重難點突破02含參類方程與不等式問題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01根據分式方程解的情況求字母的值或取值范圍題型02整式方程（組）與一元一次不等式組結合求參數的問題題型03同解方程組題型04根據二元一次方程組解滿足的情況求參數題型05二元一次方程組整數解問題題型06利用相反數求二元一次方程組參數題型07已知方程的解求參數題型08根據一元二次方程根的情況求參數題型09根據一元一次不等式組的整數解求參數的取值范圍題型10根據一元一次不等式組的解集的情況求參數的取值范圍題型11整式方程（組）與一元一次不等式結合求參數的問題題型01根據分式方程解的情況求字母的值或取值范圍1．（2023·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2-x-1A．-2 B．2 C．-4 D【答案】B【分析】將x=1【詳解】解：將x=1代入方程，得解得：m故選：B．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關鍵是將x=1代入原方程中得到關于m2．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程ax+2=1-3xA．a<-1且a≠-2 B．aC．a<-2且a≠-3 D．a【答案】D【分析】直接解分式方程，進而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．【詳解】解：去分母得：a=解得：x=∵分式方程ax∴a+1<0，x+2≠0，即解得：a<-1且a故選：D．【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關鍵．3．（2023·山東日照·中考真題）若關于x的方程xx-1-2=A．m>-23 B．m<43 C．m>-【答案】D【分析】將分式方程化為整式方程解得x=4-3m2，根據方程的解是正數，可得【詳解】解：x22-x∵方程xx-∴4-3m2∴m<4故選：D．【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．4．（2023·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程x+mx-【答案】-【分析】等式兩邊同時乘以公因式x-2，化簡分式方程，然后根據方程有增根，求出x的值，即可求出【詳解】x+解：方程兩邊同時乘以x-2，得∴m=2∵原方程有增根，∴x-∴x=2∴m=2故答案為：-1【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關鍵是掌握分式方程的增根．5．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）若關于x的分式方程2x-1=mA．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】D【分析】解帶參數m的分式方程，得到x=mm【詳解】解：2x兩邊同時乘以xx-1去括號得：2x移項得：2x合并同類項得：2-m系數化為1得：x=若m為整數，且分式方程有正整數解，則m=3或m當m=3時，x當m=4時，x=2故選：D．【點睛】本題考查分式方程的解，始終注意分式方程的分母不為0這個條件．題型02整式方程（組）與一元一次不等式組結合求參數的問題6．（2020·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式結3x-12≤x+3x≤a的解集為A．7 B．－14 C．28 D．－56【答案】A【分析】不等式組整理后，根據已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉化為正整數方程，由分式方程有非負整數解，確定出a的值，求出之和即可．【詳解】解：解不等式3x-1∴不等式組整理的x≤7由解集為x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y?2，即3y?2＝a，解得：y＝a+2由y為正整數解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故選：A．【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．（2023·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組x+32≤42x-a≥2，至少有2【答案】4【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍a≤6，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得y=a【詳解】解：x解不等式①得：x≤5解不等式②得：x≥1∴不等式的解集為1+∵不等式組至少有2個整數解，∴1+解得：a≤6∵關于y的分式方程a-∴a解得：y=即a-12解得：a≥1且∴a的取值范圍是1≤a≤6∴a可以取：1，3，∴1+3=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．8．（2024·重慶·模擬預測）已知關于x的一元一次不等式組23-x+1<-xx+a-2<0有解且最多5【答案】-【分析】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數解，熟練掌握解一元一次不等式組以及解分式方程是解本題的關鍵．