清單01空間向量的線性運算（考點清單）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】【清單01】幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【清單02】空間向量的數乘運算1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．2：數乘向量與向量的關系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反【清單03】共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使拓展:對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【清單04】空間向量的數量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.【清單05】空間向量運算的坐標表示設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法減法數乘數量積【清單06】空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示1、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量長度的坐標計算公式若，則，即3、兩個向量夾角的坐標計算公式設，則【清單07】空間中直線、平面的平行設直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??【清單08】空間中直線、平面的垂直設直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???【考點題型一】空間向量基本概念【例1】（24-25高二上·山東·階段練習）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【知識點】空間向量的有關概念【分析】根據零向量的定義判斷①，根據相等向量的定義判斷②③，根據單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有個；故選：D.【變式1-1】（24-25高二上·遼寧·階段練習）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個向量不相等，則它們的長度不相等D．若空間中的四點不共面，則是空間的一組基底【答案】D【知識點】空間向量的有關概念、判定空間向量共面【分析】根據零向量、單位向量、相等向量、共面向量的概念及性質逐項判斷即可得結論.【詳解】對于A，零向量有方向，方向是任意的，故A錯誤；對于B，在空間中，單位向量模長為1但方向有無數種，故單位向量不唯一，故B錯誤；對于C，若兩個向量不相等，則它們的方向不同或長度不相等，故C錯誤；對于D，若空間中的四點不共面，則向量不共面，故是空間的一組基底，故D正確.故選：D.【變式1-2】（多選）（24-25高二上·陜西渭南·期中）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量滿足，則B．在正方體中，必有C．若空間向量滿足，則D．空間中，，則【答案】BC【知識點】空間向量的有關概念【分析】根據題意，由空間向量的定義以及性質，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于選項A，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量與的方向不一定相同，故A為假命題；對于B選項，與的方向相同，模也相等，故=，故B為真命題，對于C選項，向量的相等滿足傳遞性，故C為真命題；對于D選項，平行向量不一定具有傳遞性，當時，與不一定平行，故D為假命題；故選：BC【考點題型二】空間向量共線判斷核心方法：【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）設空間四點滿足，其中，則（

）A．點一定在直線上 B．點一定不在直線上C．點不一定在直線上 D．以上答案都不對【答案】A【知識點】空間向量的加減運算、空間向量共線的判定【分析】利用空間向量的線性運算結合空間三點共線的向量表示法求解即可.【詳解】因為，所以，而，故，所以，所以，則點一定在直線上，故A正確.故選：A【變式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習）下列條件中，能說明空間中不重合的三點A、B、C共線的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】空間向量的加減運算、空間向量共線的判定【分析】利用空間中不重合的三點共線的條件，逐一考查所給的選項是否正確即可.【詳解】對于空間中的任意向量，都有，說法A錯誤；若，則，而，據此可知，即兩點重合，選項B錯誤；，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項C錯誤；，則A、B、C三點共線，選項D正確；故選：D.【變式2-2】（24-25高二上·河南許昌·階段練習）在長方體中，，分別為，的中點，則下列向量中與向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】空間向量共線的判定【分析】利用線線位置關系可得與向量平行的向量.【詳解】由長方體，可得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理可得，又，分別為，的中點，所以，所以，所以向量平行于，因為直線與直線相交，又，所以向量不平行于，，又直線與相交，所以向量不平行于.故選：B.【考點題型三】由空間向量共線求參數或值核心方法：①②已知，，【例3】（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，則（

