整理與復習第13章

軸對稱人教版八年級數學上冊

1．在現實世界中存在著大量的軸對稱現象，你能舉出一些例子嗎？成軸對稱的圖形有什么特點？

2．在我們學過的幾何圖形中，有哪些是軸對稱圖形？它們的對稱軸與這個圖形有怎樣的位置關系？

3．對于成軸對稱的兩個圖形，對應點所連線段與對稱軸有什么關系？如何作出一個圖形的軸對稱圖形？請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！請你帶著下面的問題，進入本課的復習吧！

4．在平面直角坐標系中，如果兩個圖形關于x軸或y軸對稱，那么對稱點的坐標有什么關系？請舉例說明．

5．利用等腰三角形的軸對稱性，我們發現了它的哪些性質？你能通過全等三角形加以證明嗎？等邊三角形作為特殊的等腰三角形，有哪些特殊性質？考點一軸對稱圖形的識別

例1下列各圖中，不是軸對稱圖形的是（）．

A．B．

C．D．A考點一軸對稱圖形的識別根據圖形的特征，嘗試找到一條直線，沿這條直線對折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就能確定這個圖形是軸對稱圖形；否則，這個圖形就不是軸對稱圖形．判斷一個圖形是不是軸對稱圖形的方法考點二軸對稱的性質

例2

如圖，△ABC

和△ADE

關于直線

l

對稱，已知

AB＝15，DE＝5，∠D＝70°．求∠B

的度數及

BC，AD

的長度．

解：∵△ABC

和△ADE

關于直線

l

對稱，∴

AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D．

又∵AB＝15，DE＝5，∠D＝70°，∴∠B＝70°，BC＝5，AD＝15．ABCDEl考點二軸對稱的性質

成軸對稱的兩個圖形是全等圖形，它們的對應邊相等，對應角相等．考點二軸對稱的性質

1．如圖，在△ABC

中，點

D

在

BC

上，將點

D

分別以

AB，AC

所在直線為對稱軸，畫出對稱點

E，F，并連接

AE，AF．根據圖中標示的角度，∠EAF

的度數為（

）．

A．113°

B．124°

C．129°

D．134°DABCDEF62°51°

解析：連接AD，如圖．考點二軸對稱的性質∵點

D

分別以

AB，AC

為對稱軸，畫出對稱點E，F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD．∵∠B＝62°，∠C＝51°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°－62°－51°＝67°，∴∠EAF＝2∠BAC＝134°．ABCDEF62°51°ABCDEF考點三線段的垂直平分線的性質與判定

例3

如圖，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，D

是

AB

上一點，BD＝BC，過點

D

作

AB

的垂線交

AC

于點

E，CD

交

BE

于點

F．求證：BE

垂直平分

CD．證明：∵BD＝BC，∴點B在線段CD的垂直平分線上．又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°．ABCDEF考點三線段的垂直平分線的性質與判定在Rt△EBC

與Rt△EBD中∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）．

∴EC＝DE．

∴點E在線段CD的垂直平分線上．

∵兩點確定一條直線，∴BE垂直平分CD．考點三線段的垂直平分線的性質與判定（1）存在兩點：直線上有兩個不同的點．（2）兩對距離相等：兩點到線段兩個端點的距離分別相等．根據兩點確定一條直線，推導出這兩個點所在的直線就是這條線段的垂直平分線．證明一條直線是某條線段的垂直平分線的條件考點三線段的垂直平分線的性質與判定

2．如圖，△ABC

中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE，FG

分別為

AB，AC

的垂直平分線，E，G

分別為垂足．

（1）求∠DAF

的度數；

（2）若△DAF

的周長為10，求

BC

的長．EABCDFGEABCDFG考點三線段的垂直平分線的性質與判定

解：（1）∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－30°－50°＝100°．

∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，

∴∠DAB＝∠ABC＝30°.

∵FG是AC的垂直平分線，∴FA＝FC，

∴∠FAC＝∠ACB＝50°.

