倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.3.2.1等比數列的前n項和要點一等比數列的前n項和公式【重點總結】(1)等比數列前n項和公式分q＝1與q≠1兩種情況，因此當公比未知時，要對公比進行分類討論．(2)q≠1時，公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)與Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)是等價的，利用an＝a1qn－1可以實現它們之間的相互轉化．當已知a1，q與n時，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)較方便；當已知a1，q與an時，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)較方便．要點二等比數列前n項和的性質(1)當q＝1時，eq\f(Sn,Sm)＝；當q≠±1時，eq\f(Sn,Sm)＝.(2)Sn＋m＝Sm＋Sn＝Sn＋Sm.(3)設S偶與S奇分別是偶數項的和與奇數項的和．若項數為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項數為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.(4)當q≠－1時，連續m項的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍組成等比數列(公比為，m≥2)，注意：這連續m項的和必須非零才能成立．【筆記小結】(1)當q＝－1且k為偶數時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數列；(2)當q≠－1時，或q＝－1且k為奇數時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數列．(3)若{an}是公比為q的等比數列，則：①前n項積Tn＝aeq\o\al(n,1)q；②連續m項的積仍為等比數列，即Tm，eq\f(T2m,Tm)，eq\f(T3m,T2m)，…是等比數列，公比為qm2.【基礎自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)求等比數列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)來求．()(2)若首項為a的數列既是等差數列又是等比數列，則其前n項和為Sn＝na.()(3)若某數列的前n項和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數列一定是等比數列．()(4)若Sn為等比數列的前n項和，則S3，S6，S9成等比數列．()【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2.已知等比數列{an}的首項a1＝3，公比q＝2，則S5等于()A．93B．－93C．45D．－45【答案】A【解析】S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31－25,1－2)＝93.故選A.3．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝1，S6＝9，則公比q＝________.【答案】2【解析】S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝S3·q3＝1×q3＝8.∴q＝2.題型一等比數列前n項和的基本運算【例1】在等比數列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.【解析】(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))從而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11)(2)法一：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8)，從而q＝eq\f(1,2).又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).(3)因為a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根．從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q為2或eq\f(1,2).【方法歸納】(1)在等比數列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用．(2)在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．【跟蹤訓練】在等比數列{an}中，(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.【解析】(1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，則S8＝2S4，不合題意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝17，兩式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.題型二等比數列前n項和性質的應用【例2】等比數列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為()A．28B．32C．21D．28或－21【解析】∵{an}為等比數列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數列，即7，S4－7,91－S4成等比數列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.故選A.【變式訓練1】將本例中“S2＝7，S6＝91”換為“正數等比數列中Sn＝2，S3n＝14”，則S4n＝________.【答案】30【解析】設S2n＝x，S4n＝y，則2，x－2,14－x，y－14成等比數列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22＝214－x，,14－x2＝x－2y－14，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－40))(舍去)，所以S4n＝30.【例3】等比數列{an}中，公比q＝3，S80＝32，則a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.【答案】24【解析】設S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.則eq\f(S1,S2)＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴eq\f(4,3)S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.【方法技巧】考慮eq\f(S偶,S奇)＝q，及S2n＝S奇＋S偶．【變式探究2】本例中的“q＝3，S80＝32.”改為“項數為偶數的等比數列，它的偶數項之和是奇數項之和的eq\f(1,2)，又它的首項為eq\f(1,2)，且中間兩項的和為eq\f(3,128)”，則等比數列的項數為________．【答案】12【解析】設等比數列為{an}，項數為2n，一個項數為2n的等比數列中，eq\f(S偶,S奇)＝q，則q＝eq\f(1,2)，又an和an＋1為中間兩項，則an＋an＋1＝eq\f(3,128)，即a1qn－1＋a1qn＝eq\f(3,128)，又a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(3,128)?eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,128)?n＝6.∴項數為2n＝12.則此等比數列的項數為12.【方法歸納】(1)在涉及奇數項和S奇與偶數項和S偶時，常考慮其差或比進行簡化運算．