）A． B． C．8 D．13【答案】B【知識點】由空間向量共線求參數或值【分析】根據題意可得存在，使得，進而列式求解即可.【詳解】因為，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.【變式3-1】（23-24高二上·遼寧·期中）設向量不共面，已知，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知識點】由空間向量共線求參數或值【分析】把A、C、D三點共線轉化為滿足，列方程組，求出即可.【詳解】因為，，所以，因為三點共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.【變式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）設，是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數．【答案】【知識點】由空間向量共線求參數或值【分析】先求出向量，再根據，，三點共線得出與的關系，從而求出的值.【詳解】因為，已知，，所以.因為，，三點共線，所以與共線，即存在實數，使得.已知，，則.根據向量相等的性質，對于和前面的系數分別相等，可得.由，解得，又因為，所以.故答案為：.【考點題型四】判斷空間向量共面核心方法：存在實數，使【例4】（23-24高二上·云南）若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識點】判定空間向量共面【分析】利用共面向量定理分析判斷，其中選項ABD中，一個向量可以表示為另外兩個向量的共線向量的和的形式，所以三個向量共面；只有選項C的向量不可以，即得解.【詳解】因為所以共面；因為所以共面；，所以共面；假設存在實數滿足，所以,所以，該方程組沒有實數解.所以不存在實數滿足，故不共面．所以選項C符合題意.故選：C【變式4-1】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】判定空間向量共面、空間共面向量定理的推論及應用【分析】根據共面向量基本定理及其推論判斷即可.【詳解】A選項：，所以A錯；B選項：，所以B錯；C選項：原式可整理為，所以C正確；D選項：原式可整理為，，故D錯.故選：C.【變式4-2】（多選）（23-24高二下·江蘇淮安）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實數，使B．若存在實數，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數，使D．若存在實數，使，則點四點共面【答案】BD【知識點】判定空間向量共面、空間共面向量定理的推論及應用【分析】根據平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項正確；若共線，則A結論不恒成立；若三點共線，則C項結論不恒成立.【詳解】對于A項，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項錯誤；對于B項，根據平面向量基本定理知，若存在實數，使向量，則與共面，故B項正確；對于C項，如果三點共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點不在所在的直線上，則無法表示，故C項錯誤；對于D項，根據空間向量基本定理，可知若存在實數，使，則共面，所以點四點共面，故D項正確.故選：BD.【考點題型五】由空間向量共面求參數核心方法：存在實數，使【例5】（24-25高二上·天津·階段練習）在四面體中，空間的一點滿足，若、、、四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】空間向量共面求參數【分析】根據給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計算即得.【詳解】在四面體中，不共面，而則所以故選：D【變式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三點不共線，為平面外任意一點．若，且、、、四點共面，則．【答案】【知識點】空間向量共面求參數【分析】根據空間共面定理得到若，，，四點共面，則，且，從而得到方程，解得即可.【詳解】因為，，，四點共面，則，且，又，即，即，所以，解得.故答案為：【變式5-2】（23-24高二上·上海黃浦·期中）已知四面體，空間的一點滿足，若，，，共面，則實數的值為.【答案】【知識點】空間向量共面求參數【分析】由向量的線性運算可知，再由共面定理可知，即可得解.【詳解】由，得，即，又，，，四點共面，即，，共面，所以存在唯一實數對，使，所以，解得，故答案為：.【考點題型六】用基底表示向量核心方法：空間向量的加減數乘運算【例6】（23-24高二下·重慶合川）如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】空間向量加減運算的幾何表示、空間向量數乘運算的幾何表示、用空間基底表示向量【分析】利用向量運算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】=故選：A.【變式6-1】（24-25高二上·山東德州·期中）在四面體中，點D為的中點，點E在上，且，用向量，，表示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】空間向量加減運算的幾何表示、空間向量數乘運算的幾何表示【分析】利用空間向量的線性運算即可得到結果.【詳解】如圖，由題意得，.故選：D.【變式6-2】（24-25高二上·廣東茂名·期中）在平行六面體中，，，，是與的交點，以為空間的一個基底，則直線的一個方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】空間向量的加減運算【分析】由向量的線性運算即可得到答案.【詳解】故選：A.【考點題型七】空間向量數量積運算核心方法：①坐標運算②定義法：【例7】（24-25高二上·貴州黔東南·期中）在正四面體中，為棱的中點，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【知識點】空間向量數量積的應用【分析】根據圖形，由向量的加法和向量的數量積計算即可；【詳解】

