學年復旦大學附中高一數學第一學期期末考試卷考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請在答題紙相應編號的空格內直接寫結果.1.函數y=lnx的零點是___________.2.函數的對稱中心為__________.3.已知，用表示______.4.方程的解是______.5.已知冪函數在區間上是嚴格增函數，則______.6.已知角終邊過點，且，則角的弧度數是______.7.不等式的解集是______.8.已知函數，若對不相等正數，有成立，則的最小值為______.9.已知函數的值域為，則實數的取值范圍為____________．10.已知函數是定義域為的奇函數，且.若對任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.11.設，若定義域為的函數的圖象關于直線、直線、直線都成軸對稱，且在區間上恰有5個零點，則在區間上的零點個數的最小值是______.12.田同學向肖老師請教一個問題：已知三個互不相同的實數，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數在區間上是嚴格增函數，在區間上是嚴格減函數，在區間上是嚴格增函數.根據肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應編號上將代表答案的小方格涂黑.13.已知集合或，集合，則集合與的關系是（）A. B. C. D.以上選項均不正確14.已知且，則下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.15.已知函數的定義域為，給定下列四個語句：①在區間上嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；②在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；③在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；④在區間上是嚴格增函數，且是奇函數.其中是“函數在上是嚴格增函數”充分條件的有（）個.A.1 B.2 C.3 D.416.已知A、B為非空數集，為平面上的一些點構成的集合，集合，集合，給定下列四個命題，其中真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規定區域內寫出必要的步驟.17.已知，.（1）求的值；（2）求值：.18.為確保2023年第六屆中國國際進口博覽會安全順利進行，上海市公安局決定在進博會期間實施交通管制.經過長期觀測發現，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量（輛/小時）與車輛的平均速度（千米/小時）之間存在函數關系：.（1）當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？（2）若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？19.設，已知，.（1）求證：函數不是偶函數；（2）若對任意的、，總存在，使得成立，求實數的取值范圍；（3）若對任意的，，總有成立，求實數的取值范圍.20.已知函數，其中、是非空數集，且，設，；（1）若，，求；（2）是否存在實數，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數；若不存在，請說明理由；（3）若，且，，是單調遞增函數，求集合、；21.設函數，.記，，.對于D的非空子集A，若對任意，都有，則稱函數在集合A上封閉.（1）若，，，分別判斷函數和是否在集合A上封閉；（2）設，，區間（其中），若函數在集合B上封閉，求的最大值；（3）設，，若函數的定義域為，函數和的圖象都是連續的曲線，且函數在區間（其中）上封閉，證明：存在，使得復旦大學附屬中學2023學年第一學期高一年級數學期末考試試卷（A卷）考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請在答題紙相應編號的空格內直接寫結果.1.函數y=lnx的零點是___________.【答案】x=1【解析】【分析】轉化為求解方程lnx=0的根即可.【詳解】由lnx=0可得，所以函數y=lnx的零點是，故答案為：.2.函數的對稱中心為__________.【答案】【解析】【分析】把原函數解析式變形得到，可得，換元，令，，原函數化為，可得它的對稱中心，即得原函數對稱中心?！驹斀狻坑深}得，，可得，設，，則原函數化為，與成反比例函數關系且是奇函數，對稱中心為，即，解得，因此函數y的對稱中心為.故答案為：【點睛】本題考查求函數的對稱中心，利用了換元法。3.已知，用表示______.【答案】【解析】【分析】利用換底公式及對數的運算性質計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：4.方程的解是______.【答案】或【解析】【分析】根據余弦函數的性質計算可得.【詳解】因為，所以或，即方程的解是或.故答案為：或.5.已知冪函數在區間上是嚴格增函數，則______.【答案】【解析】【分析】根據冪函數的定義及性質得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因為冪函數在區間上是嚴格增函數，所以，解得.故答案為：6.