若項數為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若項數為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0)．(2)等比數列前n項和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn(q≠－1)．題型三an與Sn關系的應用【例4】設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，(1)證明：an＋2＝3an；(2)求Sn.【解析】(1)證明：由已知，an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而對任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又因為a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故對一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)由(1)知，an≠0，所以eq\f(an＋2,an)＝3，于是數列{a2n－1}是首項a1＝1，公比為3的等比數列；數列{a2n}是首項a2＝2，公比為3的等比數列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝eq\f(33n－1,2)，從而S2n－1＝S2n－a2n＝eq\f(33n－1,2)－2×3n－1＝eq\f(3,2)(5×3n－2－1)．綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)5×3\f(n－3,2)－1，n是奇數，,\f(3,2)3\f(n,2)－1，n是偶數.))【方法歸納】由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，進行轉化，得到an＋2＝3an.由an＋2＝3an知{an}是由兩個等比數列構成，所以求Sn時要分奇數項與偶數項和，并且要注意對n是奇數和偶數時討論．【跟蹤訓練2】若數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則an＝________.【答案】(－2)n－1【解析】由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝－2an－1(n≥2)∴eq\f(an,an－1)＝－2(n≥2)又a1＝1，∴an＝(－2)n－1，經檢驗當n＝1時，上式也適合，∴an＝(－2)n－1.【易錯辨析】忽略對公比q的討論致誤【例5】已知等比數列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________.【答案】2或8【解析】若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意，此時a3＝a1＝2.若q≠1時，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2，此時a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上a3的值為2或8.【易錯警示】1出錯原因忽略了對公比q的討論，直接使用了等比數列的前n項和公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，從而漏解致誤.2.糾錯心得解答有關等比數列求和問題時，應考慮公比q兩種情況q＝1或q≠1，否則容易出錯.一、單選題1．已知等比數列的前n項和為，若，，則（）A．-2或3 B．-2 C．3 D．【答案】C【分析】用等比數列的基本量表示出，然后代入條件計算得答案.【解析】由題可知，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴.故選：C.2．數列，滿足，，，則數列的前10項和為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題干所給條件寫出數列，的通項公式，并寫出數列，得知數列是等比數列，再用等比數列的前n項和公式即可.【解析】∵數列，滿足，，，∴數列是等差數列，首項是2且公差是2，是等比數列，首項是2且公比是2，∴數列的通項公式為，數列的通項公式為，則數列為，設，則，∴數列是等比數列，且公比為4，首項為4．則數列的前10項和為，即數列的前10項和為.故選：B.3．設為等比數列的前項和，已知，，則公比（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據題干所給條件列式并聯立計算即可.【解析】設等比數列的第一項為，則，，因為，則，得①因為，則，得②式子①-②，得，顯然，，則.故選：B.4．數列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】取，可得出數列是等比數列，求得數列的通項公式，利用等比數列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值.【解析】在等式中，令，可得，，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，，，則，解得.故選：C.5．設數列滿足，則數列的前n項和為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題得（1），,（2），兩式相減求出即得解.【解析】由題得（1），又（2），（2）-（1）得適合.所以，所以數列是以為首項，以的等比數列，所以.故選：C6．定義表示不超過的最大整數，如，．若數列的通項公式為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得當時，含有個數列中的項，又，再利用錯位相減法即求.【解析】由題知當時，含有個數列中的項，又，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．故選：．7．給出命題：若（，，都是與無關的常數）等比數列的前項和，則.在這個命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據公式得到原命題為真，故逆否命題為真，舉出反例恒等于得到逆命題和否命題為假，得到答案.【解析】因為，所以；當時，，由于是等比數列，所以對也適合，所以，化簡得，所以原命題是真命題，因此逆否命題也是真命題；反之，當時，滿足，但此時恒等于，不可能是等比數列的前項和，所以逆命題是假命題，因此，否命題也是假命題.故選：C.8．已知數列的前項和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據題意求出，從而得到；再由對于任意的，不等式恒成立，得到不等式在時恒成立，從而得到，通過解不等式組即可求出實數的取值范圍.【解析】因為，所以時，，兩式相減，得，即，又時，，所以，因為也適合，所以.所以，因為對于任意的，不等式恒成立，所以對于任意的，不等式恒成立，即對于任意的，不等式恒成立，所以只需，即，解得或.所以實數的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．在等比數列中，公比，是數列的前n項和，若，，則下列結論正確的是（）A． B．C．數列是等比數列 D．數列是公差為2的等差數列【答案】BC【分析】利用已知結合等比數列的通項公式求公比，進而寫出通項公式、前n項和公式，結合各選項判斷正誤即可.【解析】由題設，，即，由可得：，∴，，∴且公差為；且.綜上，A、D錯誤，B、C正確.故選：BC10．分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形如下圖的雪花曲線，將一個邊長為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續下去，得圖（3），記為第個圖形的邊長，記為第個圖形的周長，為的前項和，則下列說法正確的是（）A．B．C．若，為中的不同兩項，且，則最小值是D．若恒成立，則的最小值為【答案】AD【分析】本題考查等比數列的通項公式和等比數列的應用，屬于較難題目．設第個圖形的邊數為，可得為等比數列，求得其通項公式，并求得的通項公式，進而得到和的通項公式，即可對，作出判定；利用等比數列的性質得到，進而求得的最小值，判斷C選項；根據的單調性和范圍求得單調性和范圍，從而求得的最小值，從而判斷D選項．【解析】由題意可知，下一個圖形的邊長是上一個圖邊長的，邊數是上一個圖形的4倍，

