建筑工程測量

本單元主要介紹測量誤差的產生、誤差的分類及特性、衡量精度的標準、誤差的傳播定律、中誤差的計算等。重點是中誤差的計算。難點是誤差的傳播定律。單元二測量誤差的基本知識2.1測量誤差及其表示方法概述一.1、誤差誤差是觀測值與理論值之差。 誤差△=觀測值L－理論值X

如:四邊形內角和誤差=－1′

三角形內角和誤差=＋50″

線段長度誤差=－0.015m

內角和觀測值：

359°59′00″內角和觀測值180°00′50″真長：50m測量值：49.985m2、粗差

概念：超限的誤差，也稱錯誤。

原因：觀測者不當使用儀器或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等或外界條件發生意外的顯著變化而產生的錯誤。剔除掉（應該避免）措施：操作細心、多余觀測。 1.絕對誤差真誤差△=觀測值－真值似真差V=觀測值－似真值似真值：近似值、算術平均值二、誤差的表示方法

有些觀測量的精度可以用中誤差來評定，但有些觀測量僅用中誤差評定是不能反映出精度的高低的。如距離測量的精度，若測量100m和200m中誤差都是±5㎝，但這兩段距離的精度并不一樣，顯然，200m的精度優于100m精度。此時應用相對誤差評定更為準確。100m±5㎝200m±5㎝ABCD

相對誤差K是中誤差的絕對值m

與相應觀測值D

之比，通常以分子為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:2、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。

計算舉例1：

往返丈量一段距離，往量得250.015m，返量得250.005m。求這段距離丈量的相對誤差？解:D平=250.010m,往返較差m=0.01m,則相對誤差

=1/(250.01/0.01)=1/25000

在同一觀測條件下，取一列真誤差平方和的平均值開平方作為這列誤差的中誤差來評定一組觀測值的精度。

一般情況下，中誤差越大，表示誤差的離散性大，觀測值精度越低，反之，精度越高。

m=±3中誤差△——真誤差；n——觀測次數。中誤差計算舉例1.已知真值計算中誤差

如：對一個三角形內角重復觀測5次，觀測結果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求觀測值中誤差。

觀測值 真誤差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24″ 576″180°00′30″ ＋30″ 900″179°59′48″ －12″ 144″180°00′06″ ＋06″ 36″理論值:180° =1800″ m=± =±19″(觀測值中誤差)

一般真誤差

i不可求，我們只能根據最或然值求出改正數即白塞爾公式（真值未知，v為改正數）Vi=L-li（2）真實值未知（似真差）上式中，偶然誤差v為觀測值

與似真值X（平均值）之差：

如對一角度進行4次觀測,觀測數據如下:

觀測值 V VV50°29′30″

－30 90050°30′00″000050°30′12″

＋12 14450°30′18″

＋18 324平均值為:50°30′00″0 1368″m= =±21.4″例：設直線AB進行5次，其結果為40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中誤差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m，V2=0.001m，V3=0，V2=0.001m，V1=-0.001m若不知道真值,則用平均值作為似真值,V表示似真差,V=觀測值－似真值，用似真差計算相對中誤差公式：

觀測值中誤差：m=±

平均值中誤差：M=±m/=±

相對中誤差：K=

例2:對一段距離觀測了5次,觀測結果為150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m。試計算這段距離的最或是值、最或是值的中誤差、相對中誤差、測量一次的中誤差？解：5次結果的平均值（即最或是值）：150.0044m,

似真差Vi:＋0.6,＋3.6,-4.4,-1.4,＋1.6 =37.2

最或是值中誤差M=± ㎜一次觀測值中誤差m

m=±M=±×1.86=±4.2㎜K =1/(150/0.00186)=1/80645 (相對中誤差)

定義：

由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。4、容許誤差（極限誤差）

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區別誤差和錯誤的界限。偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.72.2測量誤差產生的原因儀器、工具的誤差 儀器的殘余誤差，儀器、工具的制造誤差。 如：水準儀i角誤差，經緯儀的2C誤差、橫軸不水平誤差、豎盤指標差，標尺刻劃誤差，標尺零點差，度盤刻劃誤差等等。人為誤差 對中誤差，整平誤差，瞄準誤差，讀數誤差，立尺誤差等。外界環境影響 地球曲率，大氣折光，氣候情況（風力大小，氣溫高低，透明度，濕度）外界干擾（震動……） 觀測條件：儀器、觀測者、外界環境統稱為觀測條件。

