第二部分方程（組）與不等式（組）

專題04方程（組）及其應用（8大考點）

核心考點一等式的基本性質

核心考點二一元一次方程的解法及其應用

核心考點三二元一次方程組的解法及其應用

核心考點四分式方程的解法及其應用

核心考點

核心考點五一元二次方程及其解法

核心考點六一元二次方程根的判別式

核心考點七一元二次方程根與系數的關系

核心考點八一元二次方程的實際應用

新題速遞

核心考點一等式的基本性質

例1（2022·青海·中考真題）下列說法中，正確的是（）

A．若acbc，則abB．若a2b2，則ab

ab1

C．若，則abD．若x6，則x2

cc3

【答案】C

【分析】直接利用等式的基本性質以及結合絕對值的性質分析得出答案．

【詳解】解：A、若ac=bc，當c≠0，則a=b，故此選項錯誤；

B、若a2b2，則ab，故此選項錯誤；

ab

C、若，則ab，故此選項正確；

cc

1

D、若x6，則x18，故此選項錯誤；

3

故選：C．

【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，正確把握等式的基本性質是解題關鍵．

41

例2（2021·安徽·中考真題）設a，b，c為互不相等的實數，且bac，則下列結論正確的是（）

55

A．abcB．cbaC．ab4(bc)D．ac5(ab)

【答案】D

第1頁共75頁.

【分析】舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．

41

【詳解】解：A．當a5，c10，bac6時，cba，故A錯誤；

55

41

B．當a10，c5，bac9時，abc，故B錯誤；

55

14

C．ab4(bc)整理可得bac，故C錯誤；

55

41

D．ac5(ab)整理可得bac，故D正確；

55

故選：D．

【點睛】本題考查等式的性質，掌握等式的性質是解題的關鍵．

例3（2022·福建·中考真題）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．

例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：

設任意一個實數為x，令xm，

等式兩邊都乘以x，得x2mx．①

等式兩邊都減m2，得x2m2mxm2．②

等式兩邊分別分解因式，得xmxmmxm．③

等式兩邊都除以xm，得xmm．④

等式兩邊都減m，得x＝0.⑤

所以任意一個實數都等于0.

以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是______．

【答案】④

【分析】根據等式的性質2即可得到結論．

【詳解】等式的性質2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為0的整式，等式不變，

∴第④步等式兩邊都除以xm，得xmm，前提必須為xm0，因此錯誤；

故答案為：④．

【點睛】本題考查等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵．

第2頁共75頁.

知識點、等式的基本性質（注意:等式的基本性質是解方程的依據）

基本性質1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(或式子),所得結果仍是等式.

基本性質2：等式兩邊同時乘同一個數(或除以同一個不為零的數),所得結果仍是等式.

性質3：如果ab，那么ba（對稱性）

性質4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

112

【變式1】（2022·安徽·合肥市五十中學西校三模）已知實數a，b，c滿足ac2b，．則下列結

acb

論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a，b，c不可能同時相等D．若a2，則b28c

【答案】B

11112

【分析】A.根據a＞b＞0，則＜，根據，得出c＜b；

abacb

112

B.根據，得出2acbac，把ac2b代入得：b2ac1，即可得出答案；

acb

112

C.當abc時，可以使ac2b，，即可判斷出答案；

acb

D.根據解析B可知，b2ac2c，即可判斷．

【詳解】A.∵a＞b＞0，

11

∴＜，

ab

112

∵，

acb

11

∴＞，

cb

∴c＜b，故A錯誤；

112ac2

B.∵，即，

acbacb

∴2acbac，

把ac2b代入得：2ac2b2，

b2ac1，

第3頁共75頁.

解得：b1，故B正確；

112

C.當abc時，可以使ac2b，，

acb

∴a，b，c可能同時相等，故C錯誤；

D.根據解析B可知，b2ac，把a2代入得：b22c，故D錯誤．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了分式的化簡，等式基本性質和不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質和

