2/2《函數的單調性》教學設計二教學設計一、情境與問題我們知道，“記憶”在我們的學習過程中扮演著非常重要的角色，因此有關記憶的規律一直都是人們研究的課題.德國心理學家艾賓浩斯曾經對記憶保持量進行了系統的實驗研究，并給出了類似下圖所示的記憶規律.如果我們以x表示時間間隔（單位：h），y表示記憶保持量（單位：%），則不難看出，上圖中，y是x的函數，記這個函數為.這個函數反映出記憶具有什么規律？你能從中得到什么啟發？情境與問題中的函數反映出記憶的如下規律：隨著時間間隔x的增大，記憶保持量y將減小.給定一個函數，人們有時候關心的是，函數值會隨著自變量增大而怎樣變化，類似的內容我們在初中曾經接觸過.如下圖，從正比例函數的圖象可以看出，當自變量由小變大時，這個函數的函數值逐漸變大，即y隨著x的增大而增大；從反比例函數的圖象可以看出，在和上，這個函數的函數值y都隨著x的增大而減小.二、探究新知[嘗試與發現1]怎樣用不等式符號表示“y隨著x的增大而增大”“y隨著x的增大而減小”？歸納總結出相關概念：一般地，設函數的定義域為A，區間.如果對于區間I內的任意兩個值，當時，都有，那么稱在區間Ⅰ上是增函數（如圖（1）），I稱為的增區間.如果對于區間I內的任意兩個值，當時，都有，那么稱在區間I上是減函數（如圖（2）），I稱為的減區間.如果函數在區間I上是增函數或減函數，那么稱函數在區間I上具有單調性.增區間和減區間統稱為單調區間.由增函數和減函數的定義可知，前面給出的例子中，函數在R上是增函數；函數在上是減函數，在上也是減函數.想一想：你能否說函數在定義域內是減函數？為什么？[嘗試與發現2]下圖為函數的圖象，由圖可知，函數在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數.你能找出圖中的最高點和最低點嗎？總結函數的最值的定義：一般地，設的定義域為A.如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最大值，記為；如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最小值，記為.不難看出，如果函數有最值而且函數的單調性容易求出，則可利用函數的單調性求函數的最值.三、典型例題例1畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：（1）；（2）.解（1）函數圖象如圖（1），增區間為，減區間為.（2）函數圖象如圖（2），和是兩個減區間.由“嘗試與發現2”可知，從函數的圖象能方便地看出函數的單調性.但一般情況下，得到函數的圖象并不容易，而且手工作出的圖象往往都不精確，因此我們要探討怎樣從函數的解析式來證明函數的單調性.這可以利用函數單調性的定義和不等式的證明方法進行證明.例2證明：函數在區間上是增函數.證明設為區間上的任意兩個值，且，則，因為，所以，即.故在區間上是增函數.思考：你能總結用定義法證明函數單調性的步驟嗎？提示：設值、作差、變形、判號、下結論.例3判斷函數的單調性，并求這個函數的最值.解任取，且，則.因為，所以，所以這個函數是增函數.因此，當時，有，從而這個函數的最小值為，最大值為.例3中，函數的最值也可由不等式的知識得到：因為，所以，所以.例4已知函數的定義域是.當時，是增函數；當]時，是減函數.試證明在時取得最大值.證明因為當時，是增函數，所以對于任意，都有.又因為當時，是減函數，所以對于任意，都有.因此，對于任意都有，即在時取得最大值.四、課堂小結1.增函數、減函數的定義.2.用圖象法判斷函數的單調性：增函數的圖象從左到右上升，減函數的圖象從左到右下降.3.（定義法）證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論.4.函數的最大值、最小值的概念.五、布置作業教材第113頁練習第3，4，5題板書設計5.3函數的單調性一般地，設函數的定義域為A，區間.如果對于區間I內的任意兩個值，當時，都有，那么稱在區間I上是增函數，I稱為的增區間.如果對于區間I內的任意兩個值，當時，都有，那么稱在區間I上是減函數，I稱為的減區間函數的最大值、最小值：一般地，設的定義域為A.如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最大值，記為；如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最小值，記為例1例2例3例4課堂小結：（1）增函數、減函數的定義（2）用圖象法判斷函數的單調性：增函數的圖象從左到右上升，減函數的圖象從左到右下降（3）（定義法）證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論（4）函數的最大值、最小值的概念教學研討在本節課的教學中，學生可能遇到的問題是不能歸納抽象出函數單調性的定義，不會根據定義證明函數的單調性以及求一個具體函數的最值.產生這些問題的原因是歸納概括能力不高，對于函數單調性的定義還不是很理解