突破1空間角、空間距離考點一異面直線所成的角例1如圖,已知點O是圓柱下底面圓的圓心,AA1為圓柱的一條母線,B為圓柱下底面圓周上一點,OA=1,∠AOB=,△AA1B為等腰直角三角形,求異面直線A1O與AB所成的角的余弦值.解

(方法一)如圖,過點B作BB1∥AA1交圓柱的上底面于點B1,連接A1B1,B1O,則由圓柱的性質易證四邊形A1B1BA為矩形,所以A1B1∥AB,所以∠B1A1O或其補角即異面直線A1O與AB所成的角.(方法二)以點O為坐標原點,OA所在直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.[對點訓練1](2024陜西西安模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥平面AA1C1C,D是AA1的中點,△ACD是邊長為2的等邊三角形.(1)求證:C1D⊥BD;(2)若BC=6,求異面直線BC1與B1D所成的角的余弦值.(1)證明

∵△ACD是邊長為1的等邊三角形,∴∠ADC=60°,AC=AD,∴∠DA1C1=120°.∵D是AA1的中點,∴AD=A1D=AC=A1C1,即△A1C1D是等腰三角形,∴∠A1DC1=30°,∴∠CDC1=90°,即CD⊥C1D.∵BC⊥平面AA1C1C,C1D?平面AA1C1C,∴BC⊥C1D.又BC∩CD=C,BC,CD?平面BCD,∴C1D⊥平面BCD.又BD?平面BCD,∴C1D⊥BD.(2)解

取AD中點E,連接CE.∵△ACD為等邊三角形,∴CE⊥AD.以點C為坐標原點,CE,CC1,CB所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.考點二直線與平面所成的角例2(2022全國乙,理18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成的角的正弦值.(1)證明

∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E為AC的中點,AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解

(方法一)如圖,連接EF,由(1)知AC⊥平面BED.∴EF⊥AC,∴當△AFC的面積最小時,EF最小.在△BDE中,若EF最小,則EF⊥BD.∵AB=CB=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴AC=2,BE=.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD為等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴DE2+BE2=BD2,∴BE⊥DE.由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,則以E為原點,EA,EB,ED所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,∴點A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),E(0,0,0),∴(方法二)由題設及(1)得AC=BC=AB=BD=2,DE=AC=1,所以BE=,所以DE2+BE2=DB2,所以DE⊥BE.連接EF.由(1)可得AC⊥EF,所以△AFC的面積為×AC×EF.當△AFC的面積最小時,EF取最小值,所以EF⊥BD,所以EF=.由(1)可得AC⊥BD.又EF∩AC=E,EF,AC?平面AFC,所以BD⊥平面AFC.又BD?平面ABD,所以平面ABD⊥平面AFC.因為AC⊥EF,AE<EF,所以∠AFC<90°.過點C作AF的垂線,垂足為K,則∠CFK是CF與平面ABD所成的角.[對點訓練2](2024湖南湘潭模擬)在三棱臺A1B1C1-ABC中,△ABC為等邊三角形,AB=2A1B1=2,AA1⊥平面ABC,M,N分別為AB,AC的中點.(1)求證:平面BCC1B1∥平面A1MN;(2)若A1B⊥AC1,設D為線段BC上的動點,求A1D與平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值.(1)證明

由題可知A1C1=CN,A1C1∥CN,所以四邊形A1C1CN為平行四邊形,所以CC1∥A1N.因為M,N分別為AB,AC的中點,所以BC∥MN.又CC1∩BC=C,CC1,BC?平面BCC1B1,MN∩A1N=N,MN,A1N?平面A1MN,所以平面BCC1B1∥平面A1MN.(2)解

連接BN,CN.因為AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面AA1C1C,AA1⊥AC.因為△ABC為等邊三角形,點N為AC的中點,所以BN⊥AC.又平面ABC∩平面AA1C1C=AC,BN?平面ABC,所以BN⊥平面AA1C1C.又AC1?平面AA1C1C,所以BN⊥AC1.又A1B⊥AC1,A1B∩BN=B,A1B,BN?平面BNA1,所以AC1⊥平面BNA1.又A1N?平面BNA1,所以AC1⊥A1N.又A1C1∥AN,A1C1=AN,AA1⊥AC,所以四邊形A1ANC1為正方形,所以AA1=1.以點A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,考點三平面與平面所成的角例3(2023新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(1)證明

如圖1,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點,∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.圖1(2)解

設BC=2,由已知可得DA=DB=DC=.DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC上的中線,∴DE=1.∵△ABD,△ACD為等邊三角形,∴AB=AC=.∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE兩兩垂直.圖2[對點訓練3]如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1內接于圓柱,AB=AA1=BC=2,平面A1BC⊥平面AA1B1B.(1)證明:AC為圓柱底面的直徑;(2)若M為A1C1中點,N為CC1中點,求平面A1BC與平面BMN的夾角的余弦值.(1)證明

連接AB1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,∴四邊形AA1B1B為正方形,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面AA1B1B,平面A1BC∩平面AA1B1B=A1B,AB1?平面AA1B1B,∴AB1⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,∴BC⊥AB1.∵AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴BC⊥AA1.又AB1∩AA1=A,AB1,AA1?平面AA1B1B,∴BC⊥平面AA1B1B.又AB?平面AA1B1B,∴AB⊥BC,∴AC為圓柱底面的直徑.(2)解

由題可知,B1B⊥平面ABC,AB⊥BC.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖空間直角坐標系,則考點四空間距離問題例4(2024廣東佛山二模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點D為上底面ABC上一點.(1)在上底面ABC上畫一條經過點D且與B1D垂直的直線l,應該如何畫線?請說明理由.(2)若BC=BB1=1,AB=2,∠A1B1C1=,E為A1B1的中點,求點B到平面AC1E的距離.解

(1)如圖,連接BD,在平面ABC上過點D作l⊥BD.因為ABC-A1B1C1為直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.又l?平面ABC,所以BB1⊥l.又l⊥BD,BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D,所以l⊥平面BB1D.又B1D?平面BB1D,所以l⊥B1D.[對點訓練4](2024江蘇南通二模)如圖,邊長為4的兩個正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分別為BC,CD的中點,點G在棱AD上,AG=2GD,直線AB與平面EFG相交于點H.(1)從下面兩個結論中選一個證明:①BD∥GH;②直線HE,GF,AC相交于一點;(2)求直線BD與平面EFG的距離.解

(1)如圖,選擇條件①,因為E,F分別為BC,CD的中點,所以EF∥BD.又BD?平面EFG,EF?平面EFG,所以BD∥平面EFG.又BD?平面ABD,平面ABD∩平面EFG=GH,所以BD∥GH.選擇條件②,在△ACD中,因為AG=2GD,F為CD中點,所以GF與AC不平行.設GF∩AC=K,則K∈AC,K∈GF.又AC?平面ABC,FG?平面EFG,所以K∈平面ABC,K∈平面EFG.又平面ABC∩平面EFG=HE,所以K∈HE,所以HE,GF,AC相交于一點.(2)若第(1)問中選①,由(1)知,BD∥平面EFG,則點B到平面EFG的距離即為BD與平面EFG的距離.若第(1)問中選②,因為E,F分別為BC,CD