可得周長的遞推關系式為，由圖知，

，選項A正確；

從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，

所以數列是1為首項，為公比的等比數列，

所以，選項B錯誤；

由，得，

計算得

所以，當且僅當時取“=”.

因為題中要求，所以選項C錯誤；

根據選項B中的分析，，所以

即

設，則在上單調遞增.

所以時，

所以的最小值是.選項D正確.

故選：AD.

11．(多選題)如果有窮數列a1，a2，a3，…，am(m為正整數)滿足a1＝am，a2＝am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我們稱其為“對稱數列”.例如，數列1，2，5，2，1與數列8，4，2，2，4，8都是“對稱數列”.設{bn}是項數為2m(m>1，m∈N*)的“對稱數列”，且1，2，22，23，…，2m－1依次為該數列中連續的前m項，則數列{bn}的前100項和S100可能的取值為（）A．2100－1 B．251－2C．226－4 D．2m＋1－22m－100－1【答案】ABD【分析】依題意可得數列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1，再對分類討論，利用等比數列的求和公式計算可得；【解析】解：由題意知數列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1.若，則，故B正確；若，則，故D正確.若，則，故A正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若等比數列的前n項和為，且，則__________.【答案】5【分析】根據題意和等比數列的求和公式，求得，結合求和公式，即可求解.【解析】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.13．已知數列滿足，則的前項和__________.【答案】【分析】根據等比數列前項和的公式求出數列的通項，再利用分組求和法即可求出答案.【解析】解：∵，∴.故答案為：.14．在等比數列中，，，記數列的前項和?前項積分別為，，若對任意正整數都成立，則實數的最小值為___________.【答案】【分析】先求出，，再求出，即對任意正整數都成立，求出函數的最大值即得解.【解析】因為，，所以公比，所以，所以，，，，要，即對任意正整數都成立，只要，又，所以或時，取最大值，所以，的最小值為.故答案為：8四、解答題15．已知等比數列的各項均為正數，成等差數列，且滿足，數列的前n項和，且.（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）()；()（2）()【分析】(1)設等比數列公比q，由給定條件求出q及a1即可得的通項；由結合“當時，”即可得的通項.(2)利用(1)的結論分類討論，借助分組求和方法及等差等比數列求和公式即可計算得解.（1）設正項等比數列公比q，因成等差數列，則，即，，而，解得，又，即，，解得，所以數列的通項公式是，；，數列的前n項和，當時，，整理得：，于是得數列是常數數列，則，得，所以數列的通項公式是，.（2）由(1)知，，當n為偶數時，，當n為奇數時，，所以數列的前n項和().【點睛】思路點睛：給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路是：一是轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.16．科學數據證明，當前嚴重威脅人類生存與發展的氣候變化主要是工業革命以來人類活動造成的二氧化碳排放所致．應對氣候變化的關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現碳達峰，而后實現碳中和．2020年第七十五屆聯合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現碳達峰，努力爭取在2060年前實現碳中和．2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰和碳中和的各項工作，某地為響應國家號召，大力發展清潔電能，根據規劃，2021年度火電發電量為8億千瓦時，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發電量為4億千瓦時，以后每年比上一年增長25%．（1）設從2021年開始的年內火電發電總量為億千瓦時，清潔電能總發電量為億千瓦時，求，（約定時為2021年）；（2