2024-2025學年福建省福州市鼓樓區高二上學期11月期中數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設兩個向量和，其中為實數．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知三棱錐的三條側棱、、兩兩互相垂直，是的垂心.若，，則（

）A． B．2 C． D．3．設a，b，c為實數，記集合若{S}，{T}分別為集合S，T的元素個數，則下列結論不可能的是（

）A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=34．在棱長為的正方體中，為正方形的中心，，，分別為，，的中點，則四面體的體積為（）A． B． C． D．5．已知函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（

）A． B．C． D．6．已知函數滿足：，且當時，，若存在實數，使得關于的方程有且僅有四個不等實根，則實數的取值范圍是（

）．A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數滿足，當時，．若函數在區間上有10個零點，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，，且，點，分別為，的中點，在側面上運動，且滿足平面，以下命題錯誤的是（

）A．B．多面體的體積為定值C．側面上存在點，使得D．直線與直線所成的角可能為二、多選題（本大題共3小題）9．設函數，函數．則下列說法正確的是（

）A．當時，函數有3個零點B．當時，函數只有1個零點C．當時，函數有5個零點D．存在實數，使得函數沒有零點10．傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發現；如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為B．平面DEF截得球的截面面積最小值為C．四面體CDEF的體積的取值范圍為D．若為球面和圓柱側面的交線上一點，則的取值范圍為11．當時，不等式成立．若，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數滿足，且在區間上恰有兩個最值，則實數的取值范圍為．13．已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值.14．已知，，且，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．某中學長期堅持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會在校文化節期間舉行“數學素養能力測試”和“語文素養能力測試”兩項測試，以給學生課外興趣學習及輔導提供參考依據．成績分為，，，，五個等級（等級，，，，分別對應5分，4分，3分，2分，1分）．某班學生兩科的考試成績的數據統計如圖所示，其中“語文素養能力測試”科目的成績為的考生有3人．（1）求該班“數學素養能力測試”的科目平均分以及“數學素養能力測試”科目成績為的人數；（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機抽取三人，設三人的成績之和為，求．（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊參加學校內的“數學限時解題挑戰賽”．規則為：每隊首先派一名隊員參加挑戰賽，在限定的時間，若該生解決問題，即團隊挑戰成功，結束挑戰；若解決問題失敗，則派另外一名隊員上去挑戰，直至派完隊員為止．通過訓練，已知甲，乙，丙通過挑戰賽的概率分別是，，，問以怎樣的先后順序派出隊員，可使得派出隊員數目的均值達到最小？（只需寫出結果）16．在中，角所對的邊分別記作已知的周長為，且有．(1)求的面積；(2)設內心為，外心為O，，求外接圓半徑．注：在中，有，其中r和R分別為三角形內切圓與外接圓的半徑．17．已知函數的定義域為，實數和滿足，若在區間上不存在最小值，則稱在上具有性質.(1)若，判斷函數在下列區間上是否具有性質；①；②；(2)若對任意實數都成立，當時，，若在區間上具有性質，求實數的取值范圍；(3)對于滿足的任意實數和，在區間上都有性質，且對于任意，當時，均滿足.設，，試判斷數列的單調性，并說明理由.18．某加油站擬造如圖所示的鐵皮儲油罐（不計厚度，長度單位：米），其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，（為圓柱的高，為球的半徑，）.假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為千元，半球形部分每平方米建造費用為3千元.設該儲油罐的建造費用為千元.（1）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；（2）求該儲油罐的建造費用最小時的的值.19．如圖，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分別是AC，的中點．請你用幾何法解決下列問題：（1）證明：；（2）求直線EF與平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值

答案1．【正確答案】C【詳解】由，得，，即，，，所以故選:C2．【正確答案】B【分析】先證明兩個線面垂直“平面”和“平面”，進而得到，得到等式，并將其轉化為關系式，求解即可.【詳解】連接，并延長交于點，連接，連接，由于三條側棱、、兩兩互相垂直，易得平面，又因為平面，平面，所以，，因為是的垂心，所以，因為，，且平面，平面，，所以平面，且平面，所以，同理可得，因為，，且平面，平面，，所以平面，平面，所以，因為，所以，，即，所以，由平面，易得，所以，所以.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】∵當時至少有一個根，當時，還有一根，只要b≠﹣2a，就有2個根；當b=﹣2a，是一個根當時，只有一個根；當時，只有二個根或三個根；當a=b=c=0時{S}=1，{T}=0當a＞0，b=0，c＞0時，{S}=1且{T}=1當a=c=1，b=﹣2時，有{S}=2且{T}=2故選：D4．【正確答案】B【分析】連接交于點，連接，利用來求解.【詳解】如圖所示，連接交于點，連接，連接,由正方體的特點可知，，,則格據線面垂直的判定定理可知平面，則，,故.故選：B.計算空間多面積的體積時，注意合理切割，將原幾何體轉化為若干個小三棱錐的體積之和，解答時注意幾何體高的判斷與計算.5．【正確答案】A【分析】由已知奇偶性質得到的周期性與對稱性，借助已知條件與待定系數，再利用周期性得，由對稱性轉化為，代入解析式求解即得.【詳解】由為奇函數，得，故①，函數的圖象關于點對稱；由為偶函數，得②，則函數的圖象關于直線對稱；由①②得，則，故的周期為，所以，由，令得，即③，已知，由函數的圖象關于直線對稱，得，又函數的圖象關于點對稱，得所以，即，所以④，聯立③④解得故時，，由關于對稱，可得.故選：A.6．【正確答案】B【詳解】解：由知，函數關于直線對稱．當時，，函數的圖象與直線無公共點，不滿足條件；當時，函數的圖象與直線最多只有兩個公共點，不滿足條件；當時，如圖1所示，函數的圖象與直線可能有四個公共點，滿足條件；當時，如圖2所示，存在，使函數的圖象與直線有且僅有四個公共點，滿足條件；當時，如圖3所示，存在實數，使函數的圖象與直線有且僅有四個公共點，滿足條件．綜上可知，實數的取值范圍是，故選：B．7．【正確答案】A【分析】根據題意可知和都是周期為2的周期函數，因此可將的零點問題轉換為和的交點問題，畫出函數圖形，找到交點規律即可找出第10個零點坐標，而m的取值范圍就在第10個零點和第11個零點之間.【詳解】由得是一個周期為2的奇函數，當時，，因此，因為是奇函數，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點，即是與的交點，如圖：

