2-11（34=0,解得￡乏或￡應

aaa3a

當落,即c寺時,cosN胸容上史立就W；

a332ac-a212

2+a2-ac9a2+a2-3a:

當￡=3,即c=3a時，cosNABCf少1（舍）.

a2acO

綜上,cos/AB嗎.

20.【考查目標】必備知識:本題主要考查面面垂直的性質定理、二面角的定義、線線垂直

的證明及三棱錐體積的求解.關鍵能力：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力.學科

素養:理性思維、數學探索.

【解題思路】(D由AB=AD,。為切中點得OA1BD,然后根據面面垂直的性質定理,可得OAX.

平面凡0進而得"LLQZ⑵先根據△QW是邊長為1的正三角形及。為物的中點得

OC=OD=OB=\,推出△靦是直角三角形，即三棱錐力-靦的底面積可求,然后作出二面角

￡-6小〃的平面角，根據平面角為45。，可以求出勿的長度，即三棱錐上閱9的高可求,最后根

據錐體的體積公式求出體積;或者建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解.

解：⑴因為力廬力〃0為即的中點，所以OALBD,

又平面力即_L平面BCD,且平面/I劭A平面BCD=BD,力化平面ABD,所以10_L平面BCD,

又如平面BCD,所以AOYCD.

(2)解法一因為△比。是邊長為1的正三角形，且。為劭的中點，所以心臨勿=1,

所以△靦是直角三角形,且/a加90°,BC忐,所以S.灌.

如圖,過點￡作EF//AO,交3于F,過點尸作FG1BC,垂足為G,連接EG.

因為力0_1_平面BCD,

所以既1平面鴕9,

又始z平面BCD,所以EFIBC,

又FG1BC,且EFCFG;F,EF,欣平面EFG,

所以比上平面分論

則N反加為二面角E-8C-D的平面角,

所以/￡6戶45°,則GF=EF.

因為DE=2EA,所以EF《OA,DF=20F、所以整N

因為FG1.BC,CD1BC,所以GF//CD,

則去與所以仍專

所以上尸二跖與所以OA=\y

所以及?4^~2"I^6

解法二如圖所示，以0為坐標原點，如,如所在直線分別為乂Z軸,在平面BCD內,以過點0

且與初垂直的直線為y軸建立空間直角坐標系.

因為△口力是邊長為1的正三角形,且。為物的中點,

所以OC=OB=OD=\,

所以8(1,0,0),〃(-1,0,0),Cg,￡0).

ZZ

設4(0,0,a),-0,因為DECEA,所以￡(號0,爭.

由題意可知平面的一個法向量為〃=(0,0,1).

設平面腔的法向量為止(x,必z),

因為前=(g當0),尻=(go,y),

所以仆?史=0,即「尹士。，

lm?BE=0,，無+2z=0,

\33

令x=\,則尸百,z上,所以m=(1,遮與.

aa

因為二面角6比-0的大小為45"

所以cos45。=產％/丁=等：

mllnl2

得a-1,即0A=\.

因為8尾劭?您in60。3*2X1X李當

所以VA-BCD^-S^BCD?0A-X-^-X\=^-.

3326

21.【考查目標】必備知識：本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的標準方程、弦長公式及

直線與雙曲線的位置關系.關鍵能力：本題通過將題目中的幾何條件代數化考查運算求解能

力.學科素養:理性思維、數學探索.

解：⑴因為IMFil-1MF2|=2<|FE|=2757,

所以點M的軌跡C是以艮,F2分別為左、右焦點的雙曲線的右支.

設雙曲線的方程為R=1(a>0,b>0),半焦距為c,則2a=2,c=g,得a=l,b2=c2-a2=16,

所以點M的軌跡C的方程為x2《=l(x21).(易錯警示:注意點M的軌您是雙曲線的一支,其

16

軌跡方程要標上X的范圍)

(2)設t),由題意可知直線AllPQ的斜率均存在且不為0,設直線AB的方程為

y-t=ki(x-1)(ki^O),直線PQ的方程為y-t=k2(x-1)(ka^O),

y-t=ki(x-7),..

22

2yz(16-k?)x-2k(t-y)x-(t-y)-16=0.

(x-L

設A(XA,y,0,B(XR,yB),

易知16-峪WO,

m.i?(吟產】62kl(吟

則X'X*YTI,XA+X產Fp

所以ITA=y/l+kfXA-^I=y/l+kj(XA-1),

TBl=V1+kJ|xn-|I力1+k：(XB-；)>

則

2：

|TA|?|TB|=(I+k?)(xA-1)(x.4)=(l+k?)[xAXB4(XA+xB)4]=(l+k2)[嗡、?笫):

NNN415-K[N1o*KI4

(l+k?)(t2+12)

-kfl6-,

同理得|TP?仙|=。+卜即2+12)

k$-16

因為|TA-|TB|=|TP?|TQI,所以生磊33鬻出,所以

ki-16+k?kl-16k?=k?-16+k5ki-16kl，即k>嶺,

又ki#kz,所以k]=-k2,即ki+k2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

【方法總結】若A(xi,w),B(X2,丫2)是直線y=kx+b(kWU)上的兩點，則

AB|=71+1?Ix.-x2|=J1+專|yi-y2|,稱此公式為直線上兩點間的距離公式,若A,B是直線與

圓錐曲線的交點,則此公式即我們通常所說的弦長公式.注意此公式不僅求弦長時可以使用，

只要是求直線上兩點間的距離都可以用.

