高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三上學期第一次質量檢測數學試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由解得或，所以；由，得，即，解得或，所以，所以故選：D2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復數滿足，可得.故選：B.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由兩邊平方得，化簡得，所以.故選：D4.在二項式的展開式中，常數項為（）A.180 B.270 C.360 D.540【答案】A【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A5.已知函數為奇函數，則實數的值為（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】的定義域是，由于是奇函數，所以，即，解得，當時，，，符合題意，所以的值為.故選：B6.若為隨機事件，且，則（）A.若為互斥事件，則B.若為互斥事件，C.若為相互獨立事件，D.若，則【答案】D【解析】A選項，若為互斥事件，則，A選項錯誤.B選項，若為互斥事件，，B選項錯誤.C選項，若為相互獨立事件，，所以C選項錯誤.D選項，，即，解得，所以D選項正確.故選：D7.已知雙曲線在雙曲線上，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去并化簡得，，，整理得①，則不同時為.，，則，則，依題意，即，則恒成立，即恒成立，由①得，則，所以恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A8.已知定義在上的函數，若，則取得最小值時的值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，令，所以在1,+∞上單調遞增，所以在1,+∞上單調遞增，由于，所以，，所以，設，，令解得，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以當時，取得最小值，也即取得最小值.故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，定義域均為，則下列說法正確的是（）A.函數與有相同的最小正周期B.函數與的圖象有相同的對稱軸C.的圖象可以由函數的圖象向右平移個單位得到D.函數的圖象與的圖象關于直線對稱【答案】ACD【解析】，和的最小正周期都是，所以A選項正確.由解得，所以的對稱軸是；由解得，所以的對稱軸是，所以B選項錯誤.向右平移個單位得到，所以C選項正確.，所以函數的圖象與的圖象關于直線對稱，D選項正確.故選：ACD10.已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（）A.的最大值為5B.的最大值為C.直線與圓相切時，D.圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項錯誤.如圖所示，當直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，且，B選項正確.直線，即，過定點，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項正確.圓心到直線的距離，當時，，當時，，所以D選項錯誤.故選：BC11.已知函數滿足對任意x∈R，都有，且為奇函數，，下列說法正確的是（）A.函數的一個周期是8B.函數為偶函數CD.【答案】ACD【解析】由于為奇函數，圖象關于原點對稱，所以圖象關于點對稱，由于，所以的圖象關于直線對稱.所以，所以是周期為的周期函數，A選項正確.對于B選項，由上述分析可知，，所以B選項錯誤.依題意，，則，，，，，所以，根據周期性可知，所以C選項正確.由上述分析可知，所以，，，依此類推，可得：，所以D選項正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列的前項和為，且有，則__________.【答案】12【解析】依題意，，令，得；令，；令，.故答案為：13.已知，則__________.【答案】【解析】，所以，由于，所以，所以.故答案為：14.已知四棱錐中，底面為正方形，，則__________，該四棱錐的高為__________.【答案】或或【解析】如圖所示，連接，因為四邊形為正方形且，可得，設，在中，可得，即，整理得，解得或，即或，因為，可得，過點作平面，垂直為，由，可得點為的外心，設外接圓的半徑為，且，設點到底面的距離為，當時，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為；當時，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為，綜上可得：四棱錐的高為或.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為等邊三角形，且平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值.解：（1）取中點，連接，因為平面平面，平面平面，平面，在等邊中，，所以平面，由題設，所以四棱錐的體積為.（2）取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，則，，設n1=x1,令，得，取為平面的法向量，則由圖可知，二面角的大小為鈍角，故二面角的余弦值為.16.2024年6月25日14時07分，嫦娥六號返回器準確著陸于內蒙古自治區四子王旗預定區域，工作正常，標志著探月工程嫦娥六號任務取得圓滿成功，實現了世界首次月球背面采樣返回.