專題6.3角的認識（3大知識點9類題型）（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點1】角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．【要點提示】（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：【要點提示】用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角；（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．【知識點2】方位角在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．【要點提示】（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點．【知識點3】鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點與題型目錄【題型1】角的概念理解.......................................................3【題型2】角的表示方法.......................................................4【題型3】角的分類...........................................................6【題型4】畫特殊角...........................................................7【題型5】鐘面角.............................................................8【題型6】方向角的表示.......................................................9【題型7】與方向角有關的計算題..............................................12【題型8】直通中考..........................................................14【題型9】拓展延伸..........................................................16第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】角的概念理解【例1】（2425七年級上·全國·期末）有下列關于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角；②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查了角的定義，根據角的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關鍵．解：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯誤，不符合題意；角的大小與開口大小有關，角的邊是射線，沒有長短之分，故②錯誤，不符合題意；角的邊是射線，不能延長，故③錯誤，不符合題意；角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，④正確，符合題意，∴只有④一個選項正確，故選：A．【變式1】（2324七年級上·河南鄭州·開學考試）【角的特征】用一個放大鏡看一個的角，看到的角會．（填“變大”“變小”或“不變”）【答案】不變【分析】本題考查角的定義，掌握放大鏡放大角，角的度數不變是解題的關鍵．解：用一個放大鏡看一個的角，看到的角不變，故答案為：不變．【變式2】（2425七年級上·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（）A．由兩條具有公共端點的射線組成的圖形就是角B．角是由始邊繞著端點旋轉形成的圖形C．角是由兩條直線相交形成的圖形D．角的兩邊是射線【答案】C【分析】本題考查了角的定義，由兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角，也可以看作由一條射線繞其端點旋轉而成的圖形，根據定義逐一判斷，即可解題．解：A、由兩條具有公共端點的射線組成的圖形就是角，正確，不符合題意；B、角是由始邊繞著端點旋轉形成的圖形，正確，不符合題意；C、角是由兩條直線相交形成的圖形，說法錯誤，兩條相交直線可以形成四個角，符合題意；D、角的兩邊是射線，正確，不符合題意；故選：C．【題型2】角的表示方法【例2】（2122六年級下·全國·單元測試）如圖：

(1)以點B為頂點的角有幾個？分別表示出來．(2)請分別指出以射線為邊的角．(3)以D為頂點，為一邊的角有幾個？分別寫出來．【答案】(1)，，，共3個(2)，(3)，，共2個【分析】（1）根據角的表示方法寫出答案；（2）根據角的定義和角的表示方法寫出答案；（3）角的表示方法寫出答案．解：（1）以點為頂點的角：，，，共3個；（2）以射線為邊的角：，；（3）以為頂點，為一邊的角有：，，共2個．【點睛】此題主要考查了角的概念，關鍵是掌握角的表示方法．【變式1】（2324七年級上·全國·課堂例題）如圖所示，回答下列問題：

