PAGEPAGE5平面向量章節分析:向量是近代數學中重要和基本的概念之一,具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”,能融數形于一體,是溝通代數與幾何的天然橋梁，能與中學數學內容的許多主干知識相結合,形成知識交匯點.向量是溝通代數、幾何和三角函數的一種工具,有著極其豐富的實際背景,在數學和物理學科中有重要應用.向量有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具,向量概念引入后,許多圖形的基本性質都可以轉化為向量的運算體系,例如平行、垂直、夾角、距離等.對本章的學習要立足基礎,強化運算,重視運用,能根據向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算,并能運用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計算問題.平面向量的概念、幾何運算和基本定理1.向量的相關概念2.向量的線性運算3.向量的共線定理非零向量與向量共線,當且僅當存在唯一一個實數,使。延伸結論:三點共線當且僅當有唯一,使4.平面向量的基本定理如果是一個平面內兩個不共線向量,那么對這平面內的任一向量,有且只有一對實數λ1,λ2使:,其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.練習:（1）已知是平面向量的一組基底,,①若當且僅當且.②若則.（2）如圖為單位向量，，其中的夾角為，的夾角為。若，求的值。5.一個常用結論:中,為邊的中點,則有:.練習:設的重心為點,設試用表示.典型例題分析:知識點一:基本概念例1.1.如果是平面內兩個不共線向量,那么下列各說法錯誤的有()①()可以表示平面內的所有向量;平面內的所有向量都可以表示成()。②對于平面中的任一向量使的,有無數多對;③若向量與共線,則有且只有一個,④若實數,使,則. A.①② B.②③ C.③④ D.②練習:1)判斷下列命題的真假(1)向量與向量為共線向量,則四點共線.(2)若則四邊形為平行四邊形.(3)若向量,則.(4)是兩個向量,則當且僅當不共線時成立知識點二:向量的線性運算例1.化簡:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例2.如圖,四邊形,,分別為,的中點,求證:.1、已知向量滿足條件,且,求證是正三角形.2、是所在平面上的一點,若,則是三角形.3、已知非零向量和滿足且,則為.4、若為所在平面內一點,且滿足則的形狀為（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形5、已知非零向量與滿足且,則△ABC為 （ ）A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析:1.根據四個選擇支的特點:本題可采用驗證法來處理,不妨先驗證等邊三角形,剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支,故選D.2.由于所在直線穿過△ABC的內心,則由知,（等腰三角形的三線合一定理）;又,所以,即△ABC為等邊三角形,故選D.知識點二、三角形的“心”與向量重心在△ABC中,AD為BC邊上的中線,根據向量加法的平行四邊形法則,可得.這說明所在的直線過的中點,從而一定通過的重心.另外,為的重心的充要條件是或,（其中為所在平面內任意一點）,這也是兩個常用的結論.例1.已知是平面上不共線的三點,是的外心,動點滿足,則的軌跡一定通過的（ ）A.內心 B.垂心 C.外心 D.重心思路分析:取AB邊的中點M,則,由可得,所以,即點P的軌跡為三角形中AB邊上的中線,故選D.垂心在中,由向量的數量積公式,可得,這說明所在直線是BC邊上的高所在直線,從而它一定通過△ABC的垂心.例:若動點滿足,則點P軌跡一定通過的（）A、外心B、內心C、垂心D、重心例2.點是所在平面內的一點,滿足,則點是的 （ ）A.三個內角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三條高的交點,故選D.練習:點是所在平面內的一點,滿足,則點是的（ ）A.三個內角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點內心在中,由兩單位向量相加,可得所在直線是∠A的平分線所在的直線,從而一定經過的內心.例3是平面上定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心思路分析:設為上的單位向量,為上的單位向量,則的方向為∠BAC的角平分線的方向,又,所