6/6天體運動中的三大問題題型一衛星的變軌和對接問題1.兩類變軌的對比兩類變軌離心運動近心運動示意圖變軌起因衛星速度突然增大衛星速度突然減小萬有引力與向心力的大小關系GMmr2＜GMmr2＞2.變軌前后各運行參量的比較（1）速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點時速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA＞v1，在B點加速，則v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。（2）加速度：因為在A點，衛星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。（3）周期：設衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2（半長軸）、r3，由開普勒第三定律r3T2＝k可知T1＜T2＜（4）機械能：在一個確定的圓（橢圓）軌道上機械能守恒。若衛星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機械能分別為E1、E2、E3，則E1＜E2＜E3。①在A點，由圓軌道Ⅰ變至橢圓軌道Ⅱ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；②在B點，由橢圓軌道Ⅱ變至圓軌道Ⅲ時，發動機向后噴氣，推力做正功，動能增加、勢能不變、機械能增加；反之也有相應的規律。衛星變軌問題中各物理量的比較【例1】神舟十二號載人飛船與天和核心艙成功對接，對接過程如圖所示，天和核心艙處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十二號飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，當經過A點時，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運動到B處與核心艙對接，則神舟十二號飛船（）A.沿軌道Ⅰ運行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運行的速度B.在軌道Ⅰ上運行的周期大于在軌道Ⅱ上運行的周期C.神舟十二號飛船在飛向核心艙的過程中，引力勢能增大，動能減小，機械能守恒D.在軌道Ⅰ上運動經過A點的加速度小于在軌道Ⅱ上運動經過A點的加速度聽課記錄衛星變軌問題中的能量變化【例2】2020年我國北斗三號組網衛星全部發射完畢。如圖為發射衛星的示意圖，先將衛星發射到半徑為r1＝r的圓軌道上做勻速圓周運動，到A點時使衛星加速進入橢圓軌道，到橢圓軌道的遠地點B點時，再次改變衛星的速度，使衛星進入半徑為r2＝2r的圓軌道做勻速圓周運動。已知衛星在橢圓軌道上時到地心的距離與速度的乘積為定值，衛星在橢圓軌道上A點時的速度為v，衛星的質量為m，地球的質量為m地，引力常量為G，則發動機在A點對衛星做的功與在B點對衛星做的功之差為（不計衛星的質量變化）（）A.34mv2＋3Gm地m4rC.58mv2＋3Gm地m4r聽課記錄飛船對接問題【例3】（2024·南京模擬）2023年1月21日，神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于A點，下列說法正確的是（）A.在A點時神舟十五號經過點火加速才能從軌道Ⅰ進入軌道ⅡB.飛船在A點的加速度小于空間站在A點的加速度C.空間站在軌道Ⅰ上的速度小于gRD.軌道Ⅰ上的神舟十五號飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可聽課記錄題型二天體的“追及”問題繞同一中心天體，在同一軌道平面內不同高度上同向運行的衛星，因運行周期的不同，兩顆衛星有時相距最近，有時又相距最遠，這就是天體中的“追及相遇”問題。相距最遠當兩衛星位于和中心天體連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t'＝（2n－1）π（n＝1，2，3，…）相距最近兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3，…）【例4】（多選）我國的北斗三號衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星共30顆衛星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛星，繞行方向均與地球自轉方向一致。已知地球自轉周期為T1，衛星B的運行周期為T2，圖示時刻，衛星A與衛星B相距最近。下列說法正確的是（）A.衛星A、B、C的向心加速度的大小關系為aA＝aC＜aBB.衛星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛星AC.經過時間T1T2T1－D.衛星A、C的發射速度小于第一宇宙速度聽課記錄【例5】地球的兩顆衛星繞地球在同一平面內做勻速圓周運動，環繞方向如圖所示。已知衛星一運行的周期為T1＝T0，地球的半徑為R0，衛星一和衛星二到地球中心的距離分別為R1＝2R0，R2＝8R0，引力常量為G，某時刻兩衛星與地心連線之間的夾角為23π，下列說法正確的是（A.衛星二的機械能一定大于衛星一的機械能B.地球的質量M＝30C.衛星二圍繞地球做圓周運動的周期T2＝4T0D.從圖示時刻開始，經過t＝1621T0聽課記錄題型三雙星、多星問題1.雙星模型（1）定義：繞天體連線上某一點轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統。如圖所示。（2）特點①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②兩星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L。④兩星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即m1m2⑤雙星的運動周期T＝2πL3⑥雙星的總質量m1＋m2＝4π

2.多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供其做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星及規律：常見的三星模型①Gm2（2R）②Gm2L2×cos30°×常見的四星模型①Gm2L2×cos45°×2＋G②Gm2L2×cos30°×2＋【例6】如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食（像月亮擋住太陽）而造成亮度發生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知引力常量為G，地球距A、B很遠，可認為地球保持靜止，則（）A.恒星A、B運動的周期為T B.恒星A的質量小于B的質量C.恒星A、B的總質量為π2d3GT2 聽課記錄【例7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，三星質量也相同?，F已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統中三個星體的質量均為m，且兩種系統中各星間的距離已在圖中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是（）A.直線形三星系統中星體做圓周運動的線速度大小為GmB.直線形三星系統中星體做圓