高等數學課件-同濟版微積分基本公式函數的概念1定義域函數的定義域是所有允許輸入的自變量的值的集合。2值域函數的值域是所有可能的輸出值的集合。3對應關系函數將定義域中的每個自變量值唯一地映射到值域中的一個輸出值。函數的性質單調性函數在某個區間內，如果自變量的值增大，函數的值也隨之增大，則稱該函數在該區間內單調遞增；反之，如果自變量的值增大，函數的值隨之減小，則稱該函數在該區間內單調遞減。奇偶性如果函數滿足f(-x)=f(x)，則稱該函數為偶函數；如果函數滿足f(-x)=-f(x)，則稱該函數為奇函數。周期性如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱該函數為周期函數，T稱為該函數的周期。基本初等函數指數函數形如y=a^x,其中a>0且a≠1，定義域為R，值域為(0,+∞)對數函數形如y=log_ax，其中a>0且a≠1，定義域為(0,+∞)，值域為R三角函數包括正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數反函數定義設函數f(x)的定義域為D，值域為E。如果對任意y∈E，在D中存在唯一的x使得f(x)=y，則稱f(x)在D上是單射的。對于一個單射函數f(x)，我們可以定義一個新的函數g(y)，使得g(f(x))=x，稱g(y)為f(x)的反函數，記為f-1(x)。性質反函數的定義域為f(x)的值域，值域為f(x)的定義域。反函數的圖像關于直線y=x對稱。反函數的導數為原函數導數的倒數，即(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))。復合函數復合函數是由多個函數組合而成的函數，例如f(g(x))，其中g(x)為內層函數，f(x)為外層函數。求復合函數的導數需要使用鏈式法則，即外層函數對內層函數求導，再乘以內層函數的導數。例如，求y=sin(x^2)的導數，可以先求sin(x^2)對x^2求導，即cos(x^2)，再乘以x^2的導數，即2x，最終得到y'=2xcos(x^2)。極限的概念定義當一個函數的輸入值無限接近某個值時，函數的輸出值無限接近某個特定值，這個特定值就是函數在這個點的極限。符號函數f(x)在x趨近于a時的極限記為：lim(x->a)f(x)。重要性極限的概念是微積分的基礎，它為導數、積分等概念奠定了理論基礎。極限的性質常數性質常數的極限等于它本身。極限唯一性如果函數的極限存在，則該極限是唯一的。加法和減法兩個函數的極限的和（或差）等于它們各自極限的和（或差）。乘法和除法兩個函數的極限的乘積（或商）等于它們各自極限的乘積（或商）。導數的概念1定義函數在某一點的導數定義為函數在該點處的變化率，即函數值的變化量與自變量的變化量的比值。用公式表示為：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。2幾何意義導數代表了函數曲線在該點處的切線的斜率，反映了函數在該點處的變化趨勢。3應用導數在微積分、物理、工程等領域有著廣泛的應用，例如求函數的極值、計算物體運動的速度和加速度等。導數的幾何意義導數在幾何上代表函數曲線在某一點的切線的斜率。具體來說，對于函數y=f(x)在點x=a處的導數f'(a)等于曲線y=f(x)在點(a,f(a))處的切線的斜率。導數的性質常數函數常數函數的導數為零。冪函數冪函數的導數等于指數減一的冪乘以系數。和差法則兩個函數和或差的導數等于每個函數導數的和或差。積法則兩個函數積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數加上第一個函數乘以第二個函數的導數。高階導數二階導數函數的一階導數的導數稱為二階導數，它反映了函數變化率的快慢程度。高階導數函數的二階導數的導數稱為三階導數，以此類推，稱為函數的高階導數。物理意義二階導數在物理學中用于描述加速度，三階導數用于描述加速度的變化率。應用高階導數在數學分析、物理學、工程學等領域都有廣泛的應用。微分的概念1定義函數在一點處的微分是函數增量線性主部的部分.2公式dy=f'(x)dx.3意義微分近似地刻畫了函數在一點附近的局部變化.