已知角的終邊過點，且，則角的弧度數是______.【答案】【解析】【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據三角函數的定義及誘導公式得到，即可得解.【詳解】因為角的終邊過點，又，所以，，所以角為第二象限角，因為，所以，所以，又，所以.故答案為：7.不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依題意可得，令，判斷函數的單調性，結合，即可求出不等式的解集.【詳解】不等式，即，令，，因為與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以當時，則不等式的解集是.故答案為：8.已知函數，若對不相等的正數，有成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】對于函數整理變形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.【詳解】，由不相等的正實數，且，則，則，因為，所以，故，則，又，所以，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為.故答案為：9.已知函數值域為，則實數的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當時，，此時，當且時，，此時，且，所以不滿足；當且時，，由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當且時，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.10.已知函數是定義域為的奇函數，且.若對任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依題意不妨令，即可得fx2x2>fx1x1，令，x∈?∞,0∪0,+∞【詳解】因為對任意的、且，都有x1fx2不妨令，則x1fx2所以fx令，x∈?∞則當且時，，所以在0,+∞上單調遞增，又函數y=fx是定義域為R的奇函數且，則，所以，所以當時，gx<0，當時，gx>0則當時，，當時，，又為奇函數，所以當時，，當時，，所以不等式的解集是.故答案為：11.設，若定義域為的函數的圖象關于直線、直線、直線都成軸對稱，且在區間上恰有5個零點，則在區間上的零點個數的最小值是______.【答案】13【解析】【分析】根據函數的多對稱性得出周期，盡可能減少零點個數并作出圖象說明其存在性即可.【詳解】因為函數關于直線對稱，又直線為對稱軸，所以也是函數的對稱軸，又是的對稱軸，則直線也是函數的對稱軸，進而也是函數的對稱軸.又由關于直線對稱，則；由關于直線對稱，則，則，故是以為周期的函數.所以由y=fx在有5個零點，則y=fx在有5個零點，且在至少有5個零點，當在有5個零點時，則在無零點，由函數關于直線對稱可知，必有，即為其中一個零點，且在無零點，故在各有2個零點.由函數以為周期可知，也是函數的零點，且函數在，，無零點，故在，各有2個零點，由上分析，y=fx在有5個零點，在無零點，此時在區間上的零點個數為個.如圖，可作出滿足題意的函數的圖象，其在上有13個零點，所以在上的零點個數的最小值是13.故答案為：13.12.田同學向肖老師請教一個問題：已知三個互不相同的實數，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數在區間上是嚴格增函數，在區間上是嚴格減函數，在區間上是嚴格增函數.根據肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據題意可得：，，結合韋達定理和根的判別式可得，由，得，令，結合條件得到的單調性，從而得到值范圍【詳解】由題和，，得，所以，則，即，又，所以由韋達定理得和為關于的方程的兩個不等根，所以，即，得，再由，得，令，根據題意可知：在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，，，，，當時，，或，，不滿足實數，，互不相同；當時，，或，，不滿足實數，，互不相同；所以值范圍是，故答案為：二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應編號上將代表答案的小方格涂黑.13.已知集合或，集合，則集合與的關系是（）A. B. C. D.以上選項均不正確【答案】A【解析】【分析】化簡集合，用列舉法表示集合、，即可判斷.【詳解】因為或，又或或，所以.故選：A14.已知且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據對勾函數的性質判斷C.【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：當時，，，此時，故B錯誤；對于C：因且，所以，又在上單調遞增，所以，顯然滿足，故C正確；對于D：當時，，故D錯誤.故選：C15.已知函數的定義域為，給定下列四個語句：①在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；②在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；③在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數；④在區間上是嚴格增函數，且是奇函數.