首先求出不等式組的解集為7<x<2-a，然后根據有解且最多5個整數解得到-11≤a<-5，然后解分式方程為y【詳解】2解①得，x解②得，x∵關于x的一元一次不等式組23-x+1<-∴7<2-解得-y去分母得，y解得y∵關于y的分式方程y+∴y=a+132∴a=-11或-∴-11+∴滿足條件的所有整數a的和為-20故答案為：-209．（2024·重慶開州·二模）若關于x的方程x+22-x+axx-2=-2【答案】1【分析】本題考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式組的整數解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．由分式方程有正整數解，確定出滿足條件a的值，將不等式組整理后，由不等式組至少有兩個整數解確定出a的范圍，綜合求解即可．【詳解】解：x去分母得：-x去括號得：-x移項，合并同類項得：(a∴x=∵分式方程有可能產生增根2，∴6a∴a≠2∵關于x的分式方程x+2∴a=0，1，52y解①得：y<5解②得：y≥2∴不等式組的解集為：2a∵關于y的不等式組2y∴2a∴a≤2綜上，整數a=1，0∴滿足條件的整數a的和為1+0=1．故答案為：1．10．（2024·四川成都·模擬預測）若整數a使得關于x的分式方程ax-122-x+3=xx【答案】15【分析】本題考查了二次函數與x軸的交點問題，解不等式組及分式方程，正確理解二次函數的值恒為非負數的性質是解題關鍵．根據二次函數的性質，得到一元一次不等式組，求得a≥3，再解分式方程，得到x=6a-2，再根據【詳解】解：∵二次函數y=∴a解得：a≥3解分式方程ax-122-∵x∴a∵a、x∴a=3時，x=6；a=4時，x=3∴所有滿足條件的整數a的值之和是3+4+8=15，故答案為：15．題型03同解方程組11．（2020·廣東·中考真題）已知關于x，y的方程組ax+23y（1）求a，b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關于x的方程x【答案】（1）-43；12（【分析】（1）關于x，y的方程組ax+23yx+y=4x-（2）將a、b的值代入關于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據方程的兩個解與26【詳解】解：由題意列方程組：x+y將x=3，y=1分別代入ax解得a=-43∴a=-43（2）x解得x這個三角形是等腰直角三角形理由如下：∵(2∴該三角形是等腰直角三角形．【點睛】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正確答案的關鍵．12．（2021·廣東·二模）解關于x、y的方程組時，小明發現方程組ax+by=2(1)求方程組的解；(2)求關于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．【答案】(1)x(2)t＝23或【分析】（1）根據二元一次方程組的解相同，可得新方程組，根據解方程組，可得x、y的值；（2）根據方程組的解滿足方程，把方程組的解代入，可得關于a、b的二元一次方程組，根據解方程組，可得a、b的值；然后利用換元法解該方程．【詳解】（1）由方程組ax+by=2x-由①×3+②，得5x＝15．則x＝3．將x＝3代入①，得3﹣y＝8，則y＝﹣5．∴方程組的解為：x=3（2）把x=3y=-5分別代入ax+by＝2和5x+2y＝b解得：a=9設at﹣b＝n，則方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可變為n2+2n﹣3＝0，∴（n+3）（n﹣1）＝0，∴n＝﹣3或1，∴at﹣b＝﹣3或1，把a=9b=5代入得：9t﹣5＝﹣3解得：t＝23或2【點睛】本題考查了二元一次方程組和一元二次方程的解法，理解方程組解相同的含義是解決問題的關鍵．題型04根據二元一次方程組解滿足的情況求參數13．（2023·四川眉山·中考真題）已知關于x,y的二元一次方程組3x-y=4mA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到x-y=【詳解】解：3x①-②得∴x代入x-y=4解得m=1故選：B．【點睛】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．14．（2022·山東聊城·中考真題）關于x，y的方程組2x-y=2k-3x-2yA．k≥8 B．k>8 C．k≤8【答案】A【分析】由兩式相減，得到x+y=k-3，再根據x【詳解】解：把兩個方程相減，可得x+根據題意得：k-解得：k≥8所以k的取值范圍是k≥8故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關鍵．15．（2023·四川瀘州·中考真題）關于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2【答案】7（答案不唯一）【分析】先解關于x、y的二元一次方程組的解集，再將x+y>2【詳解】將兩個方程相減得x+∵x+∴a-∴a>3+2∵4<8<9，∴2<22∴5<22∴a的一個整數值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點．16．（2024·浙江寧波·模擬預測）若關于x，y的方程組2x-y=5kx+【答案】k【分析】本題主要考查二元一次方程組和一元一次不等式的解法，把方程組的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x-y≤5，轉化為關于k【詳解】解：2由①+②可得：所以：x把③代入②得：3k解得：y=代入x-y≤5解得：k≤3故答案為：k≤3題型05二元一次方程組整數解問題17．（2022·廣東揭陽·模擬預測）如果關于x，y的方程組4x-3A．