(1)寫出能用一個字母表示的角：；(2)寫出以點B為頂點的角；(3)圖中共有個小于平角的角．【答案】【分析】本題考查的是角的表示方法．（1）確定以這個字母為頂點的角只有1個，從而可得答案；（2）根據角的定義分別確定以B為頂點的角即可；（3）分別確定以，，，為頂點的小于平角的角即可．解：（1）能用一個字母表示的角有：．故答案為：．（2）以為頂點的角有：．故答案為：．（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：，，，，，，，共個．故答案為：7．【變式2】（2425七年級上·河北邯鄲·期中）如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）A．與表示同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：D．表示的是【答案】B【分析】本題主要考查了角的概念，準確計算是解題的關鍵．直接利用角的概念以及角的表示方法，進而分別分析得出即可；解：和表示同一個角，正確，故A不符合題意；不可以用表示，故B錯誤；圖是共有三個角：，，，正確，故A不符合題意；表示的是，正確，故D不符合題意．故選B．【題型3】角的分類【例3】（2324七年級上·浙江杭州·期末）在綜合與實踐課上，將與兩個角的關系記為，探索n的大小與兩個角的類型之間的關系（）A．當時，若為銳角，則為銳角B．當時，若為鈍角，則為鈍角C．當時，若為銳角，則為銳角D．當時，若為銳角，則為鈍角【答案】A【分析】本題考查了角的倍分關系及銳角、鈍角定義，根據角的分類及倍分關系逐項判斷即可．解：A、當時，若為銳角，則為銳角，正確，故本選項符合題意；B、當時，若為鈍角，則為銳角，原說法錯誤，故本選項不符合題意；C、當時，若為銳角，則為銳角或鈍角，原說法錯誤，故本選項不符合題意；D、當時，若為銳角，則為鈍角或銳角，原說法錯誤，故本選項不符合題意；故選：A．【變式1】（2324七年級上·全國·課后作業）下列說法中，正確的有個①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；④平角等于；⑤周角等于．【答案】3【分析】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義，屬于基礎題.掌握銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義是解答本題的關鍵．實際解答時，要學會舉反例．解：①小于的角也可能是，不一定是銳角，原說法錯誤；②等于的角是直角，說法正確；③平角大于但不是鈍角，原說法錯誤；④平角等于，說法正確；⑤周角等于，說法正確，故正確的有3個，故答案為：3．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）下列說法中，正確的是（）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．直角周角 D．周角平角【答案】D【分析】本題考查了角的分類，熟練掌握直角、平角、周角的定義是解題的關鍵：直角：的角，即射線繞點旋轉，當終邊與始邊垂直時所成的角；平角：的角，即射線繞點旋轉，當終邊在始邊的反向延長線上時所成的角；周角：的角，即射線繞點旋轉，當終邊與始邊重合時所成的角．根據直角、平角、周角的定義逐項分析判斷即可．解：、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，該說法錯誤，故選項不符合題意；、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，該說法錯誤，故選項不符合題意；、直角，周角，直角周角，該說法錯誤，故選項不符合題意；、周角，平角，周角平角，該說法正確，故選項符合題意；故選：．【題型4】畫特殊角【例4】（2122七年級上·遼寧盤錦·期末）借助一副三角尺畫出15°角和105°角．【答案】畫圖見解析【分析】由再利用三角板畫即可.解：如圖，畫出15°角和105°角如下：【點撥】本題考查的是角的和差運算，掌握“利用三角板畫特殊角的方法”是解本題的關鍵.【變式1】（2021七年級上·福建三明·階段練習）下列各度數的角，能借助一副三角尺畫出的是（）A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】C【分析】一副三角板，度數有：、、、，根據度數組合，可以得到答案．解：利用一副三角板可以畫出的角，是和角的組合故選：C．【點撥】本題考查特殊角的畫法，審題清晰是解題關鍵.【變式2】（2021七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）用一副三角板不能畫出的角是（

）．A．75° B．105° C．110° D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫；110°角用一副三角板不能畫出．解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角畫；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角畫；110°角用一副三角板不能畫出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角畫。故選：C．【點撥】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規律是解決此類題的最好方法，應讓學生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數都是15°的整數倍．【題型5】鐘面角【例5】（2223七年級下·山東青島·期中）時鐘指示為下午3時40分時，時針與分針所夾的角度為多少度？【答案】【分析】本題考查的是鐘表表盤與角度相關的特征．根據分針每分鐘轉，時針每分鐘轉得到40分鐘分針從數字12開始轉了，時針從數字3開始轉了，于是3時40分時，時針與分針所夾的角度等于．解：3時40分時，分針從數字12開始轉了，時針從數字3開始轉了，所以3時40分時，時針與分針所夾的角度．【變式1】（2024七年級上·甘肅蘭州·專題練習）某人下午6點多鐘外出買東西時，看鐘表上的時針和分針的夾角是，下午近7點回家時，發現時針與分針的夾角又是，則此人外出用了（

