第五章導波與諧振

5.1均勻波導理論浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》12波導器件如何求解與分析波導模式？微波同軸線光纖集成光波導3均勻波導理論zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導沿z

方向傳播的電磁波：kz

：z

方向的傳播常數代入麥克斯韋方程色散關系分離縱向場和橫向場4均勻波導理論（2）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導兩邊叉乘右邊代入整理Et類似地橫向場可由縱向場求得色散關系5均勻波導理論（3）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導兩邊取旋度矢量運算均勻填充波導Ez

模和Hz

模獨立存在TMmodes:Ez≠0,Hz=0TEmodes:Ez

=0,Hz

≠0

模式求解方程6均勻填充金屬壁波導zxyε,μΩΓ均勻填充亥姆霍茲方程PEC壁TM模式求解TE模式求解傳播常數行波截止衰減截止頻率相速度群速度7TEM模式zxyε,μΩΓ均勻填充PEC壁Ez=0,Hz=0均勻填充金屬壁波導是否存在TEM模式？ΩΓ磁荷不存在磁場線閉合任意形狀截面麥克斯韋方程積分形式≠0Ez≠00z方向電場不能為0閉合路徑積分不為0均勻填充金屬壁波導不支持TEM模式8金屬矩形波導xyzε,μabTE模式（Ez=0）分離變量法通解代入邊界條件得到kx、ky導波條件代入求得橫向E、H場9金屬矩形波導（2）xyzε,μabTEmn

模式場分布（Ez=0）導波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TE00

模不存在10金屬矩形波導（3）xyzε,μabTMmn

模式場分布（Hz=0）導波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TM00,TM0n,TMm0模不存在類似地，得到11部分填充波導xyze2,m2abe1,m1h波導截面填充不同的介質模式求解方程留下z

分量等式與空間坐標有關無法利用舍去出現混合模式TEz

模和

TMz

模僅少量特殊情況可分離一般情況下為混合模式（同時含Ez和Hz）Ez與Hz

模的耦合是由填充材料的空間非均勻帶來

在截止頻率（kt=0），混合模式退化為TEz

和TMz

模式非均勻填充金屬壁波導第五章導波與諧振

5.2模式正交性浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》1213格林定理高斯定理代入利用矢量恒等式第一標量格林定理第二標量格林定理交換a、b

順序第一矢量格林定理類似地，利用高斯定理和變量替換第二矢量格林定理14zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導00當考慮i、j兩個TM模式第二標量格林定理（二維形式）代入模式正交性15zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導考慮i、j兩個TM模式代入第一標量格林定理（二維）（前一頁結論）模式正交性（2）16模式正交性（3）TM

模式正交（Hz=0）TE

模式正交（Ez=0）TM、TE

模式相互正交橫向場可由縱向場求得潛在原理：格林定理中，等式右側邊界處模場趨于0，從而左側模場重疊積分也為017波導界面模式分析波導2波導1不連續界面（z=0）如何用模式正交性分析傳輸效率？兩邊依次乘以波導

第i個模式并計算重疊積分波導1模式波導2模式前向后向得到映射關系求解矩陣可得各系數各模式的傳輸系數18xyzε,μabTMmn

模式場分布（Hz=0）TM00,TM0n,TMm0模不存在金屬矩形波導模場圖（TM）導波條件：模式正交關系TM11TM22TM12TM13TM14TM31TM41TM2119金屬矩形波導模場圖（TE）xyzε,μabTEmn

模式場分布（Ez=0）導波條件：TE00

模不存在模式正交關系TE10TE01TE11TE12TE13TE21TE31TE22第五章導波與諧振

5.3波導中的場激勵浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》2021波導中的源波導里施加任意電流源，如何分析激發的導波模式？22面電流激勵波導中激勵一個面電流：（沿+z方向傳播的總場）（沿-z方向傳播的總場）z=0其中，第i

個波導模式：（+z方向）（-z方向）待解未知數：ai,bi23面電流激勵（2）在面電流所在位置運用邊界條件：z=0模式正交性兩邊點乘兩邊積分模式正交性（歸一化常數）24體電流激勵波導中激勵任意體電流z=z1z=z2總場表達式：待求系數函數其中，第i

