2023-2024學年高一數學下學期期末考試模擬08

一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知復數z滿足（lT）z=2i,則z的模為（）

A.1B.72C.y/jD.2

【答案】B

【解析】

【分析】先由復數的除法運算計算得z=-1+i，進而可得模長.

【詳解】復數z滿足（1—i）z=2i,z=3=叱1）_]+i,

l-i（1-1）（l+i）

所以|z|=、歷.

故選：B.

2.已知角a的終邊上有一點P（l,3）,則sm（"-一sm[萬+的值為（）

2cos（ar—2萬）

.4

A.1B.——C.—1D.—4

【答案】A

【解析】

【詳解】根據三角函數的定義可知tana=3,

根據誘導公式和同角三角函數關系式可知

sin（乃-a）-sin—+a

12Jsmct-cosa113-1.

----------------------—二------------=一tana—=----=1.

2cos一2?）2cosa222

故選：A.

3.下列函數中，既是奇函數又是增函數的是（）

A.y=--B.y=tanx

x

C.y=2'D.y=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根據奇函數可排除C選項，由函數為增函數可排除A、B選項，得出答案.

【詳解】選項A.函數y=-'為奇函數，但在定義域內不是增函數，故不正確.

x

選項B.函數y=tanx為奇函數，但在定義域內不是增函數，故不正確.

選項C.函數y=2、不是奇函數，不正確.

選項D.函數y=d是奇函數且在R上為增函數.故正確.

故選：D

4.下列命題正確的個數是（）

①兩兩相交的三條直線可確定一個平面

②兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行

③過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行

④和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根據空間中的直線與平面的位置關系以及平面的基本性質，對選項中的命題判斷正誤即可.

【詳解】對于①，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故①錯誤；

對于②，兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故②錯誤；

對于③，過平面外一點的直線一定在平面外，且直線與這個平面相交或平行，故③正確；

對于④，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或相交直線，故④錯誤.

正確的命題只有一個.

故選：D

5.在一A3C中，AB±AC'且,3|=卜4=君，股是3c的中點，0是線段A"的中點，則

Q4.（O3+OC）的值為（）

J?55

A0B.C.——D.——

448

【答案】C

【解析】

【分析】建系求出各點的坐標，進而應用數量積的坐標運算即可.

【詳解】如圖，以A為原點，AB,AC所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系，

則4(0,0),B(V5,0),C(0,V5),

因為M是3C的中點，所以

因為。是線段40中點，所以。

144J

所以03=］至,一好［oc=［_立，至］,OA=A/5A/5)

-丁-彳/

144J144J1

所以O3+OC=［李

所以04(03+00=一手乂岑+卜當卜?=一；

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是建立直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算，從而得解.

「八3cosAa廠00e,

6.在AABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,三知=,且〃2—c2_2b，則》一

cosCc

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據正弦定理及余弦定理可求解.

3cosAn

【詳解】------=—,即為3ccosA=〃cosC,

cosCc

聯士c/?2+c2—a2+b2-c2

即有3c-----------------=a-----------------

2bcZab

即有。2-02=人5,

2

又@-a=2b,則26=工》2,

2

解得6=4.

故選：A.

S2

7.若一個圓柱的底面直徑和高相等，表面積記為加，一個球的表面積記為S?,=則這個圓柱跟這

?23

個球的體積之比為（)

A.2立3月B.2:3C.4:9D.72:73

【答案】C

【解析】

r2

【分析】設圓柱的底面半徑為廠,球半徑為尺，由題可得一=—,即可求出體積之比.

R3

【詳解】設圓柱的底面半徑為小則高為2r，設球半徑為A,

萬廠乃廠-l

S[=22+22r=671r,S2=4兀K,

S、_671r2_2r2

一sj4%R2~3'"

71rl-2r3r34

則這個圓柱跟這個球的體積之比為44=*=3.

—7lK

3

故選：C.

8.如圖，正四棱臺容器ABC。—4與。］。1的高為12cm,AB=10cm,\B}=2cm,容器中水的高度為

6cm.現將57個大小相同、質地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm,若忽

略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）

aG

【答案】A

【解析】

【分析】先計算水的體積，再計算放入球后水和球的總體積，可得鐵球的體積，利用體積公式可得答案.

