第二章§2.7指數與指數函數1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.通過實例，了解指數函數的實際意義，會畫指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用.課標要求內容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子

叫做

，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.(3)＝

.當n為奇數時，

＝

，x根式aa2.分數指數冪正數的正分數指數冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).正數的負分數指數冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分數指數冪等于

,0的負分數指數冪沒有意義.03.指數冪的運算性質aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

(a>0，b>0，r，s∈R).4.指數函數及其性質(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是

.ar＋sarsarbrR(2)指數函數的圖象與性質

a>1

0<a<1圖象

定義域____值域__________R(0，＋∞)

a>10<a<1性質過定點

，即x＝0時，y＝1當x>0時，

；當x<0時，_______當x<0時，

；當x>0時，_______

函數____函數(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增減1.指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)指數函數y＝ax與y＝a－x(a>0，且a≠1)的圖象關于y軸對稱.(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(

)×××√2.已知函數y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數函數，則a＋b等于A.不確定

B.0C.1D.2√由函數y＝a·2x是指數函數，得a＝1，由y＝2x＋b是指數函數，得b＝0，所以a＋b＝1.3.已知關于x的不等式

≥3－2x，則該不等式的解集為A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]√不等式

≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函數，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集為[－4，＋∞).返回＝－4＋1＋0.5×16＝5.5第二部分探究核心題型例1計算：題型一指數冪的運算原式＝原式＝＝6×3＝18.(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統一為整數的分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.跟蹤訓練1

(多選)下列計算正確的是B.D.已知x2＋x－2＝2，則x＋x－1＝2√√對于B，所以B正確；對于D，因為(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D錯誤.例2

(1)(多選)已知實數a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關系式為A.a＝b

B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b題型二指數函數的圖象及應用√√√由題意，在同一平面直角坐標系內分別畫出函數y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當a＝b＝0時，3a＝6b＝1，故選項A正確；作出直線y＝k，當k>1時，若3a＝6b＝k，則0<b<a，故選項B正確；作出直線y＝m，當0<m<1時，若3a＝6b＝m，則a<b<0，故選項C正確；當0<a<b時，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b＝6b，故選項D錯誤.(2)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是_______.(0,2)在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當0<b<2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點.∴實數b的取值范圍是(0,2).對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.跟蹤訓練2

(多選)已知函數f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的圖象如圖所示，則A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<1√√觀察圖象得，函數f(x)＝ax－b是減函數，因此0<a<1，設圖象與y軸交點的縱坐標為y0，則0<y0<1，當x＝0時，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1，所以0<a<1,0<b<1.題型三指數函數的性質及應用例3

(2024·海口模擬)已知a＝1.30.6，

，則A.c<b<a

B.a<b<cC.c<a<b

D.b<c<a√命題點1比較指數式的大小所以b<c<1，所以b<c<a.例4

(2023·青島模擬)已知y＝4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，則x的取值范圍可以是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]命題點2解簡單的指數方程或不等式√∵y＝4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.例5已知函數f(x)＝

(a為常數，且a≠0，a∈R)是奇函數.(1)求a的值；命題點3指數函數性質的綜合應用因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，(2)若?x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實數m的取值范圍.由(1)知a＝－1，令t＝2x，t∈[2,4]，(1)利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質分析判斷.跟蹤訓練3

(1)(多選)(2023·重慶模擬)已知函數f(x)＝

，則下列結論正確的是A.函數f(x)的定義域為RB.函數f(x)的值域為(－1,1)C.函數f(x)是奇函數D.函數f(x)為減函數√√√因為ex>0，所以ex＋1>0，所以函數f(x)的定義域為R，故A正確；所以函數f(x)的值域為(－1,1)，故B正確；所以函數f(x)是奇函數，故C正確；因為函數y＝ex＋1是增函數，所以y＝ex＋1>1，(2)(2023·銀川模擬)函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區間[1,2]上的最大值比最小值大

，則a的值為________.當a>1時，函數f(x)在區間[1,2]上單調遞增，返回當0<a<1時，函數f(x)在區間[1,2]上單調遞減，課時精練一、單項選擇題1.下列結論中，正確的是A.若a>0，則