個波導模式：（+z方向）（-z方向）25體電流激勵（2）z=z1z=z2系數函數需滿足邊界條件朝右向傳播的模式場應為0朝左向傳播的模式場應為026互易定理體電流激勵（3）在區域[z1,z2]內運用互易定理令右側源產生的左向波體電流

Jimp的輻射波z=z1z=z227體電流激勵（4）z=z1z=z2金屬壁切向電場為0剩余2個面積分左側截面右側截面模式正交性0僅留下i=j

的模式積分28體電流激勵（5）z=z1z=z2得到右向傳播模場系數類似地，令左側源產生的右向波體電流

Jimp的輻射波得到左向傳播模場系數29思考z=z1z=z2z=0取體電流激勵面電流激勵檢驗是否相同？第五章導波與諧振

5.4諧振腔與微擾法浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》3031封閉波導矩形波導兩端封閉，能否構成諧振腔？xyzε,μabTEmn

模式TMmn

模式xy平面駐波xyzabcz

兩端封閉32矩形諧振腔xyzabc金屬矩形諧振腔TEz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加z方向邊界條件要求：諧振模式諧振條件33矩形諧振腔（2）xyzabc金屬矩形諧振腔TMz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加諧振條件諧振模式z方向邊界條件要求：34材料微擾材料微擾原諧振腔新諧振腔如何分析材料微擾下的諧振模式變化？35原諧振腔新諧振腔兩式相減材料微擾（2）36原諧振腔新諧振腔兩邊體積分，運用高斯定理邊界條件要求面積分為0介電常數增加諧振頻率降低材料微擾（3）37形狀微擾形狀微擾原諧振腔新諧振腔運用邊界條件0跟材料微擾類似的推導方法，可以得到0強磁場地方凹陷諧振頻率會提高38精益求精原諧振腔微小擾動材料微擾形狀微擾影響全局（諧振頻率）“中國天眼”500米口徑球面射電望遠鏡精益求精毫米級精度言治骨角者，既切之而復磋之；治玉石者，既琢之而復磨之，治之已精，而益求其精也。-南宋·朱熹《論語集注》第六章電磁散射

6.1柱面波函數浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》3940柱形結構柱形結構，如何分析電磁波問題？光纖同軸線諧振腔41柱坐標系yxzρ?坐標變換關系直角→柱柱→直角矩陣形式42yxzρ?柱坐標波動方程亥姆霍茲矢量波動方程亥姆霍茲標量波動方程代入柱坐標的拉普拉斯算符柱坐標標量波動方程43yxzρ?柱坐標波動方程的解柱坐標標量波動方程分離變量法兩邊除以與變量z

無關必須為常數44柱坐標波動方程的解（2）與變量z

無關必須為常數其中乘以ρ2三條待解常系數微分方程45三條待解常系數微分方程第一類貝塞爾函數第二類貝塞爾函數（也記作Nm(kρρ)）通解形式（z方向平面波）（

?

方向平面波）柱坐標波動方程的解（3）46貝塞爾函數第一類貝塞爾函數第二類貝塞爾函數（也記作Nm(kρρ)）貝塞爾方程解駐波形式47漢克爾函數實部虛部駐波向外行波向內行波復數第六章電磁散射

6.2柱體散射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》4849柱體散射問題柱體的散射如何計算？柱體入射波散射50波變換yxρ?考慮一個x方向傳播的平面波分解為柱面波疊加乘以對?

積分平面波的柱面波疊加形式51金屬柱散射yxρ?入射電場激發柱面感應電流散射電場第一類Hankel函數：向外行波邊界條件各階散射系數散射電場TM模式52金屬柱散射（2）yxρ?TM模式yxρ?TE模式53金屬柱散射（3）yxρ?入射磁場激發柱面感應電流散射場第一類Hankel函數：向外行波外部總磁場TE模式

E?

分量外部電場代入麥克斯韋方程54金屬柱散射（4）yxρ?TE模式外部電場邊界條件各階散射系數散射磁場55散射寬度yxρ?散射寬度（Scatteringwidth）僅與角度?