【詳解】正四棱臺容器ABC。—44GR的高為12cm,AB=10cm,4用=2%，

正四棱臺容器內水的高度為6cm,由梯形中位線的性質可知水面正方形的邊長為g（2+10）=6,

其體積為匕=3k2+1。2+病而卜6=392cm3;

放入鐵球后，水位高為9cm,沿A耳作個縱截面，從4,四分別向底面引垂線，如圖，

其中所是底面邊長10cm,4〃是容器的高為12cm,GH是水的高為9cm,

GNB.G1

由截面圖中比例線段的性質定=扇=I,可得GN=1,此時水面邊長為4cm,

42X102X9=468cn?,

放入57個球的體積為468—392=7601?,

設小鐵球的半徑為小貝|57*3兀/=76,解得「=，Lcm.

3N71

故選：A

二、多選題：本題共4小題，出20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.某學校對高一學生選科情況進行了統計，發現學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種

組合，其中選考物化地和物化政組合的人數相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（）

B.該校高一學生中選考物化政組合的人數為96

C.該校高一學生中選考物理的人數比選考歷史的人數多

D.用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取20人，則生史地組合抽取6人

【答案】AC

【解析】

【分析】根據政史地的人數和占比即能得到A；先求物化生的人數為800x35%=280人，物化地和物化政

組合的人數相等，就能得到物化政組合人數，即B；物理440,歷史360,C對；利用分層抽樣的特點就能

得到D.

【詳解】對于A,選科為政史地的人數為200人，占比為25%.該校高一學生共有網=800人，A正

25%

確;

對于B：選科為物化生的人數為800x35%=280人，...選科為物化政的人數為

800-200-280-160

=80,B錯誤;

2

對于C,選考歷史人數有200+160=360人，選考物理的人數有280+80+80=440人,

選考物理的人數比選考歷史的人數多，C正確；

對于D,選科為生史地的學生人數占比為國=0.2=20%,

800

..?采用分層抽樣抽取20人，生史地組合應抽取20x20%=4人，D錯誤.

故選：AC.

10.已知4力是單位向量，且。+6=(1,—1),則()

A.\a+b\=2

B.°與6垂直

兀

C.a與a—。的夾角為I

D.\a-b\=\

【答案】BC

【解析】

【分析】根據向量模的坐標表示可判斷A；將|a+0|=2兩邊平方，可得。力=0,判斷B；根據向量模的

計算公式可判斷D；根據向量的夾角公式可判斷C.

【詳解】由a+6=(l,—1),得|〃+6|="西了=血，所以A選項錯誤；

因為a,6是單位向量，將|a+61=41兩邊平方得/+//+2?.b=l+l+2a-Z?=2，

得a-b=0，即a與6垂直，所以B選項正確；

由|a—b『=。一+萬—2a?/?=1+1—0=2，所以|a—6所以D選項錯誤；

設。與。一匕的夾角為仇利，則cose："""，

\a\\a-b\lxV21x^/22

---71

所以a與a-匕的夾角為'=［，所以C選項正確?

故選：BC.

11.如圖，在棱長為1的正方體中，下列結論正確的是

A.異面直線AC與BG所成的角為60。

B.直線A片與平面ABG。成角為45。

C.二面角A—一5的正切值為行

D.四面體2-AB。的外接球的體積為巫力

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,平移直線BG到直線A。；對B,作出線面所成的角，再利用三角函數求解；對C,作出

二面角的平面角，再求正切值；對D,利用補形法即三棱錐的外接球為正方體的外接球.

【詳解】如圖所示，連接A，,A。，

B

對A,平移直線BG到直線AQ,則N2AC異面直線AC與BG所成的角，顯然為正三角形，二

ZD,AC=60,故A正確；

對B,BQ工BQ,BXO±AB,AB50=3,?.4。，平面,二ZB/O為線面角，

AO=->B,O=—，??tanZB.AO=—.故B錯誤；

21213

,tan/AO3=—=0

對C,在三角形鉆C中，二/AOB為二面角的平面角，、歷，故C正

~T

確；

對D,利用補形法即三棱錐的外接球為正方體的外接球，；.R=",；.丫=%尺3=走萬，故D正確.