22.【考查目標】必備知識:本題主要考查利用導數研究函數的單調性及構造函數證明不等

式等.關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力和創新能力.學科素養:理性思維、數學探索.

【思維導圖】

(DF(x)-*F'(x)=Tnx-f(x)的單調性

令上'="7'4=不

(2)blna-aln6=a-/r~小：+】<：-f(}二f(/不妨設工】〈工，0<￥1<1<>2<€—>■原問題轉化

為證2傘+x《e光證4+叫>2?轉化為證〃為)"(2』)一構造函數F{x)=F(x)-f(2r)一對F{x}

求導,確定其在S,1)上的單調性一當0々<1時,Ax)-A2-x)<0再設』十孫'；令

fM=f(X2)tlmCl轉化為證F(照)，%全-構造函數方(x)=f(x)以一對函數力(*)求導,確

定其在(1,e)上的單調性f當1ag時，力(x)<e―*得證

解：(1)因為f(x)Fy(l-lnx),所以f[x}的定義域為(0,+8),y，(X)=1-inx+x?(―)=Tnx.

當才￡(0,1)時,F'(x)X;當才￡(1,+3)時，f'COcO.

所以函數F(x)在(0,D上單調遞增，在(1,f8)上單調遞減.

(2)由題意,a"是兩個不相等的正數，且切na-aln6和力兩邊同時除以助，得小當二二，

abba

即lna+1」n"l,即信=?)

abab

令ATiAA2A

ab

由(1)知/Xx)在(0,1)上單調遞增,在(1,*8)上單調遞減，(一般地,解決此類問題,第⑵問

需利用第(1)問所得函數的性質，本題中對"na-aln6飛-力的變形就是想方設法利用上(1)

中函數的性質)

且當046時，f(x)/0,當xX時,F(x)<0,

不妨設X1<￥2,則0<￥i<1<￥2<e.

要證即證2al+照

ab

先證x\+xi>2:

要證x\-f-x>>2,即證照>2-矛1,

因為OOMd赳所以照>2-乂>1,

又f(x)在(1,+8)上單調遞減,所以即證/U)<X2-x.),

又f(M)=/Q2),所以印證f(x^)<f[2-x\),即證當(0,1)時，f(x)~f(2-x)<0.

構造函數Kx)=f(x)-f(2-x),

貝!1F'(x)=f'(x)(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

當0a<1時,x(2-x)<1,貝！]Tn[x(2-x)]?,

即當04<l時,尸'(力M,所以尸(力在(0,1)上單調遞增,

所以當04<1時，戶(*)0⑴=0,

所以當oac時，/'(*)-A2-Y)<0成立,所以用*方)2成立.

再證X\+X1<Q\

由(1)知,fix)的極大值點為產1,f(x)的極大值為AD=1,

過點(0,0),(1,1)的直線方程為y=x,

設F(x])=f(x2)當(0,1)時,f(x)=x(l-Inx)>x,

直線y=x與直線y=m的交點坐標為(加,m),則x、<m.

欲證x\+xi<e,即證x\+xi〈m+xz<7*(均+照<e,

即證當IOS時，/'(x)以S.

構造函數方(x)"(x)色則力'(x)=l-lnx,

當166時，力'(x)與，所以函數加力在(l,e)上單調遞增，

所以當1<x<e吐力(x)<Z?(e)=/(e)卅氣，即f[x)+x<e成立,

所以X\+xKc成立.

綜上可知成立.

ab

2.2021年普通高等學校招生全國統一考試-新高考II卷

皂海南華僑中學高級教師鄧建書

■高考命題新動向

1.2021年新高考II卷與2020年相比,體現出的新特點：

(1)重視概念的理解和記憶(如棱臺的體積公式,正態分布,數字特征)；

(2)新命題角度(即時定義：比如緯度與衛星信號覆蓋的地球表面的面積公式，概率與高次方

程相結合)；

(3)新趨勢(開放性試題，結構不良試題與導數相結合，壓軸題第21題為概率題).

2.2021年的高考試卷體現《普通高中數學課程標準》(2017年版202Q年修訂)的有：

教學建議方面：

(D教學目標制定要突出數學學科素養(掌握數學本質而非記憶，如第12題新定義的理解和

運用)；

(2)情境創設和問題設計要有利于發展數學學科素養(如選擇題第4題以北斗三號全球衛星

導航系統為背景，介紹了緯度的定義及地球靜止同步衛星信號覆蓋地球表面的面積公式,通

過與現實生活聯系，介紹相關數學知識,激發同學們學習數學的熱情和積極性）.