等式的性質，是解題的關鍵．

abcabc

【變式2】（2022·安徽蕪湖·二模）已知三個實數a，b，c滿足abc0,a,c，則下

22

列結論不成立的是（）

A．b0B．c=0C．abD．ab

【答案】A

【分析】將等式整理得abc①，cab②，①+②可求c=0值，進而可判斷B的正誤，將c代入①式

得ab，可判斷C的正誤，由abc0，c=0，ab，計算求解可判斷A，D的正誤．

abcabc

【詳解】解：∵a，c

22

∴abc①，cab②

①+②得cc，即2c0

解得c=0

∴B正確，故不符合題意；

將c=0代入①式得ab

∴C正確，故不符合題意；

∵abc0

∴ab0

∴ab，2b0

∴b0

∴D正確，故不符合題意；A錯誤，故符合題意；

故選A．

【點睛】本題考查了等式的性質．解題的關鍵在于對等式性質的熟練掌握與靈活運用．

第4頁共75頁.

x2xy

【變式3】（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

5

【答案】

3

x222xy

【分析】根據可得到xy，將xy代入求解即可得到答案．

y333y

x2

【詳解】解：，

y3

2

xy，

3

2xy

將xy代入得

3y

25

yyy

xy5，

33

yyy3

5

故答案為：．

3

【點睛】本題考查代數式求值，根據條件用一個未知數表示另一個未知數代入求值是解決問題的關鍵．

【變式4】（2021·江蘇·正衡中學一模）設實數a、b、c滿足abc3，a2b2c24，則

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

【答案】3

4c24a24b2

【分析】將a2b2c24變形，分別代入原式的分子中，得到，化為最簡后，代入

2c2a2b

abc3即可.

【詳解】解：∵abc3，a2b2c24，

a2b2b2c2a2c24c24a24b22c2c2a2a2b2b

∴===2-c+2-a+2

2c2a2b2c2a2b2c2a2b

-b=6-abc=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了分式中的條件求值，需注意觀察條件與結論區別與聯系，整體代入是解題的關鍵.

bccaab

【變式5】（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知abc0，且0，求證：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

【答案】見解析

bccaab

【分析】將abc0和0兩邊都同時乘abc，整理，再相加，最后再除a2b2c2，即可

abc

證明．

第5頁共75頁.

【詳解】解：abc0①，

bccaab

0②，

abc

將①，②兩邊同時乘abc，得a2bcb2acc2ab0③，

bc(bc)ac(ca)ab(ab)0，

整理，得：a2(bc)b2(ca)c2(ab)0④

③+④，得：a2bcb2acc2aba2(bc)b2(ca)c2(ab)0，

整理，得：a2(bcbc)b2(acca)c2(abab)0⑤．

由題意可知abc都不為0，

∴可將⑤兩邊同時除a2b2c2，

bcbccacaabab

得：0．

b2c2c2a2a2b2

【點睛】本題考查等式的性質，整式的混合運算，分式的混合運算，分式有意義的條件．熟練掌握等式的

性質是解題關鍵．

核心考點二一元一次方程的解法及其應用

x1x2

例1（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程1的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6，得3x112x2①

去括號，得3x312x2②

移項，得3x2x231③

合并同類項，得x4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案．

【詳解】解：方程兩邊同乘6，得3x162x2①

∴開始出錯的一步是①，

第6頁共75頁.

故選：A．

【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項是解決問題的關

鍵．

例2（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）某商品的進價為每件10元，若按標價打八折售出后，每件可獲利2

元，則該商品的標價為每件______元．

【答案】15

【分析】設該商品的標價為每件x元，根據八折出售可獲利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．

【詳解】解：設該商品的標價為每件x元，

由題意得：80%x-10=2，

解得：x=15．

所以該商品的標價為每件15元．

故答案為：15．

【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，關鍵是仔細審題，得出等量關系，列出方程，難度一般．

例3（2022·江蘇鎮江·中考真題）某地交警在一個路口對某個時段來往的車輛的車速進行監測，統計數據

如下表：

車速（km/h）404142434445

頻數6815a32

其中車速為40、43（單位：km/h）的車輛數分別占監測的車輛總數的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一輛汽車行駛的車速不超過40km/h的10%，就認定這輛車是安全行駛．若一年內在該時段通過此路

口的車輛有20000輛，試估計其中安全行駛的車輛數．

【答案】(1)16

(2)19200輛

【分析】（1）由車速的占比求得總的車輛數，然后相乘可得

（2）先計算安全行駛的占比，再用該占比估算即可

（1）

6

方法一：由題意得50，

12%

第7頁共75頁.