）A．30分鐘 B．40分鐘 C．50分鐘 D．60分鐘【答案】B【分析】本題考查了鐘表時針與分針的夾角，正確掌握鐘表時針與分針的夾角是解答本題的關鍵．根據鐘面角為時針轉過的角度與分針轉過的角度之差，結合題中外出前后鐘面角均為可設外出買東西的時間是分鐘；由鐘表的特點可知，此時時針走了度，分針走了度，而它們的差值即為鐘面角的2倍，進而列出關于的方程，求解即可.解：設此人外出用了分鐘，根據題意得：，解得：，此人外出用了40分鐘．故選：B．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）在我國古代，人們用“銅壺滴漏”的方法計時，把一晝夜分為十二時辰，對應于今天的二十四小時，又劃為九十六刻，一刻對應于今天的十五分鐘．已知寅時為凌晨三點到五點．則寅時二刻所對應鐘表時間的時針和分針之間所夾的角度為．【答案】/75度【分析】本題考查了鐘面角問題，讀懂題意，準確計算是正確解決本題的關鍵．用分針轉動的角度：減去時針與分針所成角度為，時針轉動的角度：，即即可求解．解：寅時二刻是指，∵時，時針與分針所成角度為，再過15分鐘，分針轉動的角度：，時針轉動的角度：，∴，故答案為：．【題型6】方向角的表示【例6】（2425六年級上·黑龍江綏化·期中）看圖回答問題．(1)根據淘淘從家去學校的路線圖填寫下表．方向路程時間陶陶家美食城6分美食城商場3分商場書店3分書店學校8分(2)淘淘從家到學校的平均速度是多少？【答案】(1)見詳解(2)55米/分鐘【分析】本題主要考查了方位角，有理數四則混合運算等知識，通過圖形獲得所需信息是解題關鍵．（1）根據方位角的定義和比例尺，逐一填寫即可；（2）根據“速度總路程總時間”進行求解即可．解：（1）解：根據淘淘從家去學校的路線圖填寫下表；方向路程時間陶陶家美食城東偏北300米6分美食城商場東偏南200米3分商場書店東偏北200米3分書店學校南偏東400米8分（2）（米/分鐘），答：淘淘從家到學校的平均速度是55米/分鐘．【變式1】（2324七年級上·湖北宜昌·期末）如圖，下面說法中，不正確的是（

）A．射線表示北偏東 B．射線表示西北方向C．射線表示西偏南 D．射線表示南偏東【答案】C【分析】本題考查了方位角，根據圖形逐項判斷即可得解，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．解：A、射線表示北偏東，故此選項正確，不符合題意；B、射線表示西北方向，故此選項正確，不符合題意；C、射線表示南偏西，故此選項錯誤，符合題意；D、射線表示南偏東，故此選項正確，不符合題意；故選：C．【變式2】（2425六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）（1）以醫院為觀測點，廣場的位置是（

）偏（

），距離醫院（

）米．（2）以超市為觀測點，車站的位置是（

）偏（

），距離超市（

）米．（3）小虹從學校沿圖中路線向廣場方向行進，每分步行50米，小橋從廣場沿圖中路線向學校方向行進，每分步行75米，他們同時出發，經過（

）分鐘在（

）相遇．【答案】（1）南、東，410；（2）北、東，220；（3）10，車站【分析】本題考查了方向角，“路程速度時間”．（1）根據圖中方向和角度，即可得出答案；（2）根據圖中方向和角度，即可得出答案；（3）先求出從學校到廣場的實際距離，再根據“路程速度時間”，即可求得他們相遇需要的時間，進而可求他們相遇的地點．解：（1）由圖可知，以醫院為觀測點，廣場的位置是南偏東，距離醫院410米．（2）由圖可知，以超市為觀測點，車站的位置是北偏東，距離超市220米．（3）（分鐘），（米），故小虹從學校沿圖中路線向廣場方向行進，每分步行50米，小橋從廣場沿圖中路線向學校方向行進，每分步行75米，他們同時出發，經過10分鐘在車站相遇．【題型7】與方向角有關的計算題【例7】（2223七年級上·江蘇宿遷·開學考試）（1）海洋館在游樂場（