232

故選：ACD.

【點睛】本題考查空間中角的概念與計算，考查空間想象能力、運算求解能力，屬于基礎題.

12.已知函數/(1"cos'x—sii/x,則以下說法中正確的是()

A.7(%)的最小正周期為兀

B.”X)在—上單調遞減

C.函數g(x)=2/(x)-6在［0,10］內共有7個零點

D.函數/(%)在區間(/eR)上的最大值為“(，)，最小值為N"),則函數

【答案】ACD

【解析】

【分析】先化簡原式可得：/(x)=cos2x,即可求出周期和單調區間，由/(%)=日數形結合可判斷

兀1

C,因為區間t--,t(/eR)的長度恰好是函數周期的所以由函數/(尤)的圖象知：當區間

(feR)恰好關于函數八力的對稱軸對稱時，函數廠⑺=M(/)—N⑺取得最小值，進而可得

出結論.

【詳解】解：因為函數/(x)=cos4x-sin4%=(cos2尤+sin2；t)(cos2x—sin2x)=cos2x,

27r

對于A：函數/(%)的最小正周期為萬=兀，故A正確:

對于B:由2E<2XV2E+TI(左$Z)得防cv九v+eZ),

jr

因此函數〃尤)的單調遞減區間為kn,k7i+-(ksZ).

又當上=0時，0,為是函數/(尤)的一個單調遞減區間，故在(工，得］上不單調，故B不正確;

乙kJL乙J.乙J

對于C：令g(x)=2/(x)—6=0,則/(x)=等，

作直線》=#與函數的在［0,10］內圖象如下：

由圖象知：直線7個不同的交點，故。正確;

jr1

對于D：因為區間t--,t（feR）的長度恰好是函數/（x）周期的i，

所以由函數/（%）的圖象知：當區間（/eR）恰好關于函數/（x）的對稱軸對稱時，函數

r（t）=M（/）—N（。取得最小值.

此時，區間（/eR）的中點為一巴QeR）,所以x=7—P（/eR）是函數〃力的對稱軸.

4J88

不妨設x=t—殳=0,解得f=g,則區間/—?eR）變為—,

此時M（。=cos0=1,N（°=cos=等，所以函數廠”）=加0）一N（t）的最小值為1—冷，故D

正確.

故選：ACD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a=（0,5）S=（2,—1）,則a在匕上的投影向量的坐標為.

【答案】（—2,1）

【解析】

【分析】由a在b上的投影向量代入公式同〈。5《為》力計算即可.

【詳解】解：由。=（0,5）1=（2,—1）,

a-bb_-5（2,-1）/、

可得。在b上的投影向量為：］獷.同=有.々」=（-2,1）.

故答案為：(—2,1).

14.一個梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且45'=1,O'C'=3,O'A=2,則原梯形的面積為

【解析】

【分析】由直觀圖作出原圖形，為直角梯形，確定出各邊長后計算面積即得.

【詳解】在坐標系中作出直觀圖對應的原圖形QWC，它是直角梯形，如圖.

故原梯形的面積為：5=-x(l+3)x4=8,

2

故答案為：8-

15.如圖，在正方體中，A、B、C、。分別是頂點或所在棱的中點，則A、B、C、。四點共面的圖形

(填上所有正確答案的序號).

【答案】①③④

【解析】

【分析】四點共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質結合平行線的傳遞性

進行說明，證明平行時絕不能憑直觀感覺或無理論依據.

圖①：證明AB〃EECD//EF,可得A8〃C。；

圖③：證明AC//EF,可得BO〃AC；

圖④：證明GH〃EF,AC//EF,BD//GH,可得BZ)〃AC.

【詳解】圖①：取G。的中點尸，連結BEEF,

:B、廠均為相應邊的中點，貝心BF/LHG

又???序么AE，則BFLAE即ABFE為平行四邊形

.,.AB//EF

同理：CD〃EF

則AB〃CO即A、B、C、。四點共面，圖①正確；

①

圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；

圖③：連結AC,8O,EF,

BE//DF即BDFE為平行四邊形

C.BD//EF

又C分別為相應邊的中點，貝UAC〃石廠

.?.BZ)〃AC即A、B、C、。四點共面，圖③正確;

B

②

圖④：連結AC,2D,E￡Ga

GE//J1F即GEFH為平行四邊形,則GH//EF

又C分別為相應邊的中點，貝|AC〃EF

同理：BD//GH

，BD〃AC即A、B、C、。四點共面，圖④正確.

