專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關系離不開數量的計算。相似和勾股是產生等式的主要依據（其他依據還有面積法，三角函數等），因此要掌握相似三角形的基本圖形，體會其各種演變和聯系。相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“A”字模型 1模型2.“X”字模型（“8”字模型） 4模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 6 10【知識儲備】A字型和8（X）字型的應用難點在于過分割點（將線段分割的點）作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。證明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可證：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。④內接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。證明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可證：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為．例2．（2023·廣東廣州·模擬預測）如圖，正方形內接于，點，在上，點，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．例3．（2024·湖南永州·模擬預測）如圖：中，，，，把邊長分別為，，，…的n個正方形依次放在中；第一個正方形的頂點分別放在的各邊上；第二個正方形的頂點分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長為．例4．（2024·山東·中考真題）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4例5．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點，(1)判斷與是相似三角形嗎？請說明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長．模型2.“X”字模型（“8”字模型）“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。證明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（對頂角）∴△AOB∽△DOC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，同理可證：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。證明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（對頂角），∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；∵∠AOB=∠DOC（對頂角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。例1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．例2.（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點O，過點O，交于點E，交于點，．（1）求證：．（2）若，求．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結分別交，于點，，則的長為．例4．（23-24九年級上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長為3的等邊的重心為點O，求與的面積；(2)性質探究：如圖二，已知的重心為點O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由；(3)性質應用：如圖三，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線AC于點M．若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；若，求正方形ABCD的面積

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。∴。②兩“A”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。證明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。兩式相加得到：，即，故。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結論：AF=AG，。證明:同②中的證法，易證：，，∴，即AF=AG，故。例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點，作于點，點是的中點，于點，交于點，若，，則值為（

）

A． B． C． D．例3．（2024·湖北·模擬預測）（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點E，點F在上．求證：；

小雅同學的想法是將結論轉化為來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點G，點H在上，．求證：．（3）【拓展運用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點M，過點M作，交于點E，交于點F，連接交于點N，過點N作，交于點G，交于點H，若，，直接寫出的長．例4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實踐在初中物理學中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯系．請耐心閱讀以下材料：【光學模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經過焦點的光線經凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點，過點作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗證】設焦點到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當時，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請結合上述材料，解決以下問題：(1)請補充上述證明過程中①②所缺的內容(用含的代數式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為__________；(3)如圖2，由物理學知識知“經過點且平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后經過點”，小明在做凸透鏡成像實驗時，不斷改變物距發現光線始終經過主光軸上一定點．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說明這一物理現象．1．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在中，平分分別交，，延長線于點，，，記與的面積分別為，，若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，點是AD的中點，連接，相交于點，過作AD的平行線交AB于點，若，則的值是（

）A．6 B．5 C．8 D．43．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結論錯誤的是（

）A．B．C．D．4．（2024九年級下·廣東·專題練習）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點E，F分別在，上，交于點N，則的長為（）A．15 B．20 C．25 D．305．（2024·云南楚雄·模擬預測）如圖，在中，E線段上一點，且，過點C作，交的延長線于點D．若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．6．（2024·浙江·模擬預測）如圖，矩形中，是上的點，連接交對角線于點，若，，則的值為（

）A． B． C．2 D．1．57．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在中，對角線，交于點，點在上，點在上，連接，，，交于點．下列結論錯誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則9．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點，N，E是邊的三等分點．連接并延長與的延長線相交于點P．若，則線段的長為（）A．5 B．7 C．6 D．810．（2024·江蘇南京·一模）如圖，，分別垂直，垂足分別為，，連接，交于點，作，垂足為．設，，，若，則下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．13．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點，且．若，則．

14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當的值最小時，則．

15．（23-24九年級上·河南駐馬店·期中）如圖，，點在上，與交于點，若，則．16．（2023·吉林長春·統考三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，是邊上一點，是的中點，過點作，交的延長線于點，則易證是線段的中點．【經驗運用】請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．求證：①是的中點；②CG與BE之間的數量關系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形中，，點在上，點在的延長線上，且滿足，連接交于點．探究和之間的數量關系是：____________________________；17．（2024·遼寧大連·二模）【問題初探】（1）在數學活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，點是的中點，點是的一個三等分點，且，連接，交于點，求證：．①如圖2，小鵬同學利用“三角形中位線的性質”的解題經驗，取的中點，連接，再通過“全等三角形的性質”解決問題；②如圖3，小亮同學利用“三角形相似的性質”的解題經驗，過點作，交的延長線于點，再通過“全等三角形的性質”解決問題．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發現之前兩名同學都運用了數學的轉化思想，將證明三角形線段的關系轉化為我們熟悉的角度去理解．為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4，在中，點是的中點，點，是的三等分點，，與分別交于點，，求的值．【學以致用】（3）如圖5，在中，，在射線上取點，使，連接，在上取點，射線，相交于點，當時，求的值．18．（2023·湖北隨州·模擬預測）[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點B與點C重合，折痕為，則與的數量關系為________；[思考說理