因為為棱的中點，所以，所以.故選：B.【變式7-1】（24-25高二上·天津·開學考試）已知點是棱長為2的正方體的底面上一點，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知識點】空間向量數量積的應用【分析】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，同時設點的坐標為，其中，，用坐標運算計算出，配方后可得其最小值.【詳解】以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則點，設點的坐標為，由題意可得，，，由二次函數的性質可得，當時，取得最小值，故選：C.【變式7-2】（24-25高二上·天津濱海新·期中）若，，則.【答案】【知識點】求空間向量的數量積、空間向量的坐標運算【分析】根據空間向量的線性運算和數量積的坐標表示即可求解.【詳解】,則，故答案為：【考點題型八】求空間向量數量積的最值（范圍）核心方法：①坐標法（含自主建系法）②極化恒等式(1)平行四邊形模型：向量的數量積等于“和對角線長”與“差對角線長”平方差的eq\f(1,4)，即（如圖）(2)三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即（如圖）【例8】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在長方體中，，，點為線段上一動點，則的最小值為．【答案】1【知識點】求二次函數的值域或最值、求空間向量的數量積【分析】建立空間直角坐標系利用空間向量求得數量積的表達式，再由二次函數性質得出最小值.【詳解】依題意以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，設，所以，因此，當時，取得最小值1.故答案為：1【變式8-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）已知M，E，F均為圓柱表面上的動點，直線EF經過圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為.【答案】144【知識點】圓柱的結構特征辨析、空間向量數量積的應用【分析】分析可知，結合圓柱的結合性質分析求解即可.【詳解】因為，又因為O為圓柱的中心，且M，E，F均為圓柱表面上的動點，則，當且僅當為底面圓周上時，等號成立，且，當且僅當為過O且與底面平行的圓周上時，等號成立，可得，所以的最大值144.故答案為：144.【變式8-2】（24-25高二上·浙江金華·階段練習）正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是.【答案】【知識點】多面體與球體內切外接問題、求空間向量的數量積【分析】利用向量數量積的運算律可知，，進一步只需求出即可得解．【詳解】由題意等于正方體的體對角線長，設點為的中點，所以，則，當點與某個側面的中心重合時，最小，且，當點與正方體的頂點重合時，最大，且，由于點是在正方體表面連續運動，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案為：【考點題型九】求空間向量模核心方法：【例9】（24-25高二上·河北·階段練習）在正三棱柱中，，，，為棱上的動點，為線段上的動點，且，則線段長度的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【知識點】求空間中兩點間的距離【分析】根據正三棱柱建立空間直角坐標系，設動點坐標，結合線線關系求線段的表達式，利用函數求最值即可.【詳解】因為正三棱柱中，有，所以為的中點，取中點，連接，如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，則，因為是棱上一動點，設，且，因為，且，所以，于是令，所以，，又函數在上為增函數，所以當時，，即線段長度的最小值為.故選：D.【變式9-1】（24-25高二上·湖北·階段練習）在棱長為的正四面體中，點與滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】空間向量數量積的應用【分析】以為基底，表示出，利用空間向量的數量積求模.【詳解】如圖：

以為基底，則，，所以.因為.所以.所以.故選：D【變式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）設，向量，，且，，則.【答案】【知識點】空間向量平行的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】根據空間向量共線與空間向量垂直的坐標運算求解.【詳解】因為，所以，即，解得，又因為∥，所以存在實數使得，即，解得，所以，所以，故答案為：.【考點題型十】求空間向量模的最值（范圍）核心方法：坐標法【例10】（24-25高二上·河北唐山·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，，，若平面，則線段的長度的最小值為.【答案】【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】建立空間直角坐標系，根據條件利用向量法求出，再由向量模的定義求模表示為的二次函數求最值.【詳解】如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，依題意，，，所以因為平面，平面，則，又，平面，故平面，故平面的法向量可取，因為平面，故，即則，因為，故當時，故答案為：【變式10-1】（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】求空間中兩點間的距離、空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量建立的函數關系求解即可.【詳解】三棱錐中，過作平面，由，知，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，如圖，