＝a1234567891011121314√1234567891011121314對于A，根據分數指數冪的運算法則，可得當a＝1時，

＝a；當a≠1時，

≠a，故A錯誤；對于C，a＋a－1＝3，則

＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因為a>0，所以

＝

，故C錯誤；2.已知函數f(x)＝ax－a(a>1)，則函數f(x)的圖象不經過A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限1234567891011121314√1234567891011121314y＝ax(a>1)是增函數，經過點(0,1)，因為a>1，所以函數f(x)的圖象需由函數y＝ax(a>1)的圖象向下平移超過1個單位長度得到，所以函數f(x)＝ax－a的圖象如圖所示.故函數f(x)的圖象不經過第二象限.3.(2023·宜昌模擬)設a＝30.8，b＝90.5，c＝

，則A.a>b>c

B.c>b>aC.b>a>c

D.b>c>a√1234567891011121314因為a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝又函數y＝3x是增函數，且1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5，所以b>a>c.4.(2023·新高考全國Ⅰ)設函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√1234567891011121314函數y＝2x在R上是增函數，而函數f(x)＝2x(x－a)在區間(0,1)上單調遞減，1234567891011121314所以a的取值范圍是[2，＋∞).5.(2023·廣州模擬)已知正數a，b滿足

＝3，則3a＋2b的最小值為A.10B.12C.18D.241234567891011121314√1234567891011121314因為a，b為正數，所以3a＋2b的最小值為24.√12345678910111213146.(2023·濰坊模擬)“關于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數解”的一個必要不充分條件是1234567891011121314a(2|x|＋1)＝2|x|，因為2|x|＋1>0，因為2|x|≥20＝1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數解，1234567891011121314D為充要條件，不符合要求.二、多項選擇題7.(2023·重慶模擬)已知函數y＝

，則下列說法正確的是A.定義域為RB.值域為(0,2]C.在[－2，＋∞)上單調遞增D.在[－2，＋∞)上單調遞減1234567891011121314√√√由函數y＝

，可得函數的定義域為R，故A正確；設t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)，由指數函數的單調性，可得函數的值域為(0,2]，故B正確；t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上單調遞增，根據復合函數單調性法則，可得函數在[－2，＋∞)上單調遞減，故C錯誤，D正確.12345678910111213148.已知函數f(x)＝|2x－1|，實數a，b滿足f(a)＝f(b)(a<b)，則A.2a＋2b>2B.?a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<01234567891011121314√√1234567891011121314畫出函數f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示.由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯誤，C正確；所以2a＋b<1，則a＋b<0，故B錯誤，D正確.三、填空題1234567891011121314原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81.8110.已知函數f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，則實數a的取值范圍是________________________.1234567891011121314(－∞，－2)∪(1，＋∞)令g(x)＝2x－2－x，定義域為R，且g(－x)＝－g(x)，所以函數g(x)是奇函數，且是增函數，因為f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，則g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因為g(x)是奇函數，所以g(a2)>g(2－a)，又因為g(x)是增函數，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故實數a的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).1234567891011121314四、解答題11.如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141234567891011121314令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，因為x∈[－1,1]，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；當0<a<1時，因為x∈[－1,1]，1234567891011121314123456789101112131412.已知函數f(x)＝2x＋

.(1)若f(0)＝7，解關于x的方程f(x)＝5；1234567891011121314由題意得f(0)＝1＋a＝7，整理得(2x)2－5×2x＋6＝0，可得2x＝2或2x＝3，∴x＝1或x＝log23.1234567891011121314(2)討論f(x)的奇偶性，并說明理由；1234567891011121314由題意可知，函數f(x)的定義域為R，①當f(x)為奇函數時，f(－x)＝－f(x)，經檢驗，當a＝－1時，f(x)為奇函數；②當f(x)為偶函數時，f(－x)＝f(x)，1234567891011121314∴a＝1，經檢驗，當a＝1時，f(x)為偶函數；③當a≠±1時，f(x)為非奇非偶函數，綜上，當a＝－1時，f(x)為奇函數；當a＝1時，f(x)為偶函數；當a≠±1時，f(x)為非奇非偶函數.1234567891011121314(3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求實數a的取值范圍.1234567891011121314若f(