第頁|共頁2015年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）數學（理科）一、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.1、設全集．若集合，，則．【答案】【解析】因為，所以【考點定位】集合運算2、若復數滿足，其中為虛數單位，則．【答案】【解析】設，則【考點定位】復數相等，共軛復數3、若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則．【答案】【解析】由題意得：【考點定位】線性方程組的增廣矩陣4、若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則．【答案】【解析】【考點定位】正三棱柱的體積5、拋物線（）上的動點到焦點的距離的最小值為，則．【答案】【考點定位】拋物線定義6、若圓錐的側面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為．【答案】【解析】由題意得：母線與軸的夾角為【考點定位】圓錐軸截面7、方程的解為．【答案】【考點定位】解指對數不等式8、在報名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數為（結果用數值表示）．【答案】【解析】由題意得，去掉選5名女教師情況即可：【考點定位】排列組合9、已知點和的橫坐標相同，的縱坐標是的縱坐標的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為．【答案】【考點定位】雙曲線漸近線10、設為，的反函數，則的最大值為．【答案】【解析】由題意得：在上單調遞增，值域為，所以在上單調遞增，因此在上單調遞增，其最大值為【考點定位】反函數性質11、在的展開式中，項的系數為（結果用數值表示）．【答案】【考點定位】二項展開式12、賭博有陷阱．某種賭博每局的規則是：賭客先在標記有，，，，的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的倍作為其獎金（單位：元）．若隨機變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則（元）．【答案】13、已知函數．若存在，，，滿足，且（，），則的最小值為．【答案】【考點定位】三角函數性質14、在銳角三角形中，，為邊上的點，與的面積分別為和．過作于，于，則．【答案】【考點定位】向量數量積，解三角形二、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.15、設，，則“、中至少有一個數是虛數”是“是虛數”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【答案】B【考點定位】復數概念，充要關系16、已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即點的縱坐標為【考點定位】復數幾何意義17、記方程=1\*GB3①：，方程=2\*GB3②：，方程=3\*GB3③：，其中，，是正實數．當，，成等比數列時，下列選項中，能推出方程=3\*GB3③無實根的是（）A．方程=1\*GB3①有實根，且=2\*GB3②有實根B．方程=1\*GB3①有實根，且=2\*GB3②無實根C．方程=1\*GB3①無實根，且=2\*GB3②有實根D．方程=1\*GB3①無實根，且=2\*GB3②無實根【答案】B【解析】當方程=1\*GB3①有實根，且=2\*GB3②無實根時，，從而即方程=3\*GB3③：無實根，選B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出=3\*GB3③有實根【考點定位】不等式性質18、設是直線（）與圓在第一象限的交點，則極限（）A．B．C．D．【答案】A【考點定位】極限三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19、（本題滿分12分）如圖，在長方體中，，，、分別是、的中點．證明、、、四點共面，并求直線與平面所成的角的大小.【答案】【考點定位】空間向量求線面角20、（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分如圖，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.現甲、乙兩警員同時從地出發勻速前往地，經過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時，乙的路線是，速度為千米/小時.乙到達地后原地等待.設時乙到達地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機的有效通話距離是千米.當時，求的表達式，并判斷在上得最大值是否超過？說明理由.【答案】（1），（2），不超過.因為在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超過.【考點定位】余弦定理21、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明；（2）設與的斜率之積為，求面積的值.【答案】（1）詳見解析（2）22、（本題滿分16分）本題共有3個小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數列與滿足，.（1）若，且，求數列的通項公式；（2）設的第項是最大項，即（），求證：數列的第項是最大項；（3）設，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.【答案】（1）（2）詳見解析（3）當時，，符合上式.所以.因為，所以，.=1\*GB3①當時，由指數函數的單調性知，不存在最大、最小值；=2\*GB3②當時，的最大值為，最小值為，而；=3\*GB3③當時，由指數函數的單調性知，的最大值，最小值，由及，得.綜上，的取值范圍是.【考點定位】等差數列，數列單調性23、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.對于定義域為的函數，若存在正常數，使得是以為周期的函數，則稱為余弦周期函數，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數，其