專題突破練10等差數列、等比數列123456789101112主干知識達標練131415161718191.已知數列{an}滿足2an+1=an+an+2,其前n項和為Sn,若S9=18,則a5=(

)A.-2 B.0 C.2 D.4C12345678910111213141516171819A123456789101112131415161718193.已知等比數列{an}的前n項積為Tn,a1=16,公比q=,則Tn取最大值時n的值為(

)A.3 B.6 C.4或5 D.6或7C12345678910111213141516171819123456789101112131415161718194.已知{an}是各項均為正數的等差數列,其公差d≠0,若lna1,lna3,lna6也是等差數列,則其公差為(

)D123456789101112131415161718195.(2024山東濰坊一模)已知數列{an}滿足a1=0,a2=1.若數列{an+an+1}是公比為2的等比數列,則a2024=(

)C.21012-1 D.21011-1A解析

依題意,a1+a2=1,an+an+1=2n-1,當n≥2時,an-1+an=2n-2,則an+1-an-1=2n-2,所以a2

024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2

024-a2

022)=1+2+23+25+…+22

021123456789101112131415161718196.(多選題)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且滿足a5=-4,S5=-40,則(

)A.a10=6B.S10=-30C.當且僅當n=6時,Sn取最小值D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0AB12345678910111213141516171819令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,則當n=6或n=7時,Sn取最小值,C不正確;因為a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以a5+a6+a7+a8+a9+a10=a10=6≠0,D不正確.故選AB.123456789101112131415161718197.(多選題)一百零八塔始建于西夏時期,是中國現存最大且排列最整齊的塔群之一,塔群隨山勢鑿石分階而建,自上而下一共12層,第1層有1座塔,從第2層開始每層的塔數均不少于上一層的塔數,總計108座塔.已知包括第1層在內的其中十層的塔數可以構成等差數列{an},剩下的兩層的塔數分別與上一層的塔數相等,第1層與第2層的塔數不同,則下列結論正確的有(

)A.第3層的塔數為3B.第4層與第5層的塔數相等C.第6層的塔數為9D.等差數列{an}的公差為2ABD12345678910111213141516171819塔數依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,依題意剩下兩層的塔數為3和5,所以這12層塔的塔數分別為1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正確,C錯誤.故選ABD.123456789101112131415161718198.我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題:“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩二,七七數之剩二,問物幾何?”根據這一數學思想,所有被3除余2的自然數從小到大組成數列{an},所有被5除余2的自然數從小到大組成數列{bn},把{an}和{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn},則下列結論正確的是(

)A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26B12345678910111213141516171819解析

根據題意數列{an}是首項為2,公差為3的等差數列,則an=2+3(n-1)=3n-1,數列{bn}是首項為2,公差為5的等差數列,則bn=2+5(n-1)=5n-3,數列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn},故數列{cn}是首項為2,公差為15的等差數列,則cn=2+15(n-1)=15n-13.對于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A錯誤;對于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正確;對于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C錯誤;對于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,D錯誤.故選B.123456789101112131415161718199.(5分)設等比數列{an}的前n項和為Sn,寫出一個滿足下列條件的{an}的公比q=

.

①a1>0;②{an}是遞增數列;③S3<13a1.2(答案不唯一)解析

由等比數列的通項公式可得an=a1qn-1,則an-an-1=a1qn-2(q-1),因為a1>0,且{an}是遞增數列,所以q>1.因為S3<13a1,所以a1+a2+a3<13a1,即a1q2+a1q-12a1<0,因為a1>0,所以q2+q-12<0,解得-4<q<3.綜上,1<q<3.故答案可以為2(答案不唯一).1234567891011121314151617181910.(5分)已知{an}是等差數列,{bn}是等比數列,Sn是數列{an}的前n項和,S11=11,b5b7=3,則

=

.

-11234567891011121314151617181912345678910111213141516171819當n=1時,a1=2;當n≥2時,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,②①②兩式相減可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1,n≥2;a1=2也滿足上式,所以an=n+1,n∈N*.1234567891011121314151617181912.(5分)(2023北京,14)我國度量衡的發展有著悠久的歷史,戰國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環權”.已知9枚環權的質量(單位:銖)從小到大構成項數為9的數列{an},該數列的前3項成等差數列,后7項成等比數列,且a1=1,a5=12,a9=192,則a7=

;數列{an}所有項的和為

.

483841234567891011121314151617181912345678910111213141516171819關鍵能力提升練13.(多選題)(2024山東德州模擬)將n2個數排成n行n列的數陣,如圖所示,該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列,每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,記這n2個數的和為S,下面敘述正確的是(

)a11

a12

a13

…

a1na21

a22

a23

…

a2na31

a32

a33

…

a3n……an1

an2

an3

…

annA.m=2 B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1

D.S=n(n+2)(2n-1)ACD12345678910111213141516171819解析

由題意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,則3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正確;對于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B錯誤;對于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正確;1234567891011121314151617181914.若數列{an}滿足anan+1+an+1-an+1=0,a1=λ(λ≠0,且λ≠±1),記Tn=a1a2…an,則T2023=(

)C123456789101112131415161718191234567891011121314151617181915.(多選題)(2024山西呂梁三模)已知等差數列{an}的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,若S10<S8<S9,則下列說法正確的是(

)A.當n=8時,Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然數為n=18C.|a8+a9|>|a10+a11|BD12345678910111213141516171819由a9>0,a10<0,所以當n=9時,Sn最大,故A錯誤;由S10<S8,可得到a9+a10<0,所以由等差數列性質可得a8+a11<0,兩式相加,得a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C錯誤;123456789101112131415161718191234567891011121314151617181916.(5分)設Tn為數列{an}的前n項和,若(n∈N*)是非零常數,則稱該數列為“和等比數列”;若數列{cn}是首項為2,公差不為0的等差數列,且數列{cn}是“和等比數列”,則c2+c7+c12=

.

78123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.(5分)(2024江西南昌模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若對任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,則

的取值范圍為

.

解析

由題意知S8是等差數列{an}的前n項和中的最小值,則必有a1<0,公差d>0,若a8=0,此時S7=S8,S7,S8是等差數列{an}的前n項和中的最小值,123456789101112131415161718191234567891011121314151617181918.(5分)設數列{an},{bn}滿足an=2n,bn=3n-8,則它們的公共項由小到大排列后組成新數列{cn}.在ck和ck+1(k∈N*)中插入k個數構成一個新數列{en}:c1,1,c2,3,5,c3,7,9,11,c4,…,插入的所有數構成首項為1,公差為2的等差數列,則數列{en}的前20項和T20=

.

158912345678910111213141516171819解析

∵an=2n,∴數列{an}是以2為首項,2為公比的等比數列,∴a1=2,a2=4,a3=8,a4=16.∵bn=3n-8,∴b1=-5,b2=-2,b3=1,b4=4,顯然a1不是數列{bn}中的項.∵a2=4=b4,∴a2是數列{bn}中的第4項,設ak=2k是數列{bn}中的第m項,則2k=3m-8(k,m∈N*,k≥2).∵ak+1=