第十二章控制系統設計實例分析12.1火炮穩定器的設計

12.2船舶自動駕駛儀的設計

12.3磁盤讀寫頭的控制

12.4倒立擺控制系統的設計小結12.1火炮穩定器的設計

調節系統的任務是將被控量保持在設定值上,因此調節系統設計中主要考慮的是抑制噪聲。坦克在行駛時,車身不停地振動,使火炮瞄準困難,并且不能保證設計精度。為了提高坦克行進時射擊的效果和精度,最根本的辦法是采用穩定裝置。火炮穩定器可以使坦克火炮在垂直平面內保持一定的仰角φ不變(如圖12-1所示)。

圖

12-1火炮起落部分示意圖

穩定器采用陀螺儀作為傳感器。陀螺儀組固定在火炮的起落部分上。該陀螺儀組包括一個角度陀螺儀和一個速率陀螺儀。角度陀螺儀用來在垂直平面內建立一個穩定的指向r(即角度的設定值)。當火炮的仰角φ變化時,角度陀螺儀的外框隨之轉動,因而形成失調角(即角度偏差)e,即e=r-φ

失調角的信號由陀螺傳感器送出。速率陀螺儀是一個單自由度陀螺儀,其輸出與炮身運動的角速度成比例。角度陀螺和速率陀螺的信號相加,通過執行機構(液壓油缸或電機)轉動火炮,從而達到穩定的目的。

圖12-2是火炮穩定系統的框圖,其中Kp和Kd分別表示由角度和角速度變化所給出的穩定力矩。火炮的動力學特性用轉動慣量J來表示,其反映了作用于火炮起落部分的力矩和角速度的關系。顯然這個系統采用的是PD控制規律。從圖12-2可以看到,若無速率反饋,則這個二階系統的運動方程中將缺少中間的阻尼項。也就是說,這個控制規律中的微分項是用來給系統提供阻尼的。

圖

12-2火炮穩定系統結構圖

圖中Md為外力矩。由于火炮的耳軸與軸承之間存在摩擦,當車體振動時,此摩擦力矩便傳給火炮,使其偏離給定位置。另外,火炮起落部分的重心也不會正好在耳軸軸線上,因此車體的各種振動會造成慣性力矩。所有這些力矩構成了作用于火炮的外力矩。因為這個外力矩是由車體振動引起的,故接近于正弦變化規律,即式中ωk是坦克車體縱向角振動的頻率。

所以坦克在行駛時相當于對火炮施加了一強迫振蕩力矩,控制系統的作用就是要抑制Md對φ的影響。根據圖12-2可以寫出從Md到φ的傳遞函數為

(12.1)

上式表明,這個火炮穩定系統相當于一個二階系統,并且不希望系統的頻率特性出現諧振峰值,所以此系統的阻尼系數宜取為ζ=1。

規定了阻尼系數ζ=1,實際上就是對微分項Kd作了限制。這樣,系統中就只剩下一個系數Kp了。這個前向控制環節的增益也稱伺服剛度。根據外力矩Md和允許的精度φmax,通過簡單的運算就可以確定Kp。

設火炮起落部分對耳軸軸線的轉動慣量為J=350kg·m·s2,車體振動幅度θmax=6°,振動周期為T＝1.5s,即ωk=4.2rad/s。設在這個振動參數下,車體傳給起落部分的力矩和慣性力矩所合成的外力矩的幅值為Mmax=38kg·m,允許的炮身強迫振蕩的幅值為φmax=0.001rad。根據ζ=1的要求和上述具體參數值,由式(12.1)得

所以,Kp的值大致為

Kp=32000kg·m/rad

從上面的分析可以看到,本例采用反饋控制是要在車體運動與火炮之間起到隔離作用。即這里的火炮穩定器相當于一個隔離器。本例中的隔離度大約為θmax/φmax=100，或者說隔離度等于40dB。上面結合火炮穩定器主要是要說明這類穩定系統的共同設計特點。至于說到火炮穩定器,當然還有它本身的特殊問題。注意到圖12-2的系統是一個Ⅱ型系統,傳動部分的間隙不可避免地會在系統中造成自振蕩。

