線性空間與線性變換05目錄/Contents5.15.25.3維數、基與坐標線性變換線性空間的定義與性質目錄/Contents5.1線性空間的定義與性質一、線性空間的定義二、線性空間的性質三、線性空間的子空間對于任意兩個元素

，稱為

與

的數量乘積，如果這兩種運算滿足以下八條運算規律(設

):定義1稱為

與

的和，在

中總有唯一確定的一個元素

與之對應，記作

.一元素

，在

中總有唯一確定的一個元素

與之對應，記作

設

是一個非空集合，

為實數域.對于

中任一數

與

中任一、線性空間的定義(v)(vi)(vii)(viii)(i)加法交換律：(ii)加法結合律：(iii)在

中存在零元素

0；對于任何

，都有是

；(iv)負元素：對于任何

，都有是

的負元素

，使一、線性空間的定義

線性空間有時也被稱為向量空間，例1次數不超過

的多項式的全體，記作

，這是因為：通常的多項式加法、數乘多項式的乘法兩種運算顯然滿足線性運算規律，線性空間中的元素不論其本來的性質如何，統稱為向量.線性空間中滿足上述八條規律的加法及數乘運算，統稱為線性運算.即對于通常的多項式加法、數乘多項式的乘法構成線性空間.故只要驗證

對運算封閉.

那么，

就稱為實數域

上的線性空間.一、線性空間的定義

對

中任意兩個多項式

，

，及任意的實數

，有

所以

是一個線性空間.一、線性空間的定義一、線性空間的定義例2例3是實數域上的矩陣全體所成的集合.設加法和數乘構成線性空間.顯然

是非空的，

對通常的矩陣這是因為：通常的矩陣加法和數乘運算顯然滿足線性運算規律，并且

對通常的矩陣加法和數乘運算封閉.一、線性空間的定義也是實數域上的線性空間.特別地，當

時，

階方陣的全體所成的集合一、線性空間的定義例4對于通常的多項式加法和乘數運算不構成線性空間.

次多項式的全體即

對運算不封閉.這是因為一、線性空間的定義例5對于通常的有序數組的加法及如下定義的乘法

個有序實數組成的數組的全體可以驗證

對運算封閉，但是

，不滿足第五條運算規律，即所定義的運算不構成線性空間.不是線性運算，所以不是線性空間.一、線性空間的定義正實數的全體，記作

，在其中定義加法及乘數運算為驗證對上述加法與乘數運算構成線性空間.首先驗證對定義的加法和數乘運算封閉.對加法封閉：對任意的，有；對數乘封閉：對任意的

，有

.例6證明一、線性空間的定義下面驗證定義的運算是線性運算.01OPTION02OPTION在

中存在零元素

1，對于任何

，都有是

03OPTION對于任何

，都有是

的負元素

，使04OPTION一、線性空間的定義因此，

對于所定義的運算構成線性空間.05OPTION08OPTION07OPTION06OPTION一、線性空間的定義二、線性空間的性質二、線性空間的性質三、線性空間的子空間定義2三、線性空間的子空間例7目錄/Contents5.15.25.3線性變換線性空間的定義與性質維數、基與坐標目錄/Contents5.2維數、基與坐標一、線性空間的基、維數與坐標二、基變換與坐標變換一、線性空間的基、維數與坐標一、線性空間的基、維數與坐標一、線性空間的基、維數與坐標定義2例1一、線性空間的基、維數與坐標一、線性空間的基、維數與坐標例2二、基變換與坐標變換二、基變換與坐標變換二、基變換與坐標變換二、基變換與坐標變換二、基變換與坐標變換目錄/Contents5.15.25.3線性空間的定義與性質維數、基與坐標線性變換目錄/Contents5.3線性變換一、線性變換的定義二、線性變換的性質三、線性變換的矩陣表示式一、線性變換的定義定義1一、線性變換的定義一、線性變換的定義一、線性變換的定義例2一、線性變換的定義一、線性變換的定義例3一、線性變換的定義二、線性變換的性質二、線性變換的性質性質4證明二、線性變換的性質

線性變換是一個很抽象的概念，如何將它具體化呢？我們發現，如果給定線性空間

的一個基

，則對

中任意向量

，有

由線性變換的性質得：三、線性變換的矩陣表示式所以

也可由基

來線性表示，

于是

在

下的像就由基的像

所唯一確定.而

，即有三、線性變換的矩陣表示式由上式得：

，

矩陣

稱為線性變換

在基

下的矩陣.顯然，矩陣

由基的像

唯一確定.反之，如果給定一個矩陣

作為某個線性變換

在基

下的矩陣，根據變換

保持線性關系的特性，我們來推導變換

必須滿足的關系式.其中也就是給出了這個基在變換下的像，三、線性變換的矩陣表示式中的任意向量記為，有即三、線性變換的矩陣表示式三、線性變換的矩陣表示式例5在

中取基求微分運算D

的矩陣.解所以

在這組基下的矩陣為三、線性變換的矩陣表示式例6設

上線性變