由平面，得，則，令，則，設，于是，當且僅當時取等號，所以線段的最小值為.故選：B【變式10-2】（23-24高三上·四川·階段練習）如圖，在棱長為4的正方體中，E為棱BC的中點，P是底面ABCD內的一點（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是．【答案】【知識點】空間向量垂直的坐標表示、空間向量模長的坐標表示【分析】首先利用向量垂直的坐標表示，求得點的軌跡方程，再代入兩點間的距離公式，求線段長度的取值范圍.【詳解】以D為原點，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，設，則，，又，所以，即，則．當時，，設，所以點P在底面ABCD內的軌跡為一條線段AF，所以，，，當時，，當時，，所以線段的長度的取值范圍是．故答案為：【考點題型十一】求空間向量夾角核心方法：夾角公式【例11】（24-25高二上·山東德州·階段練習）已知空間向量，且，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求空間向量的數量積、空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示、空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】根據給定條件，利用空間向量坐標運算，求出n值，再利用夾角公式計算作答.【詳解】向量，則，由，得，解得，，因此，，，所以與的夾角的余弦值.故選：B【變式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·階段練習）若向量，且，則的值為【答案】1【知識點】空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】利用空間向量的夾角公式即可得出．【詳解】因為向量，所以，，又，所以，，解得.故答案為：.【考點題型十二】空間向量夾角為銳角（鈍角）核心方法：①為銳角且與不同向共線②為頓角且與不反向共線【例12】（24-25高二上·河南·階段練習）已知向量的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為．【答案】【知識點】空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】夾角為鈍角只需滿足，排除共線的情況即可.【詳解】因為向量的夾角為鈍角，則，解得，當共線時，由，即，解得，所以當夾角為鈍角時.故答案為：.【變式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空間向量與夾角為鈍角，則實數的取值范圍為．【答案】【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量平行的坐標表示、空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】根據條件，利用，且不共線，即可求出結果.【詳解】因為空間向量與夾角為鈍角，所以，得到，即，由，得到，此時與共線反向，夾角為，不合題意，所以實數的取值范圍為，故答案為：.【變式12-2】（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·階段練習）若空間向量與的夾角為銳角，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】根據給定條件，利用向量的夾角公式，結合向量共線的坐標關系求解即得.【詳解】由空間向量與的夾角為銳角，得且與不共線，于是，解得，此時，而，即與不共線，所以x的取值范圍是.故選：C【考點題型十三】求投影向量核心方法：【例13】（24-25高二上·山東·期中）在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為．【答案】【知識點】空間向量夾角余弦的坐標表示、求投影向量【分析】根據投影向量的概念以及空間向量數量積的坐標運算求解.【詳解】由題，，所以，，則在方向上的投影向量的坐標為.故答案為:.【變式13-1】（24-25高二上·云南臨滄·階段練習）已知點，則向量在向量上的投影向量的模為.【答案】/【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量夾角余弦的坐標表示、空間向量數量積的應用【分析】由空間向量的坐標運算得出兩個向量夾角的余弦值，再算出投影向量的模.【詳解】點，故，所以，所以向量在向量上的投影向量的模.故答案為：【變式13-2】（23-24高二上·上海·期末），，則在方向上的數量投影為.【答案】/【知識點】求投影向量、空間向量夾角余弦的坐標表示、空間向量模長的坐標表示【分析】由題意結合數量投影的坐標運算公式求解即可.【詳解】由題意，，所以在方向上的數量投影為.故答案為：.【考點題型十四】空間向量平行與垂直關系核心方法：；（均非零向量）【例14-1】（江西省部分高中學校2024-2025學年高二上學期十一月聯考數學試卷）已知，，，設向量，．(1)設向量，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)3(2)【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示、空間向量平行的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】（1）根據向量平行求出，由向量模的公式計算得解；（2）由向量的線性運算及垂直向量的數量積坐標表示列方程得解.【詳解】（1）由題意，，，，所以，解得，所以，.（2）因為，，所以，因為，所以，解得.【例14-2】（24-25高二上·廣西百色·階段練習）已知，.(1)若，分別求與的值；(2)與垂直，求.【答案】(1)，(2)或【知識點】空間向量垂直的坐標表示、空間向量平行的坐標表示【分析】（1）根據題意，設，利用空間向量的坐標運算可得出關于、、的方程組，即可解得實數、的值；（2）由題意可得，利用空間向量數量積的坐標運算可求得的值，即可得出向量的坐標.【詳解】（1）解：因為，，且，設，即，即，解得，故，.（2）解：因為與垂直，則，解得，當時，；當時，.因此，或.【變式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】空間向量平行的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】根據空間向量平行和垂直的坐標運算求解.【詳解】因為向量，，，由，則，解得，由，則，解得，則．故選：A．【變式14-2】（多選）（24-25高二上·湖北·期中）在空間直角坐標系中，已知，，下列結論正確的有（