因此設計和調試中應控制其自身振蕩的幅值。

12.2船舶自動駕駛儀的設計

船舶自動駕駛儀主要有兩重任務:航向保持和變向航行。航向保持是指在風、浪和洋流等環境擾動下將船保持在給定的航向。變向是指從一個航向向另一個航向過渡時的航向控制。前者是一個調節問題,后者是一個跟蹤問題。本例主要說明航向保持時自動駕駛儀的一些設計考慮。在所討論的問題中,船舶的數學模型可視為

式中ψ為航向角,δ為舵偏角。對應的船的傳遞函數為

(12.2)若采用PD控制

(12.3)則可得系統的特征方程式(1+D(s)G(s)=0)為

(12.4)系統的固有頻率為

(12.5)

式(12.5)表明,控制規律中的比例項Kp決定了系統的固有頻率,即響應速度。而系統的阻尼特性,即式(12.4)中的第二項,則決定于微分項Kd。微分項起到了增加阻尼的作用,提高了系統的相對穩定性。船舶在航行中還受到風浪等環境的影響。這些擾動都是隨機的,其頻譜的頻率段比較高,因此在分析中是作為高頻噪聲來處理的。但是這些隨機擾動的平均值并不一定都等于零。例如風對于航向的影響,除了隨機分量以外,往往還有一個平均力矩作用在船體上。因此自動駕駛儀中還應該有一項積分項來補償這緩慢變化的風力矩的平均值。

由此可見,控制規律中PID三項都是需要的。即PID控制器可以滿足航向保持的控制要求。明確了控制規律的組成以后,接下來就是確定PID的各項參數。參數設計常包含某種優化的概念。對于船舶航行來說,不同的航行條件,有不同的要求。對于在大海上航行的商船來說,要求節省燃料。這對自動駕駛儀來說,就是要盡量減小由于操舵而引起的額外阻力。當然航向誤差也要小,因為有了航向誤差,會加大船實際的航行距離。這兩項要求可歸納為下列的性能指標:(12.6)式中ε是航向誤差,δ是舵偏角,λ是加權系數,并且0.1＜λ＜1.0,大船的λ可以取得小些,小船可以取得大些。

注意到式(12.6)所表示的實際上是一種動態性能指標。由對PID三種控制作用的分析可知,影響這一性能指標的主要是Kp和Kd,因為積分項主要是用來補償緩慢變化的擾動力矩的。所以應該是根據性能指標首先確定Kp和Kd,然后根據系統的帶寬或固有頻率ωn,使Ki<<ωn來確定積分項Ki/s的系數。因為性能主要是由PD決定的,根據式(12.2)和式(12.3),利用線性最優控制理論,便可求得使式(12.6)為最小的最優控制器參數為

(12.7)(12.8)

作為數字例子,設船的時間常數τ=16s,K=0.07s-1。取加權系數λ=1,代入上式得最優控制器的增益為Kp=1,Kd=11.43在這組參數下,系統的固有頻率為ωn=0.066rad/s,或0.01Hz。顯然,在這樣的ωn下,駕駛儀功放級的時間常數以及舵機的時間常數可忽略不計。這一特點對調節系統來說具有普遍性。大多數調節系統中執行機構和功放級的動特性以及測量元件的動特性在系統的工作頻帶內均可忽略不計。即在系統的工作頻帶內,PID就已經概括了包括執行機構在內的整個控制器的特性。

12.3磁盤讀寫頭的控制圖

12-3磁盤讀寫頭工作原理圖

運用Newton定律,可以得出磁盤讀寫頭的動力學模型為

其中,J是讀寫頭的轉動慣量,c是軸承的粘滯阻尼系數,K

是彈簧的剛度系數,Ki是電機力矩常數,θ表示讀寫頭的角位移,i是輸入電流。上式取拉氏變換可得系統從i到θ的傳遞函數為

給定系統的具體參數如下:J=0.01kgm2,c=0.004Nm/(rad/s) K=10Nm/rad,Ki=0.05Nm/rad使用MATLAB可以馬上建立系統的傳遞函數模型,相應的程序和結果如下:J=.01;C=0.004;K=10;Ki=.05;num=Ki;den=［JCK］;H=tf(num,den)運行結果為