）偏（

）（

）°方向（

）米處．（2）動物園在游樂場南偏西方向1200米處，動漫影院在游樂場北偏東方向800米處，在圖中表示它們的位置．【答案】（1）北、西、40、1600（2）見解析【分析】本題主要考查了方向角．熟練掌握方向角的定義，是解決問題的關鍵．（1）根據題意知，海洋館在游樂場北偏西方向的1600米處；（2）根據動物園在游樂場南偏西方向1200米處，動漫影院在游樂場北偏東方向800米處，畫圖．解：（1）∵，，∴海洋館在游樂場北偏西方向1600米處；故答案為：北、西、40、1600；（2）動物園在游樂場南偏西方向1200米處，動漫影院在游樂場北偏東方向800米處，在圖中表示它們的位置如圖所示：【點睛】本題考查了線段的和差問題，角平分線的性質和鐘面角，以及分類討論的思想．【變式1】（2223七年級上·云南昆明·期末）如圖，點B在點O的北偏東方向上，，則點C在點O的（）A．西偏北方向上 B．北偏西方向上C．西偏北方向上 D．北偏西方向上【答案】B【分析】本題考查了方向角的表示以及方向角的計算，用的度數減去，再結合圖形即可解答．解：．點C在點O的北偏西方向上．故選：B．【變式2】（2324七年級上·安徽合肥·期末）“東方－2022”演習實兵實彈演練于2022年9月6日拉開帷幕．某一時刻，在燈塔O處觀測到艦艇A位于北偏西方向，同時艦艇B位于南偏東方向，艦艇C在的平分線上，如圖，則艦艇C在燈塔O的方向．【答案】南偏西【分析】此題主要考查了方向角，角平分線的定義，關鍵是掌握方位角以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．如圖，，先求出，由艦艇C在的平分線上，得到，進而求出，即可得出結果．解：如圖，，，艦艇C在的平分線上，，，艦艇C在燈塔O的南偏西．第二部分【題型展示與方法點撥】【題型8】直通中考【例1】（2019·廣西梧州·中考真題）如圖，鐘表上10點整時，時針與分針所成的角是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據鐘面分成12個大格，每格的度數為30°即可解答．解：∵鐘面分成12個大格，每格的度數為30°，∴鐘表上10點整時，時針與分針所成的角是60°故選B．【點撥】考核知識點：鐘面角.了解鐘面特點是關鍵.【例2】（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏東56，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．【答案】90【分析】根據題意可得∠APC＝34，∠BPC＝56，然后進行計算即可解答．解：如圖：由題意得：∠APC＝34，∠BPC＝56，∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90，故答案為：90．【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．【題型9】拓展延伸【例1】（2324七年級上·江蘇淮安·階段練習）鐘面上的數學基本概念：鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖1，即為某一時刻的鐘面角，通常[簡單認識]時針和分針在繞點O一直沿著順時針方向旋轉，時針每小時轉動的角度是，分針每小時轉動一周，角度為．由此可知：（1）時針每分鐘轉動°，分針每分鐘轉動°：[初步研究]（2）已知某一時刻的鐘面角的度數為，在空格中寫出一個與之對應的時刻：①當時，；②當時，；（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點04分，此時鐘面角．[深入思考]（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整）．①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是；時針恰好與分針垂直，求此時對應的時刻是；②記鐘面上刻度為3的點為C，當鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應的時刻．【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2點分；2點分；②2點6分和2點分，2點分【分析】本題考查了一元一次方程的應用，鐘面角．（1）根據1小時分解答即可；（2）鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間的夾角為，找到時針和分針相隔3個數字的時刻和相隔6個數字的時刻即可；（3）鐘表12個數字，每相鄰兩個數字之間有5格，鐘表上8點04分，時針轉了格，分針指向4，根據時針和分針的速度即可求解；（4）①設此時對應的時刻是2點x分，根據時針和分針轉動的角度相同即可求解；②令時針所在直線為，分針所在直線為，分兩種情況求解即可．解：（1）∵時針每小時轉動的角度是，分針每小時轉動一周，角度為．∴時針每分鐘轉動，分針每分鐘轉動，故答案為：；6；（2）①某個時刻的鐘面角α為，可為或，②某個時刻的鐘面角α為，可為，故答案為：①或；②；（3）鐘表1