第10講帶電粒子的臨界和多解問題（復習篇）考點聚焦：復習要點+知識網(wǎng)絡，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升提升專練：真題感知+提升專練，全面突破知識點1：帶電粒子在有界磁場中的臨界問題帶電粒子在有邊界的磁場中運動時，由于邊界的限制往往會出現(xiàn)臨界問題．解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解．臨界點常用的結論：(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切．(2)當速度v一定時，弧長(或弦長)越長，對應圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長．(3)當速度v變化時，圓心角越大，運動時間越長．知識點2：帶電粒子在磁場中運動的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運動的往復性造成帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題．(1)找出多解的原因．(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．強化點一放縮圓模型適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法【典例1】一勻強磁場的磁感應強度大小為，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，，，一束粒子在紙面內(nèi)從a點垂直于射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為、電荷量為。則粒子在磁場中運動時間最長的粒子，其運動速率為（）A． B． C． D．【變式1-1】（多選）如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（重力不計）從AC邊的中點O垂直于AC邊射入該勻強磁場區(qū)域，若該三角形的兩直角邊長均為2l，則下列關于粒子運動的說法中正確的是（）A．若該粒子的入射速度為v＝，則粒子一定從AD邊射出磁場B．若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點入射的最大速度應為v＝C．若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點入射的最大速度應為v＝D．當該粒子以不同的速度入射時，在磁場中運動的最長時間為【變式1-2】（多選）如圖所示，以直角三角形AOC為邊界的有界勻強磁場區(qū)域，磁感應強度為B，∠A=60°，AO=a。在O點放置一個電子源，可以向OC方向發(fā)射速度不同的電子，電子的比荷為，發(fā)射速度為，對于電子進入磁場后的運動（不計電子的重力），下列說法正確的是（）A．電子不可能打到A點B．電子在磁場中運動時間越長，其軌跡線越長C．電子在磁場中運動時間越長，其軌跡線所對應的圓心角越大D．在AC邊界上有一半?yún)^(qū)域有電子射出強化點二“旋轉圓”模型適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運動半徑為R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示。軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉圓”法【典例2】如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則這兩種情況下帶電粒子從P點射入到距P點最遠處射出，其在磁場中所經(jīng)歷的時間比t1∶t2為（）A．1∶2 B．2∶1 C．∶1 D．1∶1【變式2-1】（多選）如圖所示，等腰直角三角形MON的直角邊MO長度為L，在MON區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。三個相同的帶電粒子從M點沿MO方向分別以速度v1、v2、v3射入磁場，在磁場中運動的時間分別為t1、t2、t3，且t1：t2：t3=3：3：2，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，下列說法正確的是（）A．粒子可能帶正電B．三個粒子速度的大小關系可能是v2<v1<v3C．粒子的比荷D．從ON邊射出的粒子與O點的距離為【變式2-2】（多選）如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域ABCD內(nèi)存在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外的勻強磁場。質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子（不計重力），分別以相同的速率v從A點沿不同方向垂直磁場方向射入磁場，當沿AC方向射入時，垂直于BC邊射出磁場。則粒子（）A．帶負電 B．運動速率C．在磁場中運動的最長時間 D．在磁場中運動的最長時間強化點三“平移圓”模型的應用適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同，但在同一直線的帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與入射點的連線平行界定方法將半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法【典例3】如圖所示，邊長為L的正方形有界勻強磁場ABCD，帶電粒子從A點沿AB方向射入磁場，恰好從C點飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從AD的中點P垂直AD射入磁場，從DC邊的M點飛出磁場（M點未畫出）。設粒子從A點運動到C點所用的時間為t1，由P點運動到M點所用時間為t2（帶電粒子重力不計），則t1：t2為（）A．2：1 B．4：3 C．3：2 D．【變式3-1】（多選）如圖所示，等腰直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，d為ac邊的中點，e為bc邊上的一點。現(xiàn)有一帶正電的粒子（不計重力）從a點以大小不同的速度沿ab方向射入磁場，分別從d、c、e點射出磁場，所用時間分別為t1、t2、t3，且t1：t3=3：2，若t3已知，則（）A．t2：t3=3：2 B．帶電粒子的比荷為C．從c點與從e點射出的速度大小之比為 D．從d點與從e點射出的速度大小之比為【變式3-2】（多選）紙面內(nèi)有一矩形邊界磁場ABCD，磁場方向垂直于紙面（方向未畫出），其中AD=BC=L，AB=CD=2L，一束β粒子以相同的速度v0從B點沿BA方向射入磁場，當磁場為B1時，β粒子從C射出磁場；當磁場為B2時，β粒子從D射出磁場，則（）A．磁場方向垂直于紙面向外 B．磁感應強度之比B1：B2=5：1C．速度偏轉角之比θ1：θ2=180：37 D．運動時間之比t1：t2=36：53強化點四“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型（1）帶電粒子的會聚如圖半徑與磁場圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出．(會聚)證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點．（2）帶電粒子的發(fā)散如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應強度為B，圓心為O，從P點有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行．(發(fā)散)證明：所有粒子運動軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行四邊形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．【典例4】如圖所示，在直角坐標系xoy中，x軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向外．許多質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以相同的速率v沿紙面內(nèi)，由x軸負方向與y軸正方向之間各個方向從原點O射入磁場區(qū)域．不計重力及粒子間的相互作用．下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mv/qB，正確的圖是（

