第頁|共頁2008年全國統一高考數學試卷（文科）（全國卷Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）若sinα＜0且tanα＞0，則α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【考點】GC：三角函數值的符號．【分析】由正弦和正切的符號確定角的象限，當正弦值小于零時，角在第三四象限，當正切值大于零，角在第一三象限，要同時滿足這兩個條件，角的位置是第三象限，實際上我們解的是不等式組．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故選：C．【點評】記住角在各象限的三角函數符號是解題的關鍵，可用口訣幫助記憶：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它們在上面所述的象限為正2．（5分）設集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，則M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【考點】1E：交集及其運算．【分析】由題意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根據交集的定義和運算法則進行計算．【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故選：B．【點評】此題主要考查集合和交集的定義及其運算法則，是一道比較基礎的題．3．（5分）原點到直線x+2y﹣5=0的距離為（）A．1 B． C．2 D． 【考點】IT：點到直線的距離公式．【分析】用點到直線的距離公式直接求解．【解答】解析：．故選：D．【點評】點到直線的距離公式是高考考點，是同學學習的重點，本題是基礎題．4．（5分）函數f（x）=﹣x的圖象關于（）A．y軸對稱 B．直線y=﹣x對稱 C．坐標原點對稱 D．直線y=x對稱 【考點】3M：奇偶函數圖象的對稱性．【分析】根據函數f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函數，所以f（x）的圖象關于原點對稱故選：C．【點評】本題主要考查函數奇偶性的性質，是高考必考題型．5．（5分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，則（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考點】4M：對數值大小的比較．【分析】根據函數的單調性，求a的范圍，用比較法，比較a、b和a、c的大小．【解答】解：因為a=lnx在（0，+∞）上單調遞增，故當x∈（e﹣1，1）時，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，從而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，從而a＜c．綜上所述，b＜a＜c．故選：C．【點評】對數值的大小，一般要用對數的性質，比較法，以及0或1的應用，本題是基礎題．6．（5分）設變量x，y滿足約束條件：，則z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【考點】7C：簡單線性規劃．【專題】11：計算題．【分析】我們先畫出滿足約束條件：的平面區域，求出平面區域的各角點，然后將角點坐標代入目標函數，比較后，即可得到目標函數z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根據題意，畫出可行域與目標函數線如圖所示，由圖可知目標函數在點（﹣2，2）取最小值﹣8故選：D．【點評】用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．7．（5分）設曲線y=ax2在點（1，a）處的切線與直線2x﹣y﹣6=0平行，則a=（）A．1 B． C． D．﹣1 【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】利用曲線在切點處的導數為斜率求曲線的切線斜率；利用直線平行它們的斜率相等列方程求解．【解答】解：y'=2ax，于是切線的斜率k=y'|x=1=2a，∵切線與直線2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故選：A．【點評】本題考查導數的幾何意義：曲線在切點處的導數值是切線的斜率．8．（5分）正四棱錐的側棱長為，側棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為（）A．3 B．6 C．9 D．18 【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】11：計算題．【分析】先求正四棱錐的高，再求正四棱錐的底面邊長，然后求其體積．【解答】解：高，又因底面正方形的對角線等于，∴底面積為，∴體積故選：B．【點評】本題考查直線與平面所成的角，棱錐的體積，注意在底面積的計算時，要注意多思則少算．9．（5分）的展開式中x的系數是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【考點】DA：二項式定理．【分析】先利用平方差公式化簡代數式，再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為1求得展開式中x的系數．【解答】解：=（1﹣x）4（1﹣x）4的展開式的通項為Tr+1=C4r（﹣x）r=（﹣1）rC4rxr令r=1得展開式中x的系數為﹣4故選：A．【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定想問題的工具．10．（5分）函數f（x）=sinx﹣cosx的最大值為（）A．1 B． C． D．2 【考點】H4：正弦函數的定義域和值域；HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計算題．【分析】根據兩角和與差的正弦公式進行化簡，即可得到答案．【解答】解：，所以最大值是故選：B．【點評】本題主要考查兩角和與差的正弦公式和正弦函數的最值問題．三角函數中化為一個角的三角函數問題是三角函數在高考中的熱點問題．11．（5分）設△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為（）A． B． C． D． 【考點】KC：雙曲線的性質．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】根據題設條件可知2c=|AB|，所以，由雙曲線的定義能夠求出2a，從而導出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意2c=|AB|，所以，由雙曲線的定義，有，∴故選：B．【點評】本題考查雙曲線的有關性質和雙曲線定義的應用．12．（5分）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓，若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（）A．1 B． C． D．2 【考點】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離．【分析】求解本題，可以從三個圓心上找關系，構建矩形利用對角線相等即可求解出答案．