Transferfunction:0.05------------------------------------0.01s^2+0.004s+10

令采樣周期T＝0.005s,并且保持器采用零階保持器,則可以得到系統的離散化模型,程序如下：

Ts=0.005;%samplingperiod=0.005secondHd=c2d(H,Ts,′zoh′)Transferfunction:6.233e-05z+6.229e-05-------------------------------------z^2-1.973z+0.998圖

12-4磁盤讀寫頭離散化模型的階躍響應

為了提高系統的阻尼,需要設計一個補償器。用下面語句繪制離散系統的根軌跡:rlocus(Hd);其結果如圖12-5所示。由圖可見，未加補償器的系統根軌跡將很快離開單位圓,趨向無窮遠處。所以應該引入超前補償器,或含有零點的補償器。嘗試采用如下的超前補償器：其中,a=-0.85,b=0。因此,相應的開環系統模型為D(z)Hd(z),程序如下：

D=zpk(0.85,0,1,Ts);oloop=Hd*D則可以繪制引入補償器以后系統的根軌跡圖如圖12-6所示,對應的MATLAB語句為

rlocus(oloop);圖12-5未加補償器時系統的根軌跡圖（離散情況）圖

12-6引入補償器后系統的根軌跡圖(離散情況)

在MATLAB中可以從根軌跡圖上直接讀出閉環極點處于某一位置時,系統的阻尼比和相應的增益k。例如取閉環極點為0.584±0.229j,則相應的阻尼比和開環增益為

ζ=0.781,k=4090并且可以用下面的MATLAB語句得到閉環系統的階躍響應曲線(見圖12-8):k=4.11e+03;cloop=feedback(oloop,k);step(cloop)圖

12-7磁盤讀寫頭閉環控制系統結構圖

圖

12-8磁盤讀寫頭閉環控制系統的階躍響應

12.4倒立擺控制系統的設計

圖

12-9倒立擺控制系統

倒立擺系統希望盡可能把擺保持在垂直的位置上,為此,還將對小車的位置進行控制,例如使小車作步進式的運動。為了控制小車的位置,需要建立I型伺服系統。倒立擺系統安裝在小車上,它沒有積分器。因此,把位置信號x(它表示小車的位置)反饋到輸入端,并且把積分器插入到前向通道中,如圖12-10所示。假設倒立擺的角度θ和角速度θ都很小,則有sinθ≈θ,cosθ≈1和θθ≈0。另外假設M、m和l的數值給定為

..M=2kg,m=0.1kg,l=0.5m倒立擺控制系統的動力學模型為

(12.9)(12.10)將上述參數值代入方程(12.9)和(12.10)得

定義系統的狀態變量為

把小車的位置x看作系統的輸出,并考慮圖12-10可得系統的狀態空間描述為

(12.11)(12.12)(12.13)(12.14)其中，

圖

12-10倒立擺控制系統(控制對象無積分器的I型伺服系統)

為了分析方便,可以將式(12.11)～式(12.14)改寫成如下狀態誤差方程的形式:(12.15)其中,而控制信號ue為

式中,

為了使設計出的系統具有合理的響應速度和阻尼(例如希望小車在階躍響應中的調整時間約為4～5s,最大超調量為15％～16％),選擇希望的閉環極點為s=λi(i=1,2,3,4,5)，其中，

可以驗證,式(12.15)表示的系統是完全可控的,因此可以任意配置系統的極點。并且利用下面的MATLAB程序可以求出狀態反饋增益矩陣K:A=［0100;20.601000;0001;-0.4905000］;B=［0;-1;0;0.5］;C=［0010］;Ahat=［Azeros(4,1);-C0］;Bhat=［B;0］;J=［-1+j*sqrt(3)-1-j*sqrt(3)-5-5-5］;Khat=acker(Ahat,Bhat,J)Khat=-157.6336-35.3733-56.0652-36.746650.9684^所以有

和

確定了反饋增益矩陣K和積分增益常數kI以后,小車位置的階躍響應就可以通過求解下列方程得到:(12.16)系統的輸出為y=x3,即

(12.17)

根據方程(12.16)和方程(12.17)，可以在前面程序的基礎上,通過以下MATLAB程序求出系統的單位階躍響應:K=Khat(1:4);KI=-Khat(5);AA=［A-B*KB*KI;-C0］;BB=［0;0;0;0;1］;CC=［C0］;DD=［0］;t=0:0.02:6;［y,x,t］=step(AA,BB,CC,DD