命題原則方面：

試題突出數學本質，堅持素養導向、能力為重的命題原則（如第22題為結構不良試題,對同學

們的邏輯推理能力、抽象概括能力等進行了深入考杳）；倡導理論聯系實際、學以致用，關注

我國社會主義建設和科學技術發展的重要成果（如第4題北斗三號全球衛星導航系統），通過

設計真實問題情境,體現數學的應用價值（如第21題微生物繁殖）；穩步推進改革，科學把握

必備知識與關鍵能力的關系，科學把握數學試題的開放性（如填空題第14題,根據函數性質

寫函數解析式，答案不唯一），穩中求新,體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求

（如第21題概率與方程相結合考查）.

■考點題型新變化

一、命題方式和題型的變化

1.2021年相比2020年,函數比重增加，概率與統計比重減少,數學建模活動與探究活動比重

增加.

2.創新性:開放題、結構不良題等發揮選拔功能，要求同學們多角度、開放式思考問題，考查

創新思維.

（1）“舉例問題”靈活開放.第14題的答案是開放的，給不同水平的學生提供充分發揮數學

能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用.

（2）“結構不良問題”適度開放.第22題第（2）問是“結構不良題”，對邏輯思維能力、抽象

概括能力等有深入的考查，體現了素養導向、能力為重的命題原則.

（3）“存在問題”有序開放.第18題重點考查邏輯思維能力和運算求解能力，在體現開放性

的同時,也考查了我們思維的準確性與有序性.

二、試題設計的趨勢與變化

分析近兩年的試題,可以發現,試題注重構建引導德智體美勞全面發展的知識體系,改變相對

固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現象命題積極貫徹《中國

高考評價體系》要求,加大開放題的創新力度,利用開放題考查數學學科素養和關鍵能力,發

揮數學學科的選拔功能.主要表現為以下幾個方面：

1.第21題考查微生物群體自身繁殖,這是數學與生物的交叉和滲透.

2.第12題設置新定義問題,是探究能力、數學學習能力的創新題型.

3.試題打破固有試卷結構與試題排列方式，概率試題作為壓軸題放在倒數第二題的位置，結

構不良題放在導數題位置節省了同學們選擇的時間，具有創新性.

■素養能力新亮點

一、從數學學科素養進行分析

理性思維考查較多:第4題考查球的表面積,其實是過圓外一點引圓的切線問題；第16題考查

導數的幾何意義、切線的方程,思維量較大.

數學應用意識加強:第4題以北斗三號全球衛星導航系統為試題情境設計立體幾何問題，考

查空間想象能力、閱讀理解能力及數學應用素養.

二、從亮點試題進行分析

【創新題】第21題借助微生物每代繁殖問題將生物問題和概率相結合,考查理性思維、數

學應用、數學探索素養，在設問方式、試題素材、綜合性等方面均有創新.

【易錯題】第6題的命題陷阱是“下列結論中不正確的是”.

【變式題】第18題改編自必修5課本,解三角形復習參考題B組第3題;第21題概率試題

的風格與2019年全國/卷數學理科第21題風格相近.

■2022屈備考建議

一、關注教材的變化

1.新教材很注重平面幾何的證明和應用，第一冊和第二冊課本習題中多次出現平面幾何題的

引入及其應用.

2.新教材的幾個突出變化：（1）重應用題目編寫，（2）重平面幾何應用，（3）重邏輯推理過程，（4）

重知識面的拓廣，（5）重高考試題補充，（6）重數學建模框架，（7）重新方法新思路，（8）重信息

技術應用.觀察這幾個變化,對照高考試題,平面幾何考查并未減少,應用試題考查連續,數學

建模逐年增強.

二、重視基本概念（定義）的形成過程

重過程而非只僅僅知道結論.概率題可以借助因式分解,也可借助分布列的條件,直接分析也

可得到第一種情形的結論，第10題體對角線與面對角線的關系,課本早已有之，但能否看出

來這是另一番情形.第22題極值點正負的判斷,從整體上來看,直接利用已知條件即可判斷，

而不必構造函數證明.總之,從宏觀上把握,可事半功倍！

三、關注國家聯考命題

但凡國家命題，都有一定的導向作用，應引起足夠重視,特別是命題風格的改變,要讓同學們

適應其變化，教師亦可根據情況自己命制相關試題，供同學們選擇和訓練，以適應高考的新變

化.

_呂師都題重慶市高級教師慕澤剛高級教師李金泉

＞本卷答案僅供參考

，答案速查

12345678910111213141516

人答案不唯Q

ABBCDDCBACBCABACDy:±通x3(0,1)

-)2

l.A【考查目標】本題主要考查復數的運算,考查的學科素養是