4，-4，-5，13 B．4，-4，C．4，-4，5，13 D．-4，5，-【答案】B【分析】先將m看作已知量，解二元一次方程組，用m表示出y，再結合x，y為整數，得出y的整數解，然后把y的整數解代入①，得出x的解，再把方程組的整數解代入②，即可得出m的值．【詳解】解：4x由②×2-①×3∵x，y為整數，∴當2m+9為-34∴把2m+9的值代入y=342m+9，可得：y=-1，y=-2，y=-17，∴把y的整數解代入①，可得：x=34，x=0，x=-454，x=-24，∴方程組4x-3y=66x+my把方程組的整數解代入②，可得：m=-13，m=-5，m=4故選：B【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關鍵是用含m的代數式表示y．18．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）關于x，y的二元一次方程組kx+y=43x+y=0的解為整數，關于A．6 B．7 C．11 D．12【答案】A【分析】本題考查了解含參數的二元一次方程組整數解，含參數的不等式組整數解問題；解出方程組，根據整數解確定k的取值，解出不等式組，由整數解的個數確定k的取值范圍，即可求解；能正確解出含參數的方程組和不等式組，并確定k的取值范圍是解題的關鍵．【詳解】解：解方程組kx+x=∵關于x，y的二元一次方程組的解為整數，∴k可取-1，1，2，4，5，7解關于z的不等式組得z>-2∵關于z的不等式組有且僅有2個整數解，∴0≤1解得：-1≤∴整數k為-1，1，2，4，其和為-1+1+2+4=6故選：A．19．（22-23七年級下·重慶·階段練習）已知關于x,y的二元一次方程組ax+2y=612x-A．2 B．4 C．9 D．11【答案】A【分析】本題考查了已知二元一次方程組和一元一次方程的解，求解參數.正確求解方程或方程組是解題關鍵．【詳解】解：ax①+②×2解得：x將x=8a+1代入解得：y∴原二元一次方程組的解為：x解方程z-a∵關于z的方程z-∴6+3a∴a∵關于x,y的二元一次方程組∴a綜上所述：a∴滿足條件的所有整數a的和為：2故選：A題型06利用相反數求二元一次方程組參數20．（2022·四川南充·二模）已知x、y滿足方程組x+2y=2m-12x+A．m=-2 B．m=2 C．m=-3【答案】A【分析】根據題意可得x+y=0，由方程組的解法可得3x+3y=2m+4，代入計算即可．【詳解】解：x+2①+②得，3x+3y=2m+4，即3（x+y）=2m+4，又∵x與y互為相反數，∴x+y=0，即2m+4=0，解得m=-2，故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解法以及相反數的定義是正確解答的前提．21．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知關于x，y的方程組3x-5①當a=5時，方程組的解是x=10y=20；②當x，③當2x?2y=212時，aA．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③【答案】C【分析】①把a=5代入方程組求出解，即可做出判斷；②根據題意得到x+y=0，代入方程組求出a的值，即可做出判斷；③根據題中方程組得到x=25-ay=15-a④假如x=y，得到a無解，本選項正確．【詳解】解：①把a=5代入方程組得：3x解得：x=20②由x與y互為相反數，得到x+y=0，即y=-x，代入方程組得：3x解得：a=20，本選項正確；③方程組解得：x=25-由題意得：x+y=12，把x=25-ay=15-解得：a=14，本選項正確；④若x=y，則有-2x=2a故不存在一個實數a使得x=y，本選項正確．則正確的選項有②③④，故選：C．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．22．（2021·內蒙古包頭·二模）若滿足方程組4x+y=3m+32x-A．2 B．-2 C．11 D．【答案】B【分析】由x與y互為相反數，得到y=-x，代入方程組計算即可求出m的值．【詳解】解：由題意得：y=-x，代入方程組得：4x消去x得：3m+3=解得：m=-2，故選：B．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．題型07已知方程的解求參數23．（2023·湖南永州·中考真題）關于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1A．3 B．-3 C．7 D．【答案】A【分析】把x=1代入2【詳解】解：把x=1代入2x+解得：m=3故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．24．（2021·浙江金華·中考真題）已知x=2y=m是方程3x【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，轉化為關于m的一元一次方程，求解即可．【詳解】∵x=2y=∴6+2m=10，解得m=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運用方程的解的定義，轉化為一元一次方程求解是解題的關鍵．25．（2023·江蘇鎮江·中考真題）若x=1是關于x的一元二次方程x2+mx-【答案】5【分析】：把x=1代入方程x2+mx【詳解】把x=1代入方程x2得1+m解得m=5故答案為：5．【點睛】本題考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．26．