【解答】解：設兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點為E，則OO1EO2為矩形，于是對角線O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故選：C．【點評】本題考查球的有關概念，兩平面垂直的性質，是基礎題．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）設向量，若向量與向量共線，則λ=2．【考點】96：平行向量（共線）．【分析】用向量共線的充要條件：它們的坐標交叉相乘相等列方程解．【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b與向量c=（﹣4，﹣7）共線，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案為2【點評】考查兩向量共線的充要條件．14．（5分）從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有420種（用數字作答）【考點】D5：組合及組合數公式．【專題】11：計算題；32：分類討論．【分析】由題意分類：①男同學選1人，女同學中選2人，確定選法；②男同學選2人，女同學中選1人，確定選法；然后求和即可．【解答】解：由題意共有兩類不同選法，①男同學選1人，女同學中選2人，不同選法C101C62=150；②男同學選2人，女同學中選1人，不同選法C102C61=270；共有：C101C62+C102C61=150+270=420故答案為：420【點評】本題考查組合及組合數公式，考查分類討論思想，是基礎題．15．（5分）已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，A，B是C上的兩個點，線段AB的中點為M（2，2），則△ABF的面積等于2．【考點】K8：拋物線的性質．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），則，=4x2，兩式相減可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中點坐標公式、斜率計算公式可得kAB，可得直線AB的方程為：y﹣2=x﹣2，化為y=x，與拋物線方程聯立可得A，B的坐標，利用弦長公式可得|AB|，再利用點到直線的距離公式可得點F到直線AB的距離d，利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：∵F是拋物線C：y2=4x的焦點，∴F（1，0）．設A（x1，y1），B（x2，y2），則，=4x2，兩式相減可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵線段AB的中點為M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=kAB，4kAB=4，解得kAB=1，∴直線AB的方程為：y﹣2=x﹣2，化為y=x，聯立，解得，，∴|AB|==4．點F到直線AB的距離d=，∴S△ABF===2，故答案為：2．【點評】本題主要考查了直線與拋物線相交問題弦長問題、“點差法”、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．16．（5分）平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件①三組對面分別平行的四棱柱為平行六面體；充要條件②平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；．（寫出你認為正確的兩個充要條件）【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；L2：棱柱的結構特征．【專題】16：壓軸題；21：閱讀型．【分析】本題考查的知識點是充要條件的定義及棱柱的結構特征及類比推理，由平行六面體與平行四邊形的定義相似，故我們可以類比平行四邊形的性質，類比推斷平行六面體的性質．【解答】解：類比平行四邊形的性質：兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，則我們類比得到：三組對面分別平行的四棱柱為平行六面體．類比平行四邊形的性質：兩條對角線互相平分，則我們類比得到：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；故答案為：三組對面分別平行的四棱柱為平行六面體；平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；【點評】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）設BC=5，求△ABC的面積．【考點】GG：同角三角函數間的基本關系；GP：兩角和與差的三角函數．【專題】11：計算題．【分析】（Ⅰ）先利用同角三角函數的基本關系求得sinA和sinB的值，進而根據sinC=sin（A+B）利用正弦的兩角和公式求得答案．（Ⅱ）先利用正弦定理求得AC，進而利用三角形面積公式求得三角形的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A+B+C=180°，sinC=sin（180﹣（A+B））=sin（A+B）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以△ABC的面積S=BC?AC?sinC=×5××=．【點評】本題主要考查了同角三角函數的基本關系的應用和正弦的兩角和公式的應用．考查了學生對三角函數基礎知識的理解和靈活運用．18．（12分）等差數列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比數列，求數列{an}前20項的和S20．【考點】85：等差數列的前n項和．【專題】54：等差數列與等比數列．【分析】先設數列{an}的公差為d，根據a3，a6，a10成等比數列可知a3a10=a62，把d和a4代入求得d的值．再根據a4求得a1，最后把d和a1代入S20即可得到答案．【解答】解：設數列{an}的公差為d，則a3=a4﹣d=10﹣d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．由a3，a6，a10成等比數列得a3a10=a62，即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）2，整理得10d2﹣10d=0，解得d=0或d=1．當d=0時，S20=20a4=200．當d=1時，a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7，于是=20×7+190=330．【點評】本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．屬基礎題．19．（12分）甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發子彈．根據以往資料知，甲擊中8環，9環，10環的概率分別為0.6，0.3，0.1，乙擊中8環，9環，10環的概率分別為0.4，0.4，0.2．設甲、乙的射擊相互獨立．（Ⅰ）求在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率；（Ⅱ）求在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】11：計算題．