a5032%16；

6a

方法二：由題意得，

12%32%

解得：a16；

（2）

由題意知，安全行駛速度小于等于40110%44km/h．

50248

因為該時段監測車輛樣本中安全行駛的車輛占總監測車輛的占比為，

5050

48

所以估計其中安全行駛的車輛數約為：2000019200（輛）

50

【點睛】本題考查了頻數的計算，掌握頻率的計算公式是解題關鍵，頻率=頻數÷總數．本題的占比就是頻

率．

知識點一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1個未知數(元)，并且未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時應抓住以下兩點：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個未知數，且未知數的次數為1。

若未知數的系數有分母，則要去分母。注

去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數。

若方程含有括號，則先去小括號，再去中

括號，最后去大括號。若去括號時括號前

去括號

是負號，去掉括號后，括號內的各項均

要。

把含有未知數的項移到等式的一邊，其他

移項

項移到另一邊。一般把含的項移到

第8頁共75頁.

等式左邊。移項要改變符號。

合并同類項把方程化成axb（a0）的形式。

方程兩邊同未知數的系數，得到方

系數化為1

程的解。

知識點二、一次方程（組）的實際應用

1、列一次方程(組)解應用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關系；

設：設關鍵未知數；

列：根據題中的等量關系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗：檢驗所解答案是否符合題意；

答：規范作答，注意單位名稱。

2、常見的關系式

基本關系式:路程=速度×時間.

相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

行程問題

追及問題:同地不同時出發:前者走的路程=后者走的路程;同時不同地出發:慢者走的路程+兩地間距離=快者走的

路程.

儲蓄問題本金×利率×期數=利息,本金+利息=本息和.

利潤

銷售問題總價=單價×數量,利潤率=×100%,利潤=售價-成本(或進價)=利潤率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數量+乙的數量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長率問

已知基礎量為a,增長后為b,若設增長率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數字問題十位a，個位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個位c，表示為100a+10b+c

第9頁共75頁.

【變式1】（2022·湖南·長沙市南雅中學二模）在風凰山教育共同體數學學科節中，為展現數學的魅力，M

老師組織了一個數學沉浸式互動游戲：隨機請A，B，C，D，E五位同學依次圍成一個圓圈，每個人心里先

想好一個實數，并把這個數悄悄的告訴相鄰的兩個人，然后每個人把與自己相鄰的兩個人告訴自己的數的

平均數報出來．若A，B，C，D，E五位同學報出來的數恰好分別是1，2，3，4，5，則D同學心里想的那

個數是（）

A．3B．4C．5D．9

【答案】D

【分析】設報D的人心里想的數是x，則再分別表示報A，C，E，B的人心里想的數，最后通過平均數列

出方程，解方程即可．

【詳解】解：設D同學心里想的那個數是x，報A的人心里想的數是10-x，報C的人心里想的數是x-6，報

E的人心里想的數是14-x，報B的人心里想的數是x-12，

所以有x-12+x=2×3，

解得：x=9．

故選：D．

【點睛】本題考查的知識點有平均數的相關計算及方程思想的運用，把題中的等量關系全部展示出來，再

結合題意進行整合，問題即可解決．

【變式2】（2022·浙江金華·二模）一條數軸上有點A、B，點C在線段AB上，其中點A、B表示的數分別

是－8，6，現以點C為折點，將數軸向右對折，若點A'落在射線CB上，并且A'B=4，則C點表示的數是（）

A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【答案】D

【分析】設出點C所表示的數，根據點A、B所表示的數，表示出AC的距離，在根據A′B=4，表示出A′C，

第10頁共75頁.

由折疊得，AC=A′C，列方程即可求解．

【詳解】解：設點C所表示的數為x，AC=x-（-8）=x+8，

∵A′B=4，B點所表示的數為6，

∴A′表示的數為4+6=10或6-4=2，

∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，

1

根據折疊得，AC=AA′，

2

11

∴x+8=×18或x+8=×10，

22

解得：x=1或-3，

故選：D．

【點睛】本題考查了數軸表示數的意義，掌握數軸上兩點之間的距離公式是解決問題的關鍵，點A、B在數

軸上表示的數分別為a、b，則AB=|a-b|．

【變式3】（2020·浙江·模擬預測）一條數軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數分別是﹣16、9，現以

點C為折點，將數軸向右對折，若點A對應的點A落在點B的右邊，并且AB3，則C點表示的數是______．

【答案】2

【分析】設點C所表示的數為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，根據AC＝A′C，列出關于x的方程，解出方程

即可．

【詳解】解：設點C所表示的數為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，

∵A′B＝3，B點表示的數為9，

∴點A′表示的數為9+3＝12，

根據折疊得，AC＝A′C

∴x+16＝12﹣x，

解得，x＝﹣2，

故答案為：﹣2．

【點睛】本題考查數軸上兩點之間的距離問題，能用兩點間的坐標正確地表示出兩點間的距離是解題的關

鍵．

【變式4】（2022·北京四中模擬預測）“格子乘法”作為兩個數相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大

第11頁共75頁.