某學校為了了解學生對探月工程的關注情況，隨機從該校學生中抽取了一個容量為90的樣本進行調查，調查結果如下表：關注不關注合計男生5560女生合計75（1）完成上述列聯表，依據該統計數據，能否有的把握認為該校學生對探月工程的關注與性別有關？（2）為了激發同學們對探月工程的關注，該校舉辦了一次探月知識闖關比賽，比賽有兩個答題方案可供選擇：方案一：回答4個問題，至少答對3個問題才能晉級；方案二：在4個問題中隨機選擇2個問題作答，都答對才能晉級.已知振華同學答對這4個問題的概率分別為，振華同學回答這4個問題正確與否相互獨立，則振華選擇哪種方案晉級的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）列聯表如下：關注不關注合計男生55560女生201030合計751590，能有的把握認為該校學生對探月工程的關注與性別有關.（2）記這4個問題為，記振華答對的事件分別記為，分別記按方案一?二晉級的概率為，則，，因為，振華選擇方案一晉級的可能性更大.17.已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.（1）直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；（2）求證：直線過定點.（1）解：由題意，可得，所以橢圓，且設，則，即，可得，所以為定值.（2）證明：解法一：設，則，可得，設直線，，聯立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因為，則，解得，所以直線過定點解法二：設，則，直線，可知與橢圓必相交，聯立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時，，則，令，；當的斜率不存在時，則，解得；綜上所述：直線過定點．18.已知函數，且定義域為.（1）求函數的單調區間；（2）若有2個零點，求實數的取值范圍；（3）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1），，①時，f'x<0恒成立，所以在上遞減；②時，恒成立，所以在上遞增；③時，令得，單調遞減，單調遞增，綜上：時，在上單調遞減，時，在上遞增，時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）因為不是單調函數，由（1）知，，且在上單調遞減，在上單調遞增，要使得有2個零點，則必有，所以，，又當時，，先證：，令，令，令在0,2上單調遞增，在上單調遞減，所以，，所以成立，所以，，即：成立，取則有，且，所以時，有2個零點.綜上：.（3）令，則恒成立，且，，①時，，當時，，當時，，時，恒成立，所以，Fx在上遞增，所以，，符合題意.②時，，與題意不符，舍去.③時，時，，由得，，所以，存在，使，且可使，Fx單調遞減，x∈0,x0綜上：19.若數列滿足如下兩個條件：①和恰有一個成立；②.就稱數列為“中項隨機變動數列”.已知數列為“中項隨機變動數列”，（1）若，求的可能取值；（2）已知的解集為，求證：成等比數列；（3）若數列前3項均為正項，且的解集為，設的最大值為，求的最大值.解：（1）因為，所以或，所以或5，當時，符合題意，當時，且，不符合題意，所以.（2）因為，其余項均為正項，所以或，若時，對于，因為且，故舍去，所以，即，所以，因，所以，所以，，又，所以，所以成等比數列.（3）由題意，其余項為正項，不妨設，則，又或，所以或，又，可得，所以，，時，，設這個因式中恰有個因式的值為，有個因式的值為1，所以，，所以，因為，且不可能，故，同理，，類似的，，當，設等式右側有恰有個因式的值為，有個因式的值為1，則，當時等式也成立，所以，，其中，，同理，當且僅當時取等.綜上：的最大值為.遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三上學期第一次質量檢測數學試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由解得或，所以；由，得，即，解得或，所以，所以故選：D2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復數滿足，可得.故選：B.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由兩邊平方得，化簡得，所以.故選：D4.在二項式的展開式中，常數項為（）A.180 B.270 C.360 D.540【答案】A【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A5.已知函數為奇函數，則實數的值為（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】的定義域是，由于是奇函數，所以，即，解得，當時，，，符合題意，所以的值為.故選：B6.若為隨機事件，且，則（）A.若為互斥事件，則B.若為互斥事件，C.若為相互獨立事件，D.若，則【答案】D【解析】A選項，若為互斥事件，則，A選項錯誤.B選項，若為互斥事件，，B選項錯誤.C選項，若為相互獨立事件，，所以C選項錯誤.D選項，，即，解得，所以D選項正確.故選：D7.已知雙曲線在雙曲線上，且，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去并化簡得，，，整理得①，則不同時為.，，則，則，依題意，即，則恒成立，即恒成立，由①得，則，所以恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A8.