其中是“函數在上是嚴格增函數”的充分條件的有（）個.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用反例說明①④，根據單調性的定義判斷②③.【詳解】對于①，令，滿足在區間上嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數，但是函數在上不單調，故①錯誤；對于②：在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數，即任意的都有，都有，所以，設任意的且，若，則，若，則，若，，則，所以函數在上是嚴格增函數，故②正確；對于③：在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數，則在區間上是嚴格增函數，在區間上也是嚴格增函數，結合②可知，函數在上是嚴格增函數，故③正確；對于④：令，滿足在區間上是嚴格增函數，且是奇函數，但是函數在上不單調，故④錯誤.故選：B16.已知A、B為非空數集，為平面上的一些點構成的集合，集合，集合，給定下列四個命題，其中真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】運用元素和集合的關系判斷即可.【詳解】根據題意，若，則；若，則關系不確定.故選：B．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規定區域內寫出必要的步驟.17.已知，.（1）求的值；（2）求值：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將兩邊平方得到，進而求得，與聯立求出、，即可得解；（2）利用誘導公式化簡，再由同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得.【小問1詳解】因為，所以，即，即，所以，又x∈0,π，則，所以，所以，所以，則，所以，，則．【小問2詳解】因為，所以.18.為確保2023年第六屆中國國際進口博覽會安全順利進行，上海市公安局決定在進博會期間實施交通管制.經過長期觀測發現，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量（輛/小時）與車輛的平均速度（千米/小時）之間存在函數關系：.（1）當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？（2）若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？【答案】（1）車輛的平均速度為35千米/小時，最大車流量為12000輛/小時；（2）.【解析】【分析】（1）利用函數的單調性及基本不等式求出分段函數的最大值即得.（2）利用給定條件，列出不等式并求解即得.【小問1詳解】當時，函數在上單調遞增，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，而，所以車輛的平均速度為35千米/小時時，公路段的車流量最大，最大車流量為12000輛/小時.【小問2詳解】當時，，整理得，解得，則，當時，，不等式化為：，整理得，解得或，則，所以汽車的平均速度應在范圍內.19.設，已知，.（1）求證：函數不是偶函數；（2）若對任意的、，總存在，使得成立，求實數的取值范圍；（3）若對任意的，，總有成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數的定義即可證明；（2）分別得到和在的單調性，將問題轉化為即可求解；（3）將問題轉化為或，結合單調性即可求解.【小問1詳解】由題可得，因為，所以函數為奇函數，不是偶函數；【小問2詳解】對任意的、，不妨設，所以，因為，所以，，，所以，，所以在上單調遞增，則，，所以，由于在上單調遞增，所以，要使對任意的、，總存在，使得成立，則，即，所以實數的取值范圍是；【小問3詳解】對任意的，，總有成立，所以或，則或，由（2）可得當，，，，，所以或，解得或，故實數的取值范圍是.20.已知函數，其中、是非空數集，且，設，；（1）若，，求；（2）是否存在實數，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數；若不存在，請說明理由；（3）若，且，，是單調遞增函數，求集合、；【答案】(1)；(2)；(3),其中或者,其中或者或者【解析】【分析】(1)根據,分別代入對應的分段區間求解集合的范圍再求并集即可.(2)先假設推出矛盾,故可得.代入可得,再分析當時與題設矛盾可得.(3)先根據函數的單調性確定,,再證明在上存在分界點的話,這個分界點應該滿足的性質,最后根據此性質寫出滿足題意的集合即可.【詳解】(1)因為,所以,因為,所以.故.(2)若,則,不符合要求.所以,所以,因為,所以,解得.若則.因為,所以的原象且所以,得,與前提矛盾.故(3)因為是單調遞增函數,所以對任意有,所以所以,同理可證.若存在,使得,則,于是,記,所以,同理可知…由,得,所以.所以,故,即,此時.對于任意,取中的自然數,則.所以.綜上所述,滿足要求的必有如下表示：,其中或者,其中或者或者【點睛】本題主要考查了函數與集合的綜合運用,需要根據題意確定元素與區間的包含關系.同時也考查了根據函數的單調性分析集合的問題,需要根據題意找到臨界點滿足的性質,屬于難題.21.設函數，.記，，.對于D的非空子集A，若對任意，都有，則稱函數在集合A上封閉.（1）若，，，分別判斷函數和是否在集合A上封閉；