故答案為：①③④.

16.近期，貴州榕江“村超”火爆全網，引起足球發燒友、旅游愛好者、社會名流等的廣泛關注.足球最早起

源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太

宗和臣子們蹴鞠的場景.已知某“鞠”的表面上有四個點A、B、C、D,連接這四點構成三棱錐A-BCD如

圖所示，頂點A在底面的射影落在△3CD內，它的體積為生叵，其中△3CD和都是邊長為6

2

的正三角形，則該“鞠”的表面積為.

【答案】52萬

【解析】

【分析】由線面垂直關系，利用分割法求三棱錐體積，由垂直關系結合球心性質找到球心位置，再運算求解

球半徑即可.

【詳解】如圖，

取3c的中點E，連接。石，AE，

因為BCLDE,BCLAE,

又DEu平面AED,AEu平面AED,DE\AE=E,

所以3cl平面AED,3Cu平面ABC,

所以平面ABC1平面AED,同理可證，平面3CD_L平面AED,

設△3CZ)和的中心分別為”、F,在平面AED內，過歹、”分別作人及石。的垂線，設交點為

0,即/0,

又平面ABCc平面AED=AE，由面面垂直的性質定理可知，0萬_1_平面ABC,

同理可得，平面BCD,即球心為。，設“鞠”的半徑為R,連接OE,

則匕-BCD=^B-AED+匕-AE￡)=§/\AED'BC,

即：丑?=\LAE-DEsinNAEDBC，

232

又BC=6,AE=DE=3%，

所以sin/AED=走，又頂點A在底面的射影落在△BCD內，則Z4￡E>=60。，

2

由HE=FE，0E為公共邊,得RtAOHE與RtAOFE全等,

則0E為NAED的角平分線，所以NOE"=30°.

在RtOEH中，因為EH=LED=6,則O〃=EHtan30°=l

3

在RJOCW中，CH=25R2=OH-+CH2=I2+(273)'=13，

所以該“鞠”的表面積S=4TTR2=4TTX13=52%.

故答案為：52萬

四,解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知向量〃=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且〃//人a.Lc.

(1)求向量b、c；

(2)若用=24-萬，〃=〃+c,求向量歷，〃的夾角的大小.

【答案】(1)b=(3,6),。=(2,—1)

/、3萬

(2)——

4

【解析】

【分析】(i)由題意結合向量平行及垂直的坐標表示可求x,y,進而可求；

(2)設向量口，〃的夾角的大小為9.先求出機，n,然后結合向量夾角的坐標公式可求.

【小問1詳解】

解：因為a=(L2),b=(3,x),c=(2,y),且“〃。，d1c

所以1—2><3=0,a-c=2+2y=0,

所以x=6,y=-L

所以6=(3,6),c=(2,-l)；

【小問2詳解】

解：設向量機，〃的夾角的大小為6.

由題意可得，m=2a-b=(2,4)-(3,6)=(-1,-2),〃=a+c=(3,l),

m-n-lx3-2xl亞

所以cos。

Im||77175x^02

因為萬，所以e=—.

4

18.如圖，在多面體ABCDE中，AAEB為等邊三角形，AD//BC,BCLAB,BC=2AD,點、F為邊

的中點.

(1)求證：AF//平面DEC.

(2)在上找一點G使得平面AFG〃平面DCE,并證明.

【答案】(1)證明見解析(2)點G為3c的中點.證明見解析

【解析】

【分析】(1)取EC中點連接月0,DAf,根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；

(2)先由題意，確定點G為3C的中點；再給出證明：連接bG,AG,根據面面平行的判定定理，即

可證明結論成立.

【詳解】（1）取EC中點M，連接府，DM,

'：AD/IBCIIFM,AD=-BC^MF,

2

；?AD似尸是平行四邊形，AF/ADM，

???AFU平面DEC,斯匚平面。￡。，二轉//平面。￡。.