（2023·四川內江·中考真題）已知a、b是方程x2+3x-【答案】-【分析】利用一元二次方程的解的定義和根與系數的關系，可得a+b=-3,【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a+∴a2∴a==4+=-2．故答案為：-2【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義和根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的解的定義和根與系數的關系是解題的關鍵．題型08根據一元二次方程根的情況求參數27．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關于x的方程x2-2k-A．-1 B．1 C．-1-2k【答案】A【分析】首先根據關于x的方程x2-2k-2x【詳解】解：∵關于x的方程x2∴判別式△=-整理得：-8∴k≤1∴k-1≤0，∴(=-=-1．故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關鍵．28．（2023·江蘇連云港·中考真題）若關于x的一元二次方程x2-2x+【答案】m【分析】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式與方程解的情況之間的關系是解本題的關鍵．根據方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式大于0，求出m的范圍即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=4-4解得：m<1故答案為：m<129．（2021·四川內江·中考真題）若關于x的一元二次方程ax2+4x-【答案】a≥-2且【分析】利用一元二次方程根的定義和判別式的意義得到a≠0且Δ=【詳解】解：根據題意得a≠0且Δ=解得a≥-2且a故答案為∶a≥-2且a【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠030．（2023·湖北襄陽·中考真題）關于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩個根為α，β，且k2=αβ【答案】(1)k(2)k【分析】（1）根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，得出b2-4（2）根據兩根之積為：ca，把字母和數代入求出k【詳解】（1）解：b2∵有兩個不相等的實數，∴-8+4解得：k>2（2）∵方程的兩個根為α，β，∴αβ=∴k2解得：k1=3，即：k=3【點睛】本題主要考查根與系數的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握x1，x2是方程ax2+題型09根據一元一次不等式組的整數解求參數的取值范圍31．（2023·廣東潮州·二模）如果關于x的不等式組6x-m≥05x-n<0A．42對 B．36對 C．30對 D．11對【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數解的應用，先求出不等式組的解集，根據已知得出關于m、n的不等式組，求出整數解即可，解此題的關鍵是求出m、n的值．【詳解】解：6x解不等式①得：x≥解不等式②得：x<∴不等式組的解集是m6∵關關于x的不等式組6x-m≥05x-∴0<m6≤1∵m、n為整數，∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、6×5=30，所以適合這個不等式組的整數對m,n共有故選：C．32．（2024·河南安陽·一模）已知不等式組2x-1>3【答案】9<【分析】本題考查根據不等式組的解集的情況，求出參數的范圍，先求出不等式組的解集，根據解集得到關于a的不等式組，求解即可．【詳解】解：解2x-1∵不等式組有四個整數解，∴5<x∴不等式組的整數解為6,7,8,9，∴9<a故答案為：9<a33．（2023·四川宜賓·中考真題）若關于x的不等式組2x+1>x+a①x【答案】2或-【分析】根據題意可求不等式組的解集為a-1<x【詳解】解：由①得：x>由②得：x≤5∴不等式組的解集為：a-∵所有整數解的和為14，①整數解為：2、3、4、5，∴1≤a解得：2≤a∵a為整數，∴a②整數解為：-1，0，1，2、3、4、5∴-2≤a解得：-1≤∵a為整數，∴a綜上，整數a的值為2或-故答案為：2或-1【點睛】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數的意義是解題的關鍵．題型10根據一元一次不等式組的解集的情況求參數的取值范圍34．（2023·湖北鄂州·中考真題）已知不等式組x-a>2x+1<A．0 B．-1 C．1 D．【答案】B【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得2+a<x<b-1，再結合已知可得2+【詳解】解：x-解不等式①得：x>2+解不等式②得：x<∴原不等式組的解集為：2+a∵不等式組的解集是-1<∴2+a=-1，∴a=-3，b∴a+故選：B．【點睛】本題考查了根據一元一次不等式組的解集求參數，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．35．（2023·湖北黃石·中考真題）若實數a使關于x的不等式組-2<x-1<3x-a【答案】a≤-1/【分析】根據不等式的性質解一元一次不等組，再根據不等式組的取值方法即可且求解．【詳解】解：-2<由①得，-1<x<4；由②∵解集為-1<∴a≤-1故答案為：a≤-1【點睛】本題主要考查解不等式組，求不等式組解集，掌握解不等式組的方法，不等組的取值方法等知識是解題的關鍵．36．（2