挑戰2023年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題25以四邊形為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD邊上的點（點E不與點

B，C重合），且．

∠???=45°

(1)當時，求證：；

(2)猜?想?B=E，??EF，DF三條?線?段=之??間存在的數量關系，并證明你的結論；

(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，，垂足為K，交AC于點H且．若，，

請用含a，b的代數式表示EF的長．??⊥????=????=???=?

【例2】（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E不與點B重合），連

接AE，以AE為一邊構造矩形AEFG（A，E，F，G按逆時針方向排列），連接DG．

(1)如圖1，當＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數量關系與位置關系；

????

(2)如圖2，當??＝??＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數量關系與位置關系，并說明理由；

????

(3)如圖3，在（??2）??的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，MD，ND，若AB

＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．

5

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【例3】（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點（不與點C重合），

作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長CG至點C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．

(1)直接寫出圖中與AFB相似的一個三角形；

(2)若四邊形AFCC′△是平行四邊形，求CE的長；

(3)當CE的長為多少時，以C′，F，B為頂點的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

【例4】（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F同時

從A點出發，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的2路3線勻速運動，當點E，F相遇時停止

運動．

(1)如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設CE與DF交

2

于點P，求線段EP與CP長度的比值；3

(2)如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，

求y關于x的函數解析式，并指出當x為何值時，y的值最大3，最大值為多少？

(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、

1

F在什么位置能使EM＝HM．并說明3理由．

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【例5】（2022·上海·中考真題）平行四邊形，若為中點，交于點，連接．

??????????????

(1)若，

①證明??=??為菱形；

②若????，，求的長．

(2)以??為=圓5心，??=為3半徑?，?為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點記為點，且．若在直線

上，求?的值．????????=2?????

??

??

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一、解答題【共20題】

1．（2022·山西實驗中學模擬預測）綜合與實踐：

問題情境：在綜合與實踐課上，數學老師出示了一道思考題：

如圖，在正方形中，是射線上一動點，以為直角邊在邊的右側作等腰直角三角形，使得

，????，且?點恰好?在?射線上．???????

∠???=90°??=?????

(1)如圖1，當點在對角線上，點在邊上時，那么與之間的數量關系是_________；

探索發現：??????????

(2)當點在正方形外部時如圖2與圖3，（1）中的結論是否還成立？若成立，請利用圖2進行證明；若不

成立，請?說明理由?；???

問題解決：

(3)如圖4，在正方形中，，當是對角線的延長線上一動點時，連接，若，求

的面積．??????=22???????=62△???

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2．（2022·湖北·武漢市新洲區陽邏街第一初級中學三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動點，將正

方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點1．求證：?????；??

（2）在（?1?）的條件下?，如圖?，延長?交?邊于點??．?若??，求的值△；???≌△???

??2??

（3）如圖，四邊形為矩形2，同樣沿??著??折疊，連接?，延??長=3，??分別交于，兩點，若，

??3??4

則的值為3_______?__?_?_?．（直接寫出結果）??????????????=4,??=5

??

??

3．（2022·浙江嘉興·一模）如圖1，已知正方形和正方形，點B、C、E在同一直線上，，

．連接、．??????????=?(?>1)

??=1????

(1)求圖1中、的長（用含m的代數式表示）．

(2)如圖2，正??方形??固定不動，將圖1中的正方形繞點C逆時針旋轉度（），試探究、

之間的數量關系?，??并?說明理由．?????0°<?≤90°??

?(3?)如圖3，在（2）條件下，當點A，F，E在同一直線上時，連接并延長交于點H，若，求m的

值．??????=2

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4．（2022·北京市第十九中學三模）如圖，在中，，，是的中點，是延長線

上一點，平移到，線段的中垂線與線△段???的延長∠?線??交=于9點0°，?連?接>??、?．?????

?????????????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數量關系，并證明．

??????

5．（2022·浙江紹興·一模）如圖①，在正方形中，點E與點F分別在線段上，且四邊形是正方

形．??????,??????

(1)試探究線段與的關系，并說明理由．

(2)如圖②若將條??件中??的四邊形與四邊形由正方形改為矩形，，．

①線段在（1）中的關系?仍?然??成立嗎？若?成??立?，請證明，若不成立，??請=寫3出?你?=認4為正確的關系，并說明理

由．??,??

②當為等腰三角形時，求的長．

△?????

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6．（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學校三模）如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接

，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F?處??，?延長??交=8的?延?長=線10于點G．??

??????????????

(1)求線段的長；

(2)如圖2，??M，N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設．

①求證四邊形AFGD為菱形；????∠???=∠?????=?

②是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

△???

7．（2022·福建省福州教育學院附屬中學模擬預測）問題發現．

(1)如圖，中，，，，點是邊上任意一點，則的最小值為______．

(2)如圖①，R矩t形△???中，∠?=90，°??=3，點??=、4點分?別在??、上，求??的最小值．

(3)如圖②，矩形????中，??=3，??=4，點?是?邊上一點?，?且??，點??是+??邊上的任意一點，把

沿翻③折，點的?對??應?點為?，?=連3接??=、4，四?邊?形?的面積是?否?=存2在最?小值?，?若存在，求這個最小△值?及??此

時??的長度．?若不存在，請?說明理由??．??????

??