）A． B．C． D．【變式4-1】如圖，矩形abcd的長ad＝0.6m，寬ab＝0.3m，o、e分別是ad、bc的中點，以o、e為圓心有兩個半徑均為R＝0.3m的四分之一圓弧，區(qū)域obedo內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強磁場(邊界上無磁場)，磁感應強度B＝0.25T。一群不計重力、質(zhì)量m＝3×10－9kg、電荷量q＝2×10－5C的帶正電粒子垂直于ad邊以v＝5×102m/s的速度射入磁場區(qū)域。下列判斷正確的是（

）A．所有粒子射出磁場時的速度方向都平行 B．所有粒子在磁場中運動的時間都相等C．從od邊射入的粒子，出射點都在e點 D．從ao邊射入的粒子，出射點都在b點【變式4-2】如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應強度為B的勻強磁場，MN是一豎直放置的感光板。從圓形磁場最高點P以速度v垂直磁場射入大量帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m。不考慮粒子間的相互作用力及粒子的重力，關于這些粒子的運動，以下說法正確的是（）A．射出磁場的粒子一定能垂直打在MN上B．粒子在磁場中通過的弧長越長，運動時間也越長C．射出磁場的粒子其出射方向的反向延長線不可能過圓心OD．當入射速度時，粒子射出磁場后一定垂直打在MN上強化點五帶電粒子電性不確定形成的多解如果粒子的電性不確定，帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度下，正、負粒子在磁場中運動軌跡不同，形成多解。如圖所示，帶電粒子以速度v垂直進入勻強磁場，若帶正電，其軌跡為a；若帶負電，其軌跡為b。【典例5】（多選）如圖所示，在邊長為L的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在MN邊界放一剛性擋板，粒子能碰到擋板則能夠以原速率彈回（水平速度不變，豎直方向速度等大反向）。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以某一速度從P點射入，恰好從Q點射出。下列說法正確的是（）A．帶電粒子一定帶負電荷B．帶電粒子的速度最小值為C．若帶電粒子與擋板碰撞，則受到擋板作用力的沖量可能為D．帶電粒子在磁場中運動時間可能為【變式5-1】（多選）平面OM和平面ON之間的夾角為35°，其橫截面（紙面）如圖所示，平面OM上方存在勻強磁場，大小為B，方向垂直于紙面向外。一質(zhì)量為m，電荷量絕對值為q、電性未知的帶電粒子從OM上的某點向左上方射入磁場，速度與OM成20°角，運動一會兒后從OM上另一點射出磁場。不計重力。則下列幾種情形可能出現(xiàn)的是（

）A．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是B．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是C．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是D．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是【變式5-2】（多選）如圖所示，直線OP把坐標系Oxy分成I區(qū)域和II區(qū)域，區(qū)域I中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域Ⅱ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)。邊界上的P點坐標為（4L，3L）。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點平行于y軸負方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過一段時間后，粒子恰好經(jīng)過原點O。忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.則下列說法中正確的是（）A．該粒子可能沿y軸負方向從O點射出B．該粒子射出時與x軸正方向夾角一定為90°C．該粒子在磁場中運動的最短時間D．該粒子運動的可能速度為強化點六磁場方向不確定形成的多解有些題目只知磁感應強度的大小，而不知其方向，此時必須要考慮磁感應強度方向不確定而形成的多解。如圖所示，帶正電粒子以速率v垂直進入勻強磁場，若B垂直紙面向里，其軌跡為a；若B垂直紙面向外，其軌跡為b。【典例6】如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個小孔O、O′正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力。求：（1）磁感應強度B0的大小；（2）要使正離子從O′垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度v0的可能值。【變式6-1】如圖所示，A點的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負離子，離子的重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向可能是（）A．，垂直紙面向里 B．，垂直紙面向里C．，垂直紙面向外 D．，垂直紙面向外【變式6-2】小明同學對正、負電子對撞產(chǎn)生了濃厚的興趣，他根據(jù)所學知識設計了正、負電子對撞裝置，通過電子在勻強磁場中的運動來實現(xiàn)正、負電子在不同位置能發(fā)生正碰。如圖所示，ab和cd是關于y軸對稱、間距為2l的直線磁場邊界，在兩邊界之間有兩個有界勻強磁場。兩磁場的邊界MN位于x軸上方且平行于x軸，MN與x軸的距離h可調(diào)。MN下方的磁場垂直紙面向里，上方的磁場垂直紙面向外，磁感應強度大小均為B。若將質(zhì)量為m、電荷量為e的正、負電子分別從ab和cd磁場邊界上沿x軸同時以相同速率進入強磁場，使正、負電子能在y軸的不同位置垂直于y軸方向發(fā)生正碰，則MN與x軸的距離h的大小可能是（不計粒子間的相互作用力和粒子重力）（）A． B．C． D．強化點七臨界狀態(tài)不唯一形成的多解帶電粒子在洛倫茲力作用下在有界磁場中運動時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去，也可能轉過180°從入射界面這邊反向飛出，從而形成多解，如圖所示。【典例7】如圖所示，正方形abcd區(qū)域（包含邊界）存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質(zhì)量為m、電量為q的正電粒子從a點沿著ab方向射入磁場中，邊長為l，不計粒子的重力，為使粒子從cd邊射出磁場區(qū)域，粒子的速度可能為（）A． B． C． D．【變式7-1】如圖所示，兩方向相反、磁感應強度大小均為B的勻強磁場被邊長為L的等邊三角形分開，三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向里，三角形頂點A處有一質(zhì)子源，能沿的角平分線發(fā)射速度不同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計），所有質(zhì)子均能通過C點，質(zhì)子比荷，則以下說法正確的是（