利數學家帕喬利提出，在明代數學家程大位著的《算法統宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計算

4671，將乘數46寫在方格上邊，乘數71寫在方格右邊，然后用乘數46的每位數字乘以乘數71的每位

數字，將結果記入相應的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計算兩個兩位數相

乘，則k______．

【答案】6

【分析】根據“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．

【詳解】解：根據題意可得

10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k

解得k=6

故答案為：6．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，根據“格子乘法”分析圖示，列出方程是關鍵．

【變式5】（2022·遼寧朝陽·模擬預測）根據小王在兩個超市看到的商品促銷信息解決下列問題：

甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄

不超過300元不優惠；

全場8.5折超過300元而不超過500元，打9折；

超過500元，500元部分優惠10%，超過500元部分打8折．

(1)當一次性購物標價總額是400元時，甲、乙兩超市實付款分別是多少？

(2)當一次性購物標價總額是多少時，甲、乙兩超市實付款一樣？

第12頁共75頁.

【答案】(1)甲超市實付款340元，乙超市實付款360元；

(2)當一次性購物標價總額為1000元時，甲、乙兩超市實付款一樣．

【分析】（1）根據兩家超市的優惠方案，可知當一次性購物標價總額是400元時，甲超市實付款=購物標價

0.85，乙超市實付款4000.9，分別計算即可；

（2）設當標價總額是x元時，甲、乙超市實付款一樣．根據甲超市實付款=乙超市實付款列出方程，求解

即可．

【詳解】（1）當一次性購物標價總額是400元時，

甲超市實付款為4000.85340（元），

乙超市實付款為4000.9360（元），

答：甲超市實付款340元，乙超市實付款360元；

（2）由題意可知：當一次性購物標價總額不超過500元時，

乙超市實付款一定比甲超市多，

設一次性購物標價總額為x元時，甲、乙兩超市實付款一樣，

由題意可得：0.85x500（110%）（x500）0.8，

解得：x1000，

答：當一次性購物標價總額為1000元時，甲、乙兩超市實付款一樣．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解兩家超市的優惠方案，進行分類討論是解題的關鍵．

核心考點三二元一次方程的解法及其應用

例1（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——

九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例

如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）

第13頁共75頁.

A．9B．10C．11D．12

【答案】D

【分析】根據題意設出相應未知數，然后列出等式化簡求值即可．

【詳解】解：設如圖表所示：

根據題意可得：x+6+20=22+z+y，

整理得：x-y=-4+z，

x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，

整理得：x=-2+z，y=2z-22，

∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，

解得：z=12，

∴x+y

=3z-24

=12

故選：D．

【點睛】題目主要考查方程的應用及有理數加法的應用，理解題意，列出相應方程等式然后化簡求值是解

題關鍵．

第14頁共75頁.

1016

例2（2020·甘肅天水·中考真題）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

【答案】1

【分析】觀察已知條件可得兩式中a與b的系數的差相等，因此把兩式相減即可得解．

1016

【詳解】解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案為：1．

【點睛】此題主顧考查了二元一次方程組的特殊解法，觀察條件的結構特征得出2a+2b=2是解答此題的關

鍵．

例3（2022·貴州黔西·中考真題）某鄉鎮新打造的“田園風光”景區今年計劃改造一片綠化地，種植A、B

兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植

費用為300元．

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？

(2)若該景區今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和

90%，景區明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何

安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．

【答案】(1)每盆A種花卉種植費用為30元，每盆B種花卉種植費用為60元

(2)種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用為18000元

【分析】（1）設每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據“3盆A種花卉和4盆

B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元”列二元一次方程組，解

方程組即可求解；

（2）設種植A種花卉的數量為m盆，種植兩種花卉的總費用為w元，根據“兩種花卉在明年共補的盆數不

多于80盆”列不等式求得m的范圍，再求得w與m的關系式，利用一次函數的性質求解．

3x4y330

（1）解：設每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據題意，得，

4x3y300

x30

解這個方程組，得答：每盆A種花卉種植費用為30元，每盆B種花卉種植費用為60元；

y60

第15頁共75頁.