【分析】（Ⅰ）甲、乙的射擊相互獨立，在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數包括三種情況，用事件分別表示為A=A1?B1+A2?B1+A2?B2，且這三種情況是互斥的，根據互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到結果．（Ⅱ）由題意知在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數表示三輪中恰有兩輪或三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數，這兩種情況是互斥的，根據互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到結果．【解答】解：記A1，A2分別表示甲擊中9環，10環，B1，B2分別表示乙擊中8環，9環，A表示在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，B表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中的環數，C1，C2分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數．（Ⅰ）甲、乙的射擊相互獨立在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數包括三種情況，用事件分別表示為A=A1?B1+A2?B1+A2?B2，且這三種情況是互斥的，根據互斥事件和相互獨立事件的概率公式得到∴P（A）=P（A1?B1+A2?B1+A2?B2）=P（A1?B1）+P（A2?B1）+P（A2?B2）=P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B1）+P（A2）?P（B2）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（Ⅱ）由題意知在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數表示三輪中恰有兩輪或三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數，這兩種情況是互斥的，即B=C1+C2，∵P（C1）=C32[P（A）]2[1﹣P（A）]=3×0.22×（1﹣0.2）=0.096，P（C2）=[P（A）]3=0.23=0.008，∴P（B）=P（C1+C2）=P（C1）+P（C2）=0.096+0.008=0.104．【點評】考查運用概率知識解決實際問題的能力，包括應用互斥事件和相互獨立事件的概率，相互獨立事件是指兩事件發生的概率互不影響，這是可以作為一個解答題的題目，是一個典型的概率題．20．（12分）如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點E在CC1上且C1E=3EC．（Ⅰ）證明：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的大小．【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】14：證明題；15：綜合題；35：轉化思想．【分析】法一：（Ⅰ）要證A1C⊥平面BED，只需證明A1C與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直；（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足為H，連接A1H，說明∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B的大小．法二：建立空間直角坐標系，（Ⅰ）求出，證明A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）求出平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的數量積可求二面角A1﹣DE﹣B的大小．【解答】解：解法一：依題設知AB=2，CE=1．（Ⅰ）連接AC交BD于點F，則BD⊥AC．由三垂線定理知，BD⊥A1C．（3分）在平面A1CA內，連接EF交A1C于點G，由于，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE與∠FCA1互余．于是A1C⊥EF．A1C與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直，所以A1C⊥平面BED．（6分）（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足為H，連接A1H．由三垂線定理知A1H⊥DE，故∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角．（8分），，．，．又，．．所以二面角A1﹣DE﹣B的大小為．（（12分））解法二：以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系D﹣xyz．依題設，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．，．（3分）（Ⅰ）因為，，故A1C⊥BD，A1C⊥DE．又DB∩DE=D，所以A1C⊥平面DBE．（6分）（Ⅱ）設向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，則，．故2y+z=0，2x+4z=0．令y=1，則z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9分）等于二面角A1﹣DE﹣B的平面角，所以二面角A1﹣DE﹣B的大小為．（12分）【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．21．（12分）設a∈R，函數f（x）=ax3﹣3x2．（Ⅰ）若x=2是函數y=f（x）的極值點，求a的值；（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．【考點】6C：函數在某點取得極值的條件；6D：利用導數研究函數的極值；6E：利用導數研究函數的最值．【專題】16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）導函數在x=2處為零求a，是必要不充分條件故要注意檢驗（Ⅱ）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范圍也是必要不充分條件注意檢驗【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．因為x=2是函數y=f（x）的極值點，所以f'（2）=0，即6（2a﹣2）=0，因此a=1．經驗證，當a=1時，x=2是函數y=f（x）的極值點．（Ⅱ）由題設，g（x）=ax3﹣3x2+3ax2﹣6x=ax2（x+3）﹣3x（x+2）．當g（x）在區間[0，2]上的最大值為g（0）時，g（0）≥g（2），即0≥20a﹣24．故得．反之，當時，對任意x∈[0，2]，==≤0，而g（0）=0，故g（x）在區間[0，2]上的最大值為g（0）．綜上，a的取值范圍為．【點評】當函數連續且可導，極值點