2.3誤差的分類及特性

每個觀測值都包含有誤差，誤差有大有小，有正有負，有固定的，也有變化的。 根據誤差的性質不同，測量誤差可分為兩大類：

系統誤差和偶然誤差。 △=△系＋△偶1.系統誤差

在一定的觀測條件下進行一系列觀測，如果誤差的符號與大小保持不變或按一定的規律變化，這類誤差稱為系統誤差。

如：i角誤差、2C誤差、指標差、度盤偏心差、標尺零點差、鋼尺尺長誤差、……

系統誤差主要來源于儀器、工具的誤差，對測量成果的影響有累積性，應設法消除。系統誤差的處理方法：

A.

檢校儀器工具

B.加上改正數法

C.采取對稱觀測（盤左盤右觀測、前后視距相等）

2.偶然誤差

在一定的觀測條件下進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號呈現出偶然性，即沒有一定的規律，這類誤差稱為偶然誤差。 偶然誤差主要來源于人和氣候環境。 如：氣泡居中誤差，估讀誤差，瞄準誤差，環境影響。

特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實用意義。

偶然誤差的特性(1)有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；(2)漸降性：小誤差出現的概率比大誤差大；(3)對稱性：絕對值相等的正負誤差出現的概率相等；(4)抵償性：當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零：偶然誤差的處理

偶然誤差與操作熟練程度、儀器精度、外界環境有關，是不可避免的。但可以通過下列方法削減對測量成果的影響：

A.提高儀器的精度等級；

B.進行多余觀測，取中數；

C.求平差值(誤差分配)。判斷下列誤差屬性：

鋼尺尺長誤差、定直線誤差、標尺傾斜誤差、水準管氣泡居中誤差、讀數誤差、水準儀i角誤差、照準目標誤差、對中誤差、豎盤指標差、視準軸誤差、地球曲率和大氣折光、橫軸誤差、瞄錯目標、讀錯數、溫度變化、風大目標不穩定。2.5誤差的傳播定律誤差傳播:直接觀測量的誤差以一定的方式傳遞給間接觀測量。誤差傳播定律：是指各觀測值中誤差與函數中誤差之間的關系。

Y=f(x1,x2,…，xn)

廣泛用來計算和評定函數值（間接觀測量）的精度。如：三角形內角和W=A＋B＋C

而A、B、C的觀測都是有誤差的，它們的誤差引起內角和W也有誤差，但函數的誤差并不是簡單的和關系。ABCMNh1h3h5h2h4hn1.線性函數的中誤差（1）倍數函數 Y=kX

函數中誤差my=kmx

（2）和差函數 Y=X1±X2±

X3±

X4±…±Xn

函數中誤差my2=m12＋m22＋

m32＋

m42＋

…＋mn2

（3）線性函數Y=k1X1±k2X2±k3X3±k4X4±…±knXn

函數中誤差：my2=（k1m1）2＋（k2m2）2

＋（k3m3）2

＋（k4m4）2

＋…＋（knmn）2

若為等精度觀測，則m1=m2=m3=m4=mn=m2.非線性函數中誤差計算步驟： （1）列函數式（變量應互相獨立）； （2）分別對各觀測值（變量）求導，化為線性函數； （3）根據誤差傳播定律，代入線函數中誤差公式計算。應用誤差傳播定律計算函數中誤差時，應注意： 列出的函數式，變量之間必須是相互獨立的，否則不能套用函數中誤差公式。計算舉例1.對一段距離S進行等精度觀測n次，每次觀測中誤差均為mS，求平均值中誤差MS=？解：平均值S=（S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn）/n dS=（1/n）ds1＋（1/n）ds2＋（1/n）ds3＋（1/n）ds4＋…

＋（1/n）dsn

MS2=（1/n）2ms12＋（1/n）2ms22＋（1/n）2ms32＋ （1/n）2ms42＋…＋（1/n）2msn2

=n×（1/n）2ms2

MS= ×（1/n）ms =ms/ （前面講過）

2.設對某三角形三個內角進行觀測，A角的中誤差為±30″，B角中誤差為±20″，C角中誤差為±10″，求三角形的內角和的中誤差m=？解：內角和 W=A+B+C mW2=mA2+mB2＋mc2