高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.已知集合，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式得或，記，因為AB，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.若=，則sin=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.已知定義在上的函數表示為：x0y102設，的值域為M，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為滿足，所以，由表中數據可知：的取值僅有三個值，所以.故選：B.5.已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可知：為奇函數，且、，對于A：，不符合；對于B：定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數，不符合；對于C：定義域為，不滿足，不符合.故選：D6.已知函數=，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為對任意，都有成立，所以為上的增函數，所以，解得，即.故選：C.7.數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設一個三角形的三邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現有一個三角形的周長為12，，則此三角形面積的最大值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，則，當且僅當時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為．故選：C.8.已知函數，若，且，設，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】設，函數如下圖所示：顯然有，所以直線與函數相交兩點記為，顯然，，即，，對稱軸為，當時，有最小值.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依題意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，則集合和均符合題意.故選：AD.10.下列選項中，滿足的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對A：由函數在上單調遞增，故，即，故A錯誤；對B：，，由，故、，則，故，故B正確；對C：由函數在定義域上單調遞減，故，即，故C錯誤；對D：由函數在定義域上單調遞增，故，即，故D正確.故選：BD.11.現代研究結果顯示，飲茶溫度最好不要超過60，一杯茶泡好后置于室內，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80，65，給出兩個茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內時間t（單位：分鐘）的函數模型：①；②.根據所給的數據，下列結論中正確的是（）（參考數據：）A.選擇函數模型① B.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待3分鐘C.選擇函數模型② D.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘【答案】AD【解析】選擇函數模型①，則當時，，當時，，符合要求，選擇函數模型②，則當時，，不符合要求，故選選擇函數模型①，即A正確，C錯誤；令，則有，即，即，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘，故B錯誤，D正確.故選：AD.12.已知函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點和點，且在區間上單調，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由圖象可知：，所以，因為的圖象過，所以，因為，所以或，因為在區間上單調，所以，所以，①當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，此時，顯然在附近單調遞增，這與圖象矛盾，故B錯誤；②當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，所以，當時，令，此時在上單調遞減，故A正確；因為，故C正確；因為，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分；其中第16題的第一個空2分，第二個空3分.13.已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為r4，面積為Slrπ×4＝2．故答案為：2．14.若，則____________.【答案】【解析】當時，，不符合要求，故，則，即，則.故答案為：.15.若用二分法求方程在初始區間內的近似解，則第二次取區間的中點___________.【答案】【解析】令，，，則，，故.故答案為：.16.我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱的充要條件是函數為奇函數.據此，對于函數，其圖象的對稱中心是_____________，且有___________.【答案】【解析】設的對稱中心為，則為奇函數，所以，即，化簡可得，所以，解得，所以圖象的對稱中心為；因為圖象的對稱中心為，所以，所以，所以，所以，所以原式.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算下列各式的值；（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且.（1）求的值；（2）若點的橫坐標為，求的值.解：（1）依題意，，所以.（2）因點的橫坐標為，而點在第一象限，則點，即有，于是得，，，，所以.19.設函數.（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）若函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，求函數在區間上的值域.解：（1），則，令，解得，即的最小正周期為，對稱中心為.（2）函數的圖象向左平移，即可得，則當時，，故，即，即函數在區間上的值域為.20.已知函數，（1）已知為單調遞增函數，請判斷的單調性，并用單調性定義證明；（2）若，求證：方程在區間上有且僅有一個實數解.解：（1）在上單調遞減，證明如下：的定義域為，任取，且，所以，因為為單調遞增函數且，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以上單調遞減.（2）令，因為為單調遞增函數，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，又因為，，由零點的存在性定理可知：在上有且僅有一個零點，即方程在區間上有且僅有一個實數解.21.已知.（1）探究函數是否具有奇偶性，并說明理由；（2）設，，若，，使得，求實數的取值范圍.解：（1）為偶函數，理由如下：由恒成立可得的定義域為，，故為偶函數.（2）若，，使得，即在，時，有，，由函數、、都隨的增大而增大，故在上單調遞增，故，，則當時，有，此時有，即，即符合要求，當時，，此時有，即或，即符合要求，當時，，此時有，即，即，綜上所述，.22.某養殖公司有一處矩形養殖池ABCD，如圖所示，AB=50米，BC=米.為了便于冬天給養殖池內的水加溫，該公司計劃在養殖池內鋪設三條加溫帶OE，EF和OF，考慮到整體規劃，要求O是邊AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=.