海淀區2021~2022學年第一學期期末練習高三數學參考答案2022.01一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它①②③三、解答題共6小題，共85分。（16）（本小題共14分）解：（Ⅰ）由,可得因為為三角形內角，所以.（Ⅱ）選擇條件②③.由（Ⅰ）知為銳角，又因為，所以，所以，所以.由正弦定理可得，所以，所以的面積為.說明：最后兩步也可以如下計算：由正弦定理可得，所以，所以的面積為.（17）（本小題14分）解：（Ⅰ）證法1：因為長方體中，平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥.證法2：因為長方體中，平面∥平面，平面，所以∥平面，因為平面，平面平面=，所以∥.（Ⅱ）因為，，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示：5分則，，，，，，平面的法向量為，設平面的法向量為，則，可得，令，則，，所以，所以.又因為二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.設點到平面的距離為，則.（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）法1：設甲在首輪比賽中正確完成的題數為，易知，所以.法2：.（Ⅱ）由題意得的取值范圍是．，，，所以的分布列為123所以．（Ⅲ）從正確完成實驗操作的題數的均值方面分析，兩人水平相當；因為，，所以，從正確完成實驗操作的題數的方差方面分析,乙的水平更穩定；因為，．所以.從至少正確完成2題的概率方面分析，乙通過的可能性更大.（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）因為點在橢圓：上，所以將點代入橢圓方程，可得，所以.所以橢圓的方程為.因為，所以橢圓的離心率為.（Ⅱ）由可得.恒成立，設，，則，.直線AE的方程為，令，得點M的縱坐標為，同理可得點N的縱坐標為，所以.因為的面積，所以，即，化簡得，解得或.所以的值為0或2.（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，所以且，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（Ⅱ）當，時,因為,所以在上單調遞增，所以在上的最小值為.（Ⅲ）取，以下證明恒成立.令，即證恒成立.（1）當時，有,，所以，所以在上單調遞減，所以在上恒成立.（2）當時，令.因為,，所以，所以在上單調遞增，所以在上恒成立.所以在上單調遞增，所以在上恒成立.綜上，恒成立，所以恒成立.（21）（本小題14分）解：（Ⅰ）B不是典型表，C是典型表；（Ⅱ）方法1.不可能等于17.以下用反證法進行證明.證明：假設，那么典型表中有19個0，在六行中至少有一行0的個數不少于4，不妨設此行為第一行，且不妨設.此時前四列中，每一列的其余位置中都至少有4個1，所以前四列中至少有16個1，所以與中至多有一個1，即與中至少有一個為0，不妨設，則第五列的其余位置中至少又有5個1，所以前五列中已經有不少于21個1了，與矛盾！所以假設不成立.所以不可能等于17.（Ⅱ）方法2.不可能等于17，以下證明.證明：因為當典型表中0的個數不超過18時，那么1的個數不少于18，所以；以下只需證明當典型表中0的個數大于18時，也有成立.當典型表中0的個數大于18時，在六行中至少有一行0的個數不少于4，不妨設此行為第一行.（1）若第一行0的個數為6，則，不合題意；（2）若第一行0的個數為5，不妨設，，此時前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的個數為4，不妨設，，此時前4列中，每一列的其余位置中都至少有4個是1，所以.綜上，.所以不可能等于17.（Ⅲ）方法1在水平方向的n行和豎直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的個數最少，不妨設第一行中的1最少，并設其個數為，其中.且不妨設第一行中前k個為1，后個為0.對于第一行中為1的這k列中，因為每一列都至少有k個1，所以共有個1；對于第一行中為0的列中，每一列中都至少有個1，所以.以下記，（1）當n為偶數時，則對任意的恒成立.而且可以取到.例如：當“且”和“且”時，，其它位置為0，此時.（2）當n為奇數時，則對任意的恒成立.而且可以取到.例如：當“且”和“且”時，，其它位置為0，此時.綜上，當n為偶數時，的最小值為；當n為奇數時，的最小值為.（Ⅲ）方法2（整體分析，算兩次）設典型表A的第i列有個0，（），A的第j列有個0，（），則典型表A中0的總個數為.由定義可得，所以，所以.又因為，，所以，所以，所以.（1）當n為偶數時，可以取到.例如：當“且”和“且”時，，其它位置為0，此時.（2）當n為奇數時，，而且可以取到.例如：當“且”和“且”時，，其它位置為0，此時.綜上，當n為偶數時，的最小值為；當n為奇數時，的最小值為.（Ⅲ）方法3在水平方向的n行和豎直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的的個數最少，不妨設第一行中的1最少，并設其個數為，其中.且不妨設第一行中前k個為1，后個為0.（1）當n為偶數時，若，則；若，對于第一行中為1的這k列中，因為每一列都至少有k個1，所以共有個1；對于第一行中為0的列中，每一列中都至少有個1，所以.而且可以取到.例如：當“且”和“且”時，，其它位置為0，此時.（2）當n為奇數時，若，則；