∴∠DAF＝∠BAC－(∠DAB＋∠FAC)＝20°.考點三線段的垂直平分線的性質與判定考點三線段的垂直平分線的性質與判定EABCDFG解：（2）∵△DAF的周長為10，

∴AD＋DF＋FA＝10．

∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋FA＝10．考點四軸對稱的相關作圖

例4如圖，作已知圖形關于直線l

對稱的圖形．

llD′考點四軸對稱的相關作圖

例4如圖，作已知圖形關于直線l

對稱的圖形．

lA′B′C′

作法：（1）如圖，取點A，B，C，D，O，分別作出點A，B，C，D關于直線l

的對稱點A′，B′，C′，D′；（2）順次連接OA′，A′B′，B′O，OD′，OC′，C′D′，即可得原圖形關于直線l

對稱的圖形．ABCDOABC考點四軸對稱的相關作圖

例4如圖，作已知圖形關于直線l

對稱的圖形．

（2）連接A′B′，B′C′，C′A′，△A′B′C′即為所求．

作法：（1）如圖，取點A，B，C，分別作出點A，B，C關于直線l

的對稱點A′，B′，C′；A′B′C′l考點四軸對稱的相關作圖同一個圖形，因對稱軸不同會得到不同的對稱圖形，所以畫圖時要先確定對稱軸，再根據對稱軸畫出對稱圖形．畫軸對稱圖形，對稱軸位置很關鍵考點五關于坐標軸對稱的點的坐標特征

例5

已知點A（a＋2，b－1）與B（b＋3，a－2）關于x

軸對稱，求點P（a，b）的坐標．解：∵點A（a＋2，b－1）與B（b＋3，a－2）關于x

軸對稱，∴a＋2＝b＋3，b－1＝－(a－2)．解得a＝2，b＝1．∴點P

的坐標為（2，1）.考點五關于坐標軸對稱的點的坐標特征關于坐標軸對稱的點的坐標特征（1）關于x

軸對稱：橫坐標相同，縱坐標互為相反數．（2）關于y

軸對稱：橫坐標互為相反數，縱坐標相同．考點六等腰三角形

例6

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點

D

是

BC

邊上一點，DE∥AB，交

AC

于點

E，連接

DE，過點

E

作

EF⊥BC

于點

F．求證：點F

為線段

CD

的中點．EABCDF

證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等邊對等角）．

∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠B．EABCDF

∴∠EDC＝∠C．

∴ED＝EC（等角對等邊）．

∵EF⊥BC，

∴點

F

為線段

CD

的中點（三線合一）．考點六等腰三角形性質1：等邊對等角，它是證明兩角相等的常用方法．性質2：三線合一，它可以證明兩條線段相等，兩個角相等，還可以證明兩條線段之間的垂直關系．等腰三角形性質的應用考點六等腰三角形

3．如圖，已知等邊三角形

ABC

中，點D

是

AC

的中點，點E

是BC

延長線上的一點，且

CE＝CD，DM⊥BC，垂足為

M，求證：點M是

BE

的中點．DABECM

證明：如圖，連接

BD．考點六等腰三角形

∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°．

∵在等邊三角形

ABC

中，點D

是

AC

的中點，DCM

∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E．

∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，

∴∠E＝30°．

∴∠DBC＝∠E＝30°．

∴BD＝ED，△BDE

為等腰三角形．

又∵DM⊥BC，

∴點M

是

BE

的中點．考點六等腰三角形ABE考點七最短路徑問題

例7

如圖，已知點

D，點

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點，AD＝5，點

F

是

AD

邊上的動點，則

BF＋EF

的最小值為__________．BEDACFBEDF

例7

如圖，已知點

D，點

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點，AD＝5，點

F

是

AD

邊上的動點，則

BF＋EF

的最小值為__________．BEDACF解析：∵點B

和點C

關于直線AD

對稱，∴BF＝CF，若BF＋EF

最小，只需CF＋EF

最?。蓛牲c之間，線段最短可知：線段CE

的長即為BF＋EF

的最小值．考點七最短路徑問題BEDACF

∵點D，E是等邊△ABC中BC，AB的中點，∴△ADB≌△CEA．

∴CE＝AD＝5．即BF＋EF

的最小值為5．

例7

如圖，已知點

D，點

E

分別是等邊三角形

ABC

中

BC，AB

邊的中點，AD＝5，點

F

是

AD

邊上的動點，則

BF＋EF

的最小值為__________．考點七最短路徑問題5（1）如果兩點在直線的異側，那么直接連接兩點交直線于一點，該點就是要求的點；（2）如果兩點在直線的同側，那么先作一點關于直線的對稱點，再連接對稱點和另一點交直線于一點，該點就是要求的點．“一線＋兩點”型最短距離求解方法考點七最短路徑問題MNAOA″A′

例8如圖，點A

是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON

上各求作一點B，