和波數k

有關單位：m對數坐標下，通常對單位長度或波長進行歸一化單位：dBm單位：dB56介質柱散射yxρ?入射電場激發柱面感應電流散射電場TM模式內部電場代入麥克斯韋方程外部磁場內部磁場57介質柱散射（2）yxρ?邊界條件TM模式各階散射系數（外部）各階散射系數（內部）58思考yxρ?多層介質柱體的散射如何計算？第六章電磁散射

6.3分層介質散射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》5960多層平板散射問題分層平板介質的散射如何計算？J、M介質1介質2介質3海底、大氣層、地表等輻射源61譜系格林函數自由空間格林函數輻射問題的格林函數求解方程傅里葉變換形式自由空間譜系格林函數代入方程求解62譜系格林函數（2）yxzρ?轉化為柱坐標系利用貝塞爾函數索末菲恒等式(Sommerfeldidentity)球面波分解為一系列z方向傳播的平面波63電偶極子輻射場變換xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlanez

方向的電偶極子輻射場代入場-源關系取z

分量64xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子輻射場變換（2）z

分量輻射場代入索末菲恒等式平面波疊加橫向場可由縱向場得到65xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質散射入射場（偶極子輻射場）反射場第l

層介質的場前向波后向波待求系數（2M+1）66xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質散射（2）待求系數（2M+1）邊界條件：切向EH連續遞歸關系67xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane思考遞歸關系各系數與多層平板透反射系數是否有關？第六章電磁散射

6.4周期表面反射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》6869周期粗糙表面的散射周期表面的散射如何計算？入射波散射波周期粗糙表面（超表面、光柵等）70Floquet定理令Q(x)是一個實數或復數分段連續函數，且具有最小周期π那么差分方程有兩個連續可微解特征方程：特征值：①如果ρ1

和ρ2

是兩個不同的根其中p1(x)和p2(x)以π

為周期Floquet定理方程①有兩個線性無關的解波動方程的解包含L為周期函數傅里葉級數展開波動方程K(x)=k2(x)具有最小周期L71周期波紋金屬表面入射波反射波Floquet

模式（一系列等頻圓）xzwpd周期金屬表面H周期區域1區域2k

surfaceskxkznn=-1n=1倏逝波72周期波紋金屬表面（2）凹槽內的場分解為波導模式疊加xzwpd周期金屬表面H周期區域1區域2x

方向駐波z方向駐波峰值點：x=±w/2峰值點：z=-d73周期波紋金屬表面（3）取垂直入射的情況（kx=0），各區域總場74周期波紋金屬表面（4）待求系數Rn，Gm利用模式正交性求解邊界條件：切向磁場連續（atz=0）①邊界條件：切向電場為0（atw/2<|x|<p/2，z=0）③邊界條件：切向電場連續（at–w/2<x<w/2，z=0）②75周期波紋金屬表面（5）兩邊乘以在–w/2<x<w/2

范圍內積分第①條邊界條件等式右側模式正交性，重疊積分為076周期波紋金屬表面（6）兩邊乘以在–p/2<x<p/2范圍內積分左側模式正交性，重疊積分為0第②條邊界條件等式77周期波紋金屬表面（6）可求得數學表達式和值待求系數Rn，Gm矩陣求解78周期波紋金屬表面（7）當kw<<1時（深亞波長凹槽）反射相位隨凹槽深度的變化PMCPEC79思考存在透射的周期金屬結構如何計算散射？透射型周期金屬結構H區域1區域2區域3第六章電磁散射

6.5

球面波函數浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》8081球體球體的電磁波散射如何分析？灰塵、水滴、球形物體、納米顆粒等82球坐標系直角→球球

→直角矩陣形式yxzrsinθ?rθ83柱坐標波動方程亥姆霍茲矢量波動方程亥姆霍茲標量波動方程代入球坐標的拉普拉斯算符球坐標標量波動方程yxzrsinθ?rθ84球坐標波動方程的解yxzrsinθ?rθ球坐標標量波動方程分離變量法不含?必須為常數不含?含?85球坐標波動方程的解（2）僅含r三條待解常系數微分方程僅含θ三條待解常系數微分方程86通解形式球坐標波動方程的解（3）關聯勒讓德多項式球貝塞爾函數87球貝塞爾函數第一類球貝塞爾函數第二類球貝塞爾函數（也記作nm(kr)）貝塞爾方程的解88球漢克爾函數實部虛部駐波向外球面波向內球面波復數89關聯勒讓德多項式第一類關聯勒讓德多項式第二類關聯勒讓德多項式勒讓德微分方程解勒讓德多項式90勒讓德多項式級數形式前幾個勒讓德多項式第六章電磁散射

6.6球體散射浙江