微分是函數在一點處增量的線性近似，它反映了函數在該點附近的局部變化趨勢。微分公式為dy=f'(x)dx，其中dy為函數的微分，f'(x)為函數的導數，dx為自變量的增量。微分的應用廣泛，例如，在物理學中，它可以用來描述位移、速度和加速度之間的關系。在經濟學中，它可以用來描述利潤、成本和收入之間的關系。微分的性質線性近似微分可以用來近似地表示一個函數在某個點附近的變化。可加性兩個函數之和的微分等于它們各自微分的和。齊次性一個函數的微分乘以一個常數，等于該函數的微分乘以該常數。不定積分1基本概念不定積分是指求導數為已知函數的函數，也稱為原函數。它表示一個函數的“反導數”。2求解方法不定積分的求解方法通常使用積分公式和積分技巧。3應用場景不定積分在物理學、工程學等領域有著廣泛的應用，例如計算面積、體積、力學等。定積分1積分上限積分上限是定積分積分區域的上限。2積分下限積分下限是定積分積分區域的下限。3被積函數被積函數是在積分符號下需要進行積分的函數。牛頓-萊布尼茨公式1定積分用積分符號表示2原函數連續函數3求導求導數微積分基本定理1牛頓-萊布尼茨公式連接導數與積分之間的橋梁，它表明定積分的值等于原函數在積分區間的端點處的函數值之差。2微積分基本定理的意義它揭示了微分與積分之間的相互聯系，為解決許多數學問題提供了重要工具。3應用應用于求解定積分，求解微分方程，以及解決許多工程和物理學問題。廣義積分無窮積分積分區間包含無窮大或負無窮大。瑕積分積分區間內存在奇點，即被積函數在該點無定義或不連續。計算方法利用極限、變量代換等方法計算廣義積分。函數的連續性定義若函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，并且lim(x->x0)f(x)=f(x0)則稱函數f(x)在點x0處連續分類第一類間斷點：左右極限存在，但不相等第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在函數的連續性判定定義法根據函數連續性的定義進行判定，即判斷函數在點x0處左右極限是否存在且相等，并等于函數值。性質法利用函數連續性的性質進行判定，例如基本初等函數的連續性、連續函數的和、差、積、商的連續性等。間斷點法判斷函數在點x0處是否存在間斷點，若不存在間斷點則函數在該點連續。函數的可導性連續性可導函數必連續，但連續函數不一定可導。導數存在函數在一點可導意味著該點存在導數，即函數在該點處的切線斜率存在。羅爾定理1前提條件函數在閉區間上連續，在開區間上可導2結論如果函數在閉區間端點的函數值相等，則在開區間內至少存在一點，使得函數的導數為零3應用證明函數的單調性、求解函數的極值、尋找函數的零點泰勒公式公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+R(x)用途將函數展開成多項式形式，方便研究函數的性質。應用近似計算函數值、求解方程、證明不等式。最值問題尋找函數在給定區間上的最大值和最小值。應用導數的概念，通過求導和分析函數的單調性、極值點和邊界值來確定最值。在實際應用中，最值問題廣泛存在于經濟學、物理學、工程學等領域，用于優化資源分配、確定最佳設計等。曲線的性質凹凸性判斷曲線凹凸性，需要計算二階導數并判斷其符號拐點拐點是指曲線凹凸性發生變化的點，即二階導數等于零或不存在的點漸近線漸近線是指當自變量趨于無窮大時，曲線無限接近的一條直線曲面的性質曲率描述曲面彎曲程度的量，反映了曲面在某一點處的彎曲程度。法線在曲面上某一點處的法線是垂直于該點切平面的直線。主曲率在曲面上某一點處，法截曲線的最大曲率和最小曲率分別稱為主曲率。多元函數的概念定義多個自變量的函數，其輸出值取決于所有自變量的值圖形函數的圖形需要在多維空間中表示，通常用三維坐標系或等高線圖來展示應用廣泛應用于物理、工程、經濟等領域，用于描述多因素之間的相互關系偏導數定義偏導數是多元函數對其中一個變量的導數，其他變量視為常數。符號偏導數符號用?表示，例如?f/?x表示函數f對x的偏導數。意義偏導數反映了多元函數在某一點沿著某個方向的變化率。重積分重積分可以用來計算曲面面積、體積、質量、重心等物理量。重積分的定義