題型二規律探索（復習講義）【考點總結|典例分析】探索實數中的規律

關于數式規律性問題的一般解題思路：

(1)先對給出的特殊數式進行觀察、比較；

(2)根據觀察猜想、歸納出一般規律；

(3)用得到的規律去解決其他問題。

對數式進行觀察的角度及方法：

(1)橫向觀察：看等號左右兩邊什么不變，什么在變，以及變化的數字或式子間的關系；

(2)縱向觀察：將連續的幾個式子上下對齊，觀察上下對應位置的式子什么不變，什么在變，以及變化的數字或式子間的關系。給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論。這類問題成為探索規律性問題。主要采用歸納法解決。

1.數字猜想型:數字規律問題主要是在分析比較的基礎上發現題目中所蘊涵的數量關系，先猜想，然后通過適當的計算回答問題。

2.數式規律型:數式規律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論，以列代數式即函數關系式為主要內容.

3.圖形規律型:多形規律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯系和區別，用相應的算式描述其中的規律，要注意對應思想和數形結合.

4.數形結合猜想型:數形結合猜想型問題首先要觀察冬形，從中發現冬形的變化方式，再將冬形的變化以數或式的形式反映出來，從而得出圖形與數或式的對應關系，數形結合總結出圖形的變化規律，進而解決相關問題.1.根據圖中數字的規律，若第個圖中的，則的值為（）A．100 B．121 C．144 D．1692．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形，正方形，按此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標分別為，，則頂點的坐標為（

）

A． B． C． D．3.將從1開始的連續奇數按如圖所示的規律排列，例如，位于第4行第3列的數為27，則位于第32行第13列的數是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．20194.將字母“C”，“H”按照如圖所示的規律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數是（

）A．9 B．10 C．11 D．125.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規律擺下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數為（）A．148 B．152 C．174 D．2026.已知為實數﹐規定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當時，的值等于（）A． B． C． D．7．（2023·四川遂寧·統考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，其分子結構模型如圖所示，按照此規律，十二烷的化學式為．6.人們把這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優選法中的法就應用了黃金分割數．設，，則，記，，…，．則____．9.觀察下列等式：；；；……根據以上規律，計算______．10.觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．11.正偶數2，4，6，8，10，……，按如下規律排列，24

68

10

1214

16

18

20……則第27行的第21個數是______．12．（2023·四川廣安·統考中考真題）在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上，點在直線上，若點的坐標為，且均為等邊三角形．則點的縱坐標為．

13．（2023·黑龍江·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在直線上，頂點B在x軸上，垂直軸，且，頂點在直線上，；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第一個；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是．14.觀察下列圖形規律，當圖形中的“○”的個數和“．”個數差為2022時，n的值為____________．15．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸交于點，以為邊作正方形點在y軸上，延長交直線l于點，以為邊作正方形，點在y軸上，以同樣的方式依次作正方形，…，正方形，則點的橫坐標是．

16.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數為______．17.人們把這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設，，記，，…，，則_______．18．（2023·湖南張家界·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點的坐標為，是以點為圓心，為半徑的圓??；是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，繼續以點，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．19．（2023·湖南懷化·統考中考真題）在平面直角坐標系中，為等邊三角形，點A的坐標為．把按如圖所示的方式放置，并將進行變換：第一次變換將繞著原點O順時針旋轉，同時邊長擴大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉將繞著原點O順時針旋轉，同時邊長擴大為，邊長