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8．（2022·廣東·三模）特例發現：

如圖1，點E和點F分別為正方形ABCD邊BC和邊CD上一點，當CE＝CF時，則易得BE＝DF，BE⊥DF．

(1)如圖2，點E為正方形ABCD內一點，且∠ECF＝90°，CF＝CE，點E，F在直線CD的兩側，連接EF，BE，

DF，探究線段BE與DF之間的關系，并說明理由；

(2)如圖3，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，點E在矩形ABCD內部，∠ECF＝90°，點E，F在直線BC的兩

側，CE∶CF＝1∶2，連接EF，BE，DE，BF，DF．請探究線段DE，BF之間的關系，并說明理由；

(3)若（2）中矩形ABCD的邊AB＝3，Rt△CEF的邊CE＝1，當BE＝DF時，求BF的長．

9．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點E在邊上，，點P是邊上一個動

點，連結，將沿翻折得??到???．?=6∠?=60°????=4??

??△?????△???

(1)當時，求的度數；

(2)若?點?F∥落??在對角線∠???上，求證：；

(3)若點P在射線上?運?動，設直線△?與?直?線～△?交??于點H，問當為何值時，為直角三角形．

????????△???

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10．（2022·廣東·深圳市南山外國語學校（集團）二模）問題初探：數學興趣小組在研究四邊形的旋轉時，遇到

了這樣的一個問題．如圖1，四邊形ABCD和BEFG都是正方形，于H，延長HB交CG于點M．通過

測量發現CM＝MG．為了證明他們的發現，小亮想到了這樣的證明?方?法⊥：??過點C作于點N．他已經證

明了，但接下來的證明過程，他有些迷茫了．??⊥??

△???≌△???

(1)請同學們幫小亮將剩余的證明過程補充完整；

(2)深入研究：若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖2所示），且（其中k＞0），請直接寫出線段

????

CM、MG的數量關系為______；??=??=?

(3)拓展應用：在圖3中，在和中，，，連接BD、

CE，F為BD中點，則AF與??C△E的??數?量?關?系△為??__?____．∠???=∠???=90°∠???=∠???=30°

11．（2022·廣東·佛山市華英學校三模）已知，在四邊形中，與相交于點，，平分

．???????????∥??,??∥????

∠???

(1)如圖，求證：四邊形是菱形；

(2)如圖1，過點作???于?，若，，求的長；

(3)如圖2，??，?點⊥?為??延長線?上?一=點6，?連?接=8交?于?點，點、分別是、邊上一點，

且3?，?過=點??作?的垂??線，垂足為，????，當???，??時，??求的長．(??>??)

??=??????∠???=∠?????=10??=8??

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12．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）在矩形中，，是的中點，點是上一點，連接，

過點作交于點，連接．??????>??????????

???⊥???????

(1)如圖（1），點在上運動時的大小是否改變？請說明理由．

(2)如圖（2），連接???，若∠?，??交于點，，，求的值．

??

????⊥????⊥???????=4??=26??

13．（2021·吉林·長春市赫行實驗學校二模）閱讀理解在學習中，我們學習了一個定理：直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半，即：如圖1，在[中，]，若點是斜邊的中點，則．

1

靈活應用如圖2，中，RtΔAB，C∠?，??=90，°點是?的中點??，將沿??翻=折2?得?到，

[連接，]．Δ???∠???=90°??=6??=8???Δ?????Δ???

????

(1)根據題意，則的長為．

(2)判斷的形?狀?，并說明理由．

(3)請直接Δ?寫??出的長．

??

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14．（2022·廣東·東莞市光明中學三模）中，，，點為直線上一動點點不與，

重合，以為邊在右側作菱形△?，?使?∠???=，60連°接??．=?????(??

?)????????∠???=60°??

(1)觀察猜想：如圖，當點在線段上時，

與的位置關1系為：_?_____．??

①??，??，之間的數量關系為：______；

②(2)數??學思??考：?如?圖，當點在線段的延長線上時，結論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不

成立，請你寫出正確2結論再?給予證明?．?①②

(3)拓展延伸：如圖，當點在線段的延長線上時，設與相交于點，若已知，，求

1

的長．3??????????=4??=2????

15．（2022·福建省福州屏東中學三模）如圖，拋物線與軸交于點，對稱軸交軸于點

2

，點是拋物線在第一象限內的一個動點，?交=軸??于?點4?，?交+2軸(?于<點0)，?軸于?點，點是?拋物線

?的頂點?，已知在點的運動過程中，的最大??值⊥是???．?????⊥???

???42

(1)求點的坐標與的值；

(2)當點?恰好是?的中點時，求點的坐標；

(3)連結?，作點??關于直線的對?稱點，當點落在線段上時，則點的坐標為______直接寫出答案

??????????.()

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16．（2022·廣東·深圳市龍華區丹堤實驗學校模擬預測）【操作與發現】

如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞

點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．

(1)【實踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是______．

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，

1

求證：M是CD的中點．=3

(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知

∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長是______．

17．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，

，連接，．????△??????<??∠???=90°??=

??????

(1)如圖，求證：≌；

(2)直線1與相交△于?點??．△???

如圖??，??于點?，于點，求證：四邊形是正方形；

①如圖2，連??接⊥?，?若??，?⊥??，直?接寫出在?旋?轉??的過程中，線段長度的最小值．

②3????=4??=2△?????

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18．（2022·江蘇鎮江·中考真題）已知，點、、、分別在正方形的邊、、、上．

????????????????

(1)如圖1，當四