（2）解：設種植A種花卉的數量為m盆，則種植B種花卉的數量為400m盆，種植兩種花卉的總費用

為w元，根據題意，得170%m190%400m80，解得m200，

w30m60400m30m24000，∵300，∴w隨m增大而減小，當m200時，

wmin302002400018000．答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低

費用為18000元．

【點睛】本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是

明確題意，列出相應的二元一次方程組，利用一次函數的性質和不等式的性質解答．

知識點一、二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個未知數，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無數組解

方程知數的項的次數都是1的方程。個未知數的值。

二元一次把具有相同未知數的兩個二元一一般地，二元一次方程組的兩個方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代

入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數的系數相反或相等(或通過適當變形后可

以使同一個未知數的系數相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去這個未

知數，化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時依據方程自身特點，靈活運用消元思想）

一般地，當二元一次方程組中的一個方程的某個未知數的系數是1或-1時，選擇代入消元法

較簡單。

第16頁共75頁.

當二元一次方程組中兩個方程的某個未知數的系數的絕對值相等或成倍數關

系時，選擇加減消元法較簡單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡，快速解題。

知識點二、三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數,每個方程中含未知數的項的

次數都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

【變式1】（2022·廣東·華南師大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）2互為相反數，那么x,y的值為（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

【答案】C

【分析】根據非負數的性質，判斷兩個非負數必定都是0，列方程組解答即可．

【詳解】解：∵xy1(2xy3)20，

xy10

∴，

2xy30

x2

解得：，

y1

故選：C．

【點睛】本題考查了絕對值和偶次方的非負性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非負數，所以這個數都是0．

4x3y6

【變式2】（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）如果關于x，y的方程組的解是整數，那么

6xmy26

整數m的值為（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【答案】B

【分析】先將m看作已知量，解二元一次方程組，用m表示出y，再結合x，y為整數，得出y的整數解，

第17頁共75頁.

然后把y的整數解代入①，得出x的解，再把方程組的整數解代入②，即可得出m的值．

4x3y6①

【詳解】解：，

6xmy26②

34

由②2①3，可得：y，

2m9

∵x，y為整數，

∴當2m9為34，17，2，1，34，17，2，1時，y為整數，

34

∴把2m9的值代入y，可得：y1，y=2，y17，y34，y1，y2，y17，y34，

2m9

345957

∴把y的整數解代入①，可得：x，x0，x，x24，x，x3，x，x27，

4444

4x3y6x0x24x3x27

∴方程組的整數解為，，，，

6xmy26y2y34y2y34

把方程組的整數解代入②，可得：m13，m5，m4，m4．

故選：B

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關鍵是用含m的代數式表示y．

【變式3】（2021·四川成都·三模）已知三個非負實數a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，則m的最小值為_________________．

5

【答案】－

7

【詳解】解方程組，用含m的式子表示出a，b，c的值，根據a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范圍從而求

得m的最小值．

3a2bc5

【解答】解：由題意可得2ab3c1，

3ab7cm

7m511m1m2

解得a，b，c＝，

333

由于a，b，c是三個非負實數，

∴a≥0，b≥0，c≥0，

15

∴﹣≥m≥．

117

5

所以m＝．

最小值7

5

故本題答案為：．

7

第18頁共75頁.

【點睛】本題考查了三元一次方程組和一元一次不等式組的解法，難點是部分同學不會解含參數m的三元

一次方程組．

2axby40x1

【變式4】（2022·甘肅慶陽·二模）已知，關于x，y的二元一次方程組的解為，則

axby10y1

2a－b＝______．

【答案】4

x1

【分析】把代入方程組，得出關于a、b的方程組，求出方程組的解即可．

y1

x12axby40

【詳解】解：把代入得：

y1axby10

2ab4

，

ab1

a1

解得：，

b2

∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，

故答案為：4．

【點睛】此題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，解題的關鍵是得出關于a、b的方程組．

【變式5】（2022·河南洛陽·二模）已知實數x，y滿足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本題常規的解題思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x，y的值．再代入欲求值的代數式得到答案，常

規思路運算量較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數x，y的系數與所求代數式中x，y的系數之間的關系，