（1）設∠BOE=，試將△OEF的周長表示為的函數，并求出此函數的定義域；（2）在（1）的條件下，為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶OE和OF上安裝智能照明裝置，經核算，在兩條加溫帶增加智能照明裝置的費用均為每米400元，問：如何設計才能使安裝智能照明裝置的費用最低？說明理由，并求出最低費用.解：（1）因為，所以，當在點時，此時最小，又，所以，所以，當在點時，此時最大，又，所以，由上可知，；因為，所以，又因為，且，所以，所以，所以，定義域為.（2）據題意可知：要使照明裝置的費用最低，只需最小即可，由（1）可知：且，設，且，所以，所以，又因為，且，且，，所以，令，因為均在上單調遞增，所以上單調遞增，所以，即，所以的最小值為，此時，所以，所以，綜上所述，當米時，此時照明裝置的費用最低，且最低費用為元.廣東省惠州市2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.已知集合，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式得或，記，因為AB，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.若=，則sin=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.4.已知定義在上的函數表示為：x0y102設，的值域為M，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為滿足，所以，由表中數據可知：的取值僅有三個值，所以.故選：B.5.已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可知：為奇函數，且、，對于A：，不符合；對于B：定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數，不符合；對于C：定義域為，不滿足，不符合.故選：D6.已知函數=，滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為對任意，都有成立，所以為上的增函數，所以，解得，即.故選：C.7.數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設一個三角形的三邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現有一個三角形的周長為12，，則此三角形面積的最大值為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，則，當且僅當時，等號成立，此時三角形的面積有最大值，且最大值為．故選：C.8.已知函數，若，且，設，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】設，函數如下圖所示：顯然有，所以直線與函數相交兩點記為，顯然，，即，，對稱軸為，當時，有最小值.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若“，”為真命題，“，”為假命題，則集合可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】依題意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，則集合和均符合題意.故選：AD.10.下列選項中，滿足的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對A：由函數在上單調遞增，故，即，故A錯誤；對B：，，由，故、，則，故，故B正確；對C：由函數在定義域上單調遞減，故，即，故C錯誤；對D：由函數在定義域上單調遞增，故，即，故D正確.故選：BD.11.現代研究結果顯示，飲茶溫度最好不要超過60，一杯茶泡好后置于室內，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80，65，給出兩個茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內時間t（單位：分鐘）的函數模型：①；②.根據所給的數據，下列結論中正確的是（）（參考數據：）A.選擇函數模型① B.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待3分鐘C.選擇函數模型② D.該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘【答案】AD【解析】選擇函數模型①，則當時，，當時，，符合要求，選擇函數模型②，則當時，，不符合要求，故選選擇函數模型①，即A正確，C錯誤；令，則有，即，即，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘，故B錯誤，D正確.故選：AD.12.已知函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點和點，且在區間上單調，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由圖象可知：，所以，因為的圖象過，所以，因為，所以或，因為在區間上單調，所以，所以，①當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，此時，顯然在附近單調遞增，這與圖象矛盾，故B錯誤；②當時，，因為圖象過，所以，所以，所以，，又，所以，所以，當時，令，此時在上單調遞減，故A正確；因為，故C正確；因為，，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分；其中第16題的第一個空2分，第二個空3分.13.已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的半徑為r4，面積為Slrπ×4＝2．故答案為：2．14.若，則____________.【答案】【解析】當時，，不符合要求，故，則，即，則.故答案為：.15.若用二分法求方程在初始區間內的近似解，則第二次取區間的中點___________.【答案】【解析】令，，，則，，故.故答案為：.16.我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱的充要條件是函數為奇函數.據此，對于函數，其圖象的對稱中心是_____________，且有___________.【答案】【解析】設的對稱中心為，則為奇函數，所以，即，化簡可得，所以，解得，所以圖象的對稱中心為；因為圖象的對稱中心為，所以，所以，所以，所以，所以原式.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算下列各式的值；（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，且.（1）求的值；（2）若點的橫坐標為，求的值.解：（1）依題意，，所以.（2）因點的橫坐標為，而點在第一象限，則點，即有，于是得，，，，所以.19.設函數.（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）若函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，求函數在區間上的值域.解：（1），則，令，解得，即的最小正周期為，對稱中心為.（2）函數的圖象向左平移，即可得，則當時，，故，即，即函數在區間上的值域為.20.已知函數，（1）已知為單調遞增函數，請判斷的單調性，并用單調性定義證明；（2）若，求證：方程在區間上有且僅有一個實數解.解：（1）在上單調遞減，證明如下：的定義域為，任取，且，所以，因為為單調遞增函數且，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以上單調遞減.（2）令，因為為單調遞增函數，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，又因為，，由零點的存在性