為與在區間的交點圖形，因為與均為周期為2的周期函數，因此交點也呈周期出現，由圖可知的零點周期為，若在區間上有10個零點，則第10個零點坐標為，第11個零點坐標為，因此.故選：A8．【正確答案】D【分析】根據題意，結合線線垂直的判定定理、線面垂直的性質，以及異面直線夾角的求解方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：連接，作圖如下：因為為正方體，故可得//，又，與是同一條直線，故可得，則，故A正確；對B：根據題意，，且線段在上運動，且點到直線的距離不變，故△的面積為定值，又點到平面的距離也為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對C：取的中點分別為，連接，作圖如下：容易知在△中，，又，，面面，故面面，又G在側面上運動，且滿足平面，故的軌跡即為線段；又因為為正方體，故面面，故，則當與重合時，，故C正確；對D：因為，故直線與所成角即為直線與所成角，即，在中，，故，而當直線與直線BC所成的角為時，，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯誤.故選：D.9．【正確答案】ABC【詳解】函數的零點個數即方程gx=0當時，，則，，由，有，所以或，當時，，則，，由，有，所以，所以問題轉為，的交點個數，作出函數圖象可知：當，即時，有3個交點，即函數有4個零點，當，即時，有4個交點，函數有5個零點，當時，只有，函數只有1個零點，當或即或時，有2個交點，函數有3個零點，無論實數取何值，使得函數總有零點．故選：ABC．10．【正確答案】BCD【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則球表面積為，圓柱的表面積，所以球與圓柱的表面積之比為，故A錯誤；過作于，則由題可得，設到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，則，，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為，故B正確；由題可知四面體CDEF的體積等于，點到平面的距離，又，所以，故C正確；由題可知點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設在底面的射影為，則，設，則，，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】AD【詳解】當時，不等式，令，則在上單調遞增，因，則，A正確；因，則，B不正確；由知，，有，則，由選項A知，，即，C不正確；由得，，則，D正確.故選：AD12．【正確答案】【詳解】因為，所以，所以，，即，，所以．當時，．因為在區間上恰有兩個最值，且，所以，解得．故．13．【正確答案】【詳解】設外接圓的半徑為，,如圖，，，可得，同理可得，在兩別分別乘以得，整理得，，當且僅當，即等號成立,則的最大值為.故答案為.14．【正確答案】由，，利用均值不等式得，解得的取值范圍，進而求得的最大值.【詳解】由，，得，即又，當且僅當，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為.15．【正確答案】（1）2.575,4；（2）；（3）乙，甲，丙．【詳解】（1）由圖可知，數學素養能力測試為的頻率為0.1，故該班“數學素養能力測試”的科目平均分為，語文素養能力測試為的頻率為0.075，故而該班有人．“數學素養能力測試”科目成績為的人數（人）．（2）依題：的取值可為29，28，27，26，25，24．，，，，，，，．（3）乙，甲，丙．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）可知，即，解得．（2）可知內接圓的半徑．連接IB、OB，設，則．不妨設外接圓半徑為R，則．由角度關系，，因此代入有，整理：．右式由于，因此，解得．17．【正確答案】(1)①不具有；②具有(2)(3)單調遞增，證明見解析【詳解】（1），對稱軸為，當時，有最小值，不具有性質；當時，遞增，無最小值，具有性質.（2）由題知，當時，，則當，即時，，所以當時，，所以，那么，當時，無最小值，符合題意；當時，需滿足，即，解得；當時，無最小值，符合題意.綜上所述，.（3）由在區間上都有性質，則在，上，且，又，所以，即，對于，因，令，因，所以，所以，即，所以數列是單調遞增的.18．【正確答案】（1），（2）.【詳解】試題分析：（1）求實際問題函數解析式，關鍵正確理解題意，列出正確的等量關系，明確自變量取值范圍.儲油罐的建造費用等于圓柱形部分建造費用與半球形部分建造費用之和，由得：，（2）所研究函數是一個關于的一元二次函數，求其最值關鍵在于研究對稱軸與定義區間之間位置關系，，在上是增函數，所以當時，儲油罐的建造費用最小.試題解析：[解]：(1）3分（）6分(2)，8分，在上是增函數，12分所以當時，儲油罐的建造費用最小.14分考點：函數解析式，二次函數最值19．【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【詳解】證明：（1）連接，，是的中點，，又平面平面，平面，平面平面，平面，，，，，，平面，.（2）