19.2.3一次函數與方程、不等式1．掌握一次函數與方程、不等式的關系；(重點)2．綜合應用一次函數與方程、不等式的關系解決問題．(難點)一、情境導入1．下面三個方程有什么共同點和不同點？你能進行解釋嗎？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.能從函數的角度解這三個方程嗎？2．下面三個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數的角度對這三個不等式進行解釋嗎？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作探究探究點一：一次函數與一元一次方程一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)的圖象如圖所示，根據圖象信息可求得關于x的方程kx＋b＝0的解為()A．x＝－1B．x＝2C．x＝0D．x＝3解析：∵y＝kx＋b經過點(2，3)、(0，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,2k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,k＝1，))∴一次函數解析式為y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故選A.方法總結：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸的交點的橫坐標的值．探究點二：一次函數與一元一次不等式對照圖象，請回答下列問題：(1)當x取何值時，2x－5＝－x＋1?(2)當x取何值時，2x－5＞－x＋1?(3)當x取何值時，2x－5＜－x＋1?解析：(1)直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點橫坐標的值即為方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1上方的部分對應的x的取值范圍即為不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1下方的部分對應的x的取值范圍即為不等式2x－5＜－x＋1的解集．解：(1)由圖象可知，直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點的橫坐標是2，所以當x取2時，2x－5＝－x＋1；(2)由圖象可知，當x＞2時，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；(3)由圖象可知，當x＜2時，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.方法總結：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx＋b在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．探究點三：一次函數與二元一次方程(組)直角坐標系中有兩條直線：y＝eq\f(3,5)x＋eq\f(9,5)，y＝－eq\f(3,2)x＋6，它們的交點為P，第一條直線交x軸于點A，第二條直線交x軸于點B.(1)求A、B兩點的坐標；(2)用圖象法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5y－3x＝9，,3x＋2y＝12；))(3)求△PAB的面積．解析：(1)分別令y＝0，求出x的值即可得到點A、B的坐標；(2)建立平面直角坐標系，然后作出兩直線，交點坐標即為方程組的解；(3)求出AB的長，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．解：(1)令y＝0，則eq\f(3,5)x＋eq\f(9,5)＝0，解得x＝－3，所以點A的坐標為(－3，0)．令－eq\f(3,2)x＋6＝0，解得x＝4，所以點B的坐標為(4，0)；(2)如圖所示，方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3；))(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝eq\f(1,2)×7×3＝eq\f(21,2).方法總結：本題考查了二元一次方程(組)與一次函數的關系：兩個方程的解的對應點分別在兩條直線上，所以作出兩個二元一次方程所對應的兩條直線，求出交點，則交點的坐標同時滿足兩個方程，即為方程組的解．探究點四：運用一次函數與方程、不等式解決實際問題某銷售公司推銷一種產品，設x(單位：件)是推銷產品的數量，y(單位：元)是付給推銷員的月報酬．公司付給推銷員的月報酬的兩種方案如圖所示，推銷員可以任選一種與公司簽訂合同，看圖解答下列問題：(1)求每種付酬方案y關于x的函數表達式；(2)當選擇方案一所得報酬高于選擇方案二所得報酬時，求x的取值范圍．解析：(1)由圖已知兩點，可根據待定系數法列方程組，求出函數關系式；(2)列出方程得出兩直線的相交點的坐標，即可得選擇方案一所得報酬高于選擇方案二所得報酬時x的取值范圍．解：(1)設方案一的解析式為y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案一y關于x的解析式為y＝40x；設方案二的解析式為y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝600，,40a＋b＝1400，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝20，,b＝600，))∴方案二y關于x的解析式為y＝20x＋600；(2)根據兩直線相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故兩直線交點的橫坐標為30.當x＞30時，選擇方案一所得報酬高于選擇方案二所得報酬．方法總結：解決此類識圖題，同學們要注意分析其中的“關鍵點”，還要善于分析各圖象的變化趨勢．三、板書設計1．一次函數與一元一次方程的關系2．一次函數與一元一次不等式的關系3．用圖象法求二元一次方程組的解4．應用一次函數與方程、不等式解決實際問題在教學的過程中，學生是教學的主體，所以發揮學生的主動性相當的重要．本節課是在一次函數的基礎上教學的，是對學生學習的又一次綜合與擴展．課堂教學充分體現了新課標的教學理念：教師為主導、學生為主體，把課堂還給學生．17．1勾股定理第1課時勾股定理1．經歷探索及驗證勾股定理的過程，體會數形結合的思想；(重點)2．掌握勾股定理，并運用它解決簡單的計算題；(重點)3．了解利用拼圖驗證勾股定理的方法．(難點)一、情境導入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態優美的樹，這就是著名的畢達哥拉斯樹，它由若干個圖形組成，而每個圖形的基本元素是三個正方形和一個直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結構奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點一：勾股定理【類型一】直接運用勾股定理如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的長；(2)S△ABC；(3)CD的長．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根據勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據面積公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12cm；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)cm.方法總結：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后根據面積相等得出一個方程，再解這個方程即可．【類型二】分類討論思想在勾股定理中的應用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC的周長．解析：本題應分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論．解：此題應分兩種情況說明：(1)當△ABC為銳角三角形時，如圖①所示．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周長為15＋13＋14＝42；(2)當△ABC為鈍角三角形時，如圖②所示．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長為15＋13＋4＝32.∴當△ABC為銳角三角形時，△ABC的周長為42；當△ABC為鈍角三角形時，△ABC的周長為32.方法總結：解題時要考慮全面，對于存在的可能情況，可作出相應的圖形，判斷是否符合題意．【類型三】勾股定理的證明探索與研究：方法1：如圖：對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點A旋轉90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據圖示寫出證明勾股定理的過程；方法2：如圖：該圖形是由任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據圖示再寫出一種證明勾股定理的方法嗎？解析：方法1：根據四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進行解答；方法2：根據△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點E順時針旋轉90°，再向下平移得到．∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法總結：證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理證明勾股定理．探究點二：勾股定理與圖形的面積如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2.則最大的正方形E的面積是________．解析：根據勾股定理的幾何意義，可得正方形A、B的面積和為S1，正方形C、D的面積和為S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案為10.方法總結：能夠發現正方形A、B、C、D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據勾股定理最終能夠證明正方形A、B、C、D的面積和即是最大正方形的面積．三、板書