（2）點G為BC的中點.

證：連接FG,AG,

因為G、E分別是BC,3E的中點，所以GF//CE,

又Gbcz平面。CE,CEu平面。CE,所以GP//平面。CE,

又因為AD/ABC,AD^-BC,所以AD〃GC且AD=GC，

2

即四邊形AOCG是平行四邊形，所以。C//AG,

因為AGo平面。CE,所以AG//平面。CE.

又因為AGGF=G,所以平面AFG〃平面。CE.

【點睛】本題主要考查證明線面平行，以及補全面面平行的條件，熟記線面平行的判定定理，以及面面平

行的判定定理即可，屬于常考題型.

19.已知函數/（尤）=4。：osxcoslx~^~~

(1)求/(九)的單調遞增區間;

7T6

(2)若as0,—,且〃a)=一,求cos2a.

I2v75

【答案】(1)\k7r--,k7r-^\(keZ)；(2)獨上士

L1212」、)10

【解析】

【分析】(1)根據兩角和的余弦公式、二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式化簡得出

/(%)=2cos+,再根據余正弦型函數的圖象和性質，利用整體代入法即可求出/(%)的單調遞增

區間;

(2)根據題意，由得出cos[2a+￡]=|,由于ae0,1TTTTTT

得出生<2。+上再由同

662

角三角函數的平方關系求出sin12a+W)=g,所以cos2a=85口2。+彳)—胃，最后根據兩角和與

差的余弦公式，即可求出結果.

【詳解】解：(1)7(x)=4cosxcos-G

=2^/3COS2x-2sinxcosx-6=V§(l+cos2x)-sin2x—G

JI

令2女》—"<2九H■—<lk7i,解得:

6

/jrjr

所以“x)的單調遞增區間為k兀-五,k兀-記(左eZ)；

TT6

(2)由于ae0,—,且〃1)=—,

L2j'，5

而/(a)=2cos12a+—,所以cos12tz+—,

._.-TC-廣.TC-TC7TC.TC-TCTC

因為t0<。<一，所以一02aH——<——,則一《2。+—《一，

2666662

所以sin[2a+]=4

5

則cosla=cos2a+-----=cos\2a+—cos——i-sin2a+-sin—

I66I6j6I6j6

36413百+4

—x----+—x—

525210

20.已知銳角ABC的內角A,所對的邊分別4c,且a=3/=J7.若p=(。,一〃)，

q=(sin23,sinA),且p_Lq.

(1)求角B和邊C.

uumiuun21011

(2)若點。滿足求..ACD的面積.

33

【答案】(1)―,c=2；(2)

32

【解析】

【分析】(1)由向量垂直得數量積為0,再由正弦定理化邊為角，可求得B角，然后由余弦定理求得c,

注意取舍.

(2)由向量的線性運算求得。在3c上位置，利用A3C的面積得出結論.

【詳解】(1)由;_Lq,BP(6z,-Z?)?(sin2B.sinA)=asin2B-Z?sinA=0,由正弦定理，

2sinAsinBcosB-sinBsinA=0,又sinAw。，sin5w。，

1(7t\7t

/.cosB=—,又3￡0,—,B——.

2I2)3

由加=4+。2—2accosB，代入a=3方=V7得°2—3c+2=0，，c=l或2,

又c=l時，a2>b2+c2,不合題意，舍;

c=2時,a2<b2+c2符合題意，所以c=2.

uum1uun71011

(2)AD=-AB+-AC,

33

uunuumuun1uun71011皿2101uun2nLl11

，BD=AD-AB=-AB+-AC-AB=-(AC-AB)=-BCf

二。在3c上，且為靠近。的三等分點,

3x2x30,

^/XABC

2222

…°AACD_3_3X2_2

【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量垂直的數量積表示，解

題關鍵是由正弦定理化邊為角.在解三角形中已知兩邊和一邊對角求第三邊時也可以應用余弦定理列式求

解，同樣需要判斷三角形解的情況.

21.如圖，四面體A3CD中，。是3。的中點，ZXA即和△3CD均為等邊三角形，AB=2,AC=46.

（2）求二面角A—3C—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵好

5

【解析】

【分析】（1）連接OC,證得在JL0C中，由AO?+