已知定義在上的函數，若，則取得最小值時的值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，令，所以在1,+∞上單調遞增，所以在1,+∞上單調遞增，由于，所以，，所以，設，，令解得，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以當時，取得最小值，也即取得最小值.故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，定義域均為，則下列說法正確的是（）A.函數與有相同的最小正周期B.函數與的圖象有相同的對稱軸C.的圖象可以由函數的圖象向右平移個單位得到D.函數的圖象與的圖象關于直線對稱【答案】ACD【解析】，和的最小正周期都是，所以A選項正確.由解得，所以的對稱軸是；由解得，所以的對稱軸是，所以B選項錯誤.向右平移個單位得到，所以C選項正確.，所以函數的圖象與的圖象關于直線對稱，D選項正確.故選：ACD10.已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（）A.的最大值為5B.的最大值為C.直線與圓相切時，D.圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項錯誤.如圖所示，當直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，且，B選項正確.直線，即，過定點，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項正確.圓心到直線的距離，當時，，當時，，所以D選項錯誤.故選：BC11.已知函數滿足對任意x∈R，都有，且為奇函數，，下列說法正確的是（）A.函數的一個周期是8B.函數為偶函數CD.【答案】ACD【解析】由于為奇函數，圖象關于原點對稱，所以圖象關于點對稱，由于，所以的圖象關于直線對稱.所以，所以是周期為的周期函數，A選項正確.對于B選項，由上述分析可知，，所以B選項錯誤.依題意，，則，，，，，所以，根據周期性可知，所以C選項正確.由上述分析可知，所以，，，依此類推，可得：，所以D選項正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列的前項和為，且有，則__________.【答案】12【解析】依題意，，令，得；令，；令，.故答案為：13.已知，則__________.【答案】【解析】，所以，由于，所以，所以.故答案為：14.已知四棱錐中，底面為正方形，，則__________，該四棱錐的高為__________.【答案】或或【解析】如圖所示，連接，因為四邊形為正方形且，可得，設，在中，可得，即，整理得，解得或，即或，因為，可得，過點作平面，垂直為，由，可得點為的外心，設外接圓的半徑為，且，設點到底面的距離為，當時，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為；當時，可得，所以，所以，且，所以，由，即，解得，即四棱錐的高為，綜上可得：四棱錐的高為或.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為等邊三角形，且平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值.解：（1）取中點，連接，因為平面平面，平面平面，平面，在等邊中，，所以平面，由題設，所以四棱錐的體積為.（2）取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，則，，設n1=x1,令，得，取為平面的法向量，則由圖可知，二面角的大小為鈍角，故二面角的余弦值為.16.2024年6月25日14時07分，嫦娥六號返回器準確著陸于內蒙古自治區四子王旗預定區域，工作正常，標志著探月工程嫦娥六號任務取得圓滿成功，實現了世界首次月球背面采樣返回.某學校為了了解學生對探月工程的關注情況，隨機從該校學生中抽取了一個容量為90的樣本進行調查，調查結果如下表：關注不關注合計男生5560女生合計75（1）完成上述列聯表，依據該統計數據，能否有的把握認為該校學生對探月工程的關注與性別有關？（2）為了激發同學們對探月工程的關注，該校舉辦了一次探月知識闖關比賽，比賽有兩個答題方案可供選擇：方案一：回答4個問題，至少答對3個問題才能晉級；方案二：在4個問題中隨機選擇2個問題作答，都答對才能晉級.已知振華同學答對這4個問題的概率分別為，振華同學回答這4個問題正確與否相互獨立，則振華選擇哪種方案晉級的可能性更大？附：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）列聯表如下：關注不關注合計男生55560女生201030合計751590，能有的把握認為該校學生對探月工程的關注與性別有關.（2）記這4個問題為，記振華答對的事件分別記為，分別記按方案一?二晉級的概率為，則，，因為，振華選擇方案一晉級的可能性更大.17.已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.（1）直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；（2）求證：直線過定點.（1）解：由題意，可得，所以橢圓，且設，則，即，可得，所以為定值.（2）證明：解法一：設，則，可得，設直線，，聯立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因為，則，解得，所以直線過定點解法二：設，則，直線，可知與橢圓必相交，聯立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時，，則，令，；當的斜率不存在時，則，解得；