本題還可以通過適當的變形整體求得代數式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．

問題解決：

2xy6

(1)已知二元一次方程組，則xy值為，xy的值為．

x2y9

(2)某班組織活動購買獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本

日記本共需58元．則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

(3)對于實數x，y，定義新運算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法

運算．已知3*515，4*728，則1*1的值為．

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【答案】(1)5，3

(2)30元

(3)11

【分析】（1）根據方程組中兩個方程的特點，由①②即可求出xy的值，①-②即可求出xy的值；

20x3y2z32①

（2）設1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，列出方程組，先求出xyz6，

39x5y3z58②

再求出5(xyz)30，即可得出答案；

3a5bc15①

（3）根據題意得出方程組，求出abc11，即可求出1*1的值．

4a7bc28②

【詳解】（1）解：由①②，可得3x3y15，

∴xy5，

由①-②，可得xy3．

故答案為：5，3；

（2）（2）設1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，

20x3y2z32①

由題意，可得，

39x5y3z58②

由①2-②，可得xyz6，

∴5(xyz)30（元)，

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元；

（3）∵3*515，4*728，

3a5bc15①

∴，

4a7bc28②

由①3-②2，可得abc11，

∴1*1abc11．

故答案為：11．

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組及三元一次方程組的整體求法，理解題意，熟練掌握整體計算方

法是解題關鍵．

核心考點四分式方程的解法及其應用

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mx1

例1（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）若關于x的方程3無解，則m的值為（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

【答案】B

【分析】先將分式方程化成整式方程(m3)x2，再分①整式方程(m3)x2無解，②關于x的方程

mx1

3有增根兩種情況，分別求解即可得．

x1

mx1

【詳解】解：將方程3化成整式方程為mx13x3，即(m3)x2，

x1

mx1

因為關于x的方程3無解，

x1

所以分以下兩種情況：

①整式方程(m3)x2無解，

則m30，解得m3；

mx1

②關于x的方程3有增根，

x1

則x10，即x1，

將x1代入(m3)x2得：m32，解得m1；

綜上，m的值為1或3，

故選：B．

【點睛】本題考查了分式方程無解，正確分兩種情況討論是解題關鍵．

11xa

例2（2022·湖北黃石·中考真題）已知關于x的方程的解為負數，則a的取值范圍是

xx1x(x1)

__________．

【答案】a1且a0

【分析】把a看作常數，去分母得到一元一次方程，求出x的表達式，再根據方程的解是負數及分母不為0

列不等式并求解即可．

11xa

【詳解】解：由得xa1，

xx1x(x1)

11xa

關于x的方程的解為負數，

xx1x(x1)

x0a10a1

x0，即a10，解得a1，即a1且a0，

x1a11a0

故答案為：a1且a0．

第21頁共75頁.

【點睛】本題考查解分式方程，根據題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問題的關鍵．

例3（2020·新疆·中考真題）某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價比A款保溫杯多

10元，用480元購買B款保溫杯的數量與用360元購買A款保溫杯的數量相同．

(1)A、B兩款保溫杯的銷售單價各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B兩款保溫杯很快售完，該超市計劃再次購進這兩款保溫杯共120個，且A款保溫

杯的數量不少于B款保溫杯數量的兩倍．若A款保溫杯的銷售單價不變，B款保溫杯的銷售單價降低10%，

兩款保溫杯的進價每個均為20元，應如何進貨才能使這批保溫杯的銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

【答案】(1)A款保溫杯的銷售單價是30元，B款保溫杯的銷售單價是40元

(2)進貨方式為購進B款保溫杯數量為40個，A款保溫杯數量為80個，最大利潤是1440元

【分析】（1）設A款保溫杯的銷售單價是x元，B款保溫杯的銷售單價是（x+10）元，根據用480元購買B

款保溫杯的數量與用360元購買A款保溫杯的數量相同列分式方程解答即可；

（2）設購進B款保溫杯數量為y個，則A款保溫杯數量為（120-y）個，根據題意求出0<y≤40，設總銷售

利潤為W元，列出一次函數，根據一次函數的性質求解即可．

（1）

解：設A款保溫杯的銷售單價是x元，B款保溫杯的銷售單價是（x+10）元，

480360

，

x10x

解答x=30，

經檢驗，x=30是原方程的解，

∴x+10=40，

答：A款保溫杯的銷售單價是30元，B款保溫杯的銷售單價是40元；

（2）

B款保溫杯銷售單價為40×（1-10%）=36元，

設購進B款保溫杯數量為y個，則A款保溫杯數量為（120-y）個，

120-y≥2y，

解得y≤40，

∴0<y