）

A．質(zhì)子的速度可能為 B．質(zhì)子的速度可能為C．質(zhì)子由A到C的時間可能為 D．質(zhì)子由A到C的時間可能為【變式7-2】如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，兩磁場的磁感應強度大小均為B．一粒子源位于上的點，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m、電荷量為的同種粒子（重力不計，粒子間的相互作用不計），所有粒子均能通過上的點，已知，則粒子的速度可能是（

）A． B． C． D．強化點八帶電粒子運動的往復性形成的多解帶電粒子在組合場或交變場中運動時，運動往往具有周期性，從而形成多解，如圖所示。【典例8】如圖所示，在坐標系的第Ⅰ象限內(nèi)充滿了沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限內(nèi)充滿了垂直紙面向外的勻強磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從y軸上的P點以垂直于y軸和電場的初速度進入勻強電場，一段時間后經(jīng)過x軸上的Q點進入勻強磁場，進入磁場時的速度方向與x軸正方向成角，已知，若粒子在磁場中運動一段時間后恰好能再回到電場，不計粒子重力，電場強度E和磁感應強度B大小均未知。求：（1）的距離；（2）磁感應強度B的大小：（3）粒子從離開P點到第三次經(jīng)過x軸所需的時間。【變式8-1】如圖所示，在，的區(qū)域中，存在沿y軸正方向、場強大小為E0的勻強電場，電場的周圍分布著垂直紙面向外的恒定勻強磁場。一個質(zhì)量為M，電量為q的帶正電粒子從OP中點A進入電場（不計粒子重力）。（1）若粒子初速度為零，粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后，垂直NP再次進入電場，求磁場的磁感應強度B的大小；（2）若改變電場強度大小，粒子以一定的初速度從A點沿y軸正方向第一次進入電場、離開電場后從P點第二次進入電場，在電場的作用下從Q點離開。求改變后電場強度的大小和粒子的初速度。【變式8-2】如圖所示，在的“OPNQ”正方形區(qū)域中，存在沿y軸負方向的勻強電場，電場的周圍分布著垂直紙面向外的勻強磁場。一個質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從OQ中點A沿x軸正方向，大小為的初速度進入電場，粒子依次經(jīng)過P點和O點，不計粒子重力。求：（1）電場的電場強度E的大小；（2）磁場的磁感應強度B的大小；（3）粒子從A點進入電場后返回A點所經(jīng)歷的時間t。1．一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，為半圓，ac，bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓半徑的。一束質(zhì)量為m、電荷量為的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（）A． B． C． D．2．如圖所示，直線MN是一勻強磁場的邊界，三個相同的帶正電粒子分別沿圖示1、2、3三個方向以相同的速率從O點射入磁場，沿箭頭1、3兩個方向的粒子分別經(jīng)t1、t3時間均從p點離開磁場，沿箭頭2方向(垂直于MN)的粒子經(jīng)t2時間從q點離開磁場，p是Oq的中點，則t1、t2、t3之比為A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：3：5 D．2：3：103．如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，.現(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為t(不計重力).則下列判斷中正確的是(

)A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為5t B．該勻強磁場的磁感應強度大小為C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為 D．粒子進入磁場時速度大小為4．空間存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面，線段是屏與紙面的交線，長度為，其左側有一粒子源S，可沿紙面內(nèi)各個方向不斷發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速率相同的粒子；，P為垂足，如圖所示，已知，若上所有的點都能被粒子從其右側直接打中，則粒子的速率至少為（）A． B． C． D．5．如圖所示，