）A．B．C．若，且，則D．若且，則【答案】AC【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示、空間向量平行的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】利用空間向量的坐標表示，再結合空間向量的坐標運算逐項分析判斷得解.【詳解】由，，得，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由，，得，解得，C正確；對于D，由且，得，無解，D錯誤.故選：AC【考點題型十五】用向量證明空間中線面平行核心方法：??【例15】（23-24高二下·甘肅天水）如圖，在三棱柱中，側棱平面，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)4【知識點】錐體體積的有關計算、證明線面平行、空間位置關系的向量證明【分析】（1）解法一：設與的交點為，利用三角形的中位線證明，可證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；（2）解法一：求出點到平面的距離，由求解即可.解法二：向量法求點到平面距離，得到棱錐的高，可求體積.【詳解】（1）解法一：證明：連接與交于點，則是的中點，連接，又是的中點，則有，平面，平面，所以平面.解法二：，則有，又平面，以為原點，的正方向為軸，軸，軸的方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的一個法向量為n=x,y,z，有，令，則，得，于是，且平面，故平面.（2）解法一：取的中點，連接，直三棱柱中，平面，平面，故，又為的中點，則有且.由，則有，又，平面，所以平面，平面.，.解法二：在（1）的基礎上，，設平面的一個法向量為，，令則，得，于是點到平面的距離為，于是.【變式15-1】（24-25高二上·陜西西安·期中）如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.(1)證明：直線平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】空間位置關系的向量證明、點到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）根據題設建立合適的空間直角坐標系，應用向量法證明與面的一個法向量垂直，即可證結論；（2）根據（1）所得坐標系，應用向量法求點面距離.【詳解】（1）由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個法向量為，顯然且面，故面（2）設面的一個法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個法向量，又，點到平面的距離為.【變式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·階段練習）長方體中，．點為中點．

(1)求證：平面(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】證明線面垂直、空間位置關系的向量證明、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用線面垂直的性質定理及判斷定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，根據題意寫出相應點的坐標，求出及平面的法向量的坐標，由，即可證明平面.【詳解】（1）因為是長方體，所以平面，而平面，所以，又因為，所以側面是正方形，因此，因為平面，所以平面﹔（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，設平面的法向量為，則有，解得，因為，而平面A1DE，所以有平面.【變式15-3】（24-25高二上·全國·課后作業）如圖，在斜三棱柱中，，四邊形為矩形，是的中點，是與的交點．在線段上是否存在點，使得平面？【答案】存在【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】建立空間直角坐標系，設，利用，求得的坐標，然后再求出平面的法向量，利用，建立方程，解得，從而得出結論.【詳解】因為，所以，因為四邊形為矩形，所以，又平面,平面,所以平面，又平面，所以，因為，所以，由余弦定理得，即，所以，所以，又因為平面,平面,所以平面，所以以為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，則，，設，所以，，設平面的法向量為，則即令，則，要證平面，則，即，解得，所以，所以．故在線段上存在點，使得平面．【考點題型十六】用向量證明空間中面面平行核心方法：??【例16】（23-24高二下·全國·課后作業）如圖，在長方體中，，，.求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】根據題意，以D為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，由法向量平行，即可證明面面平行；【詳解】以D為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，則，，，.設平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.因為，即，所以平面平面.【變式16-1】（2024高一·全國·專題練習）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證，同理，再結合面面平行判定定理即可證明結論.【詳解】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．【變式16-2】（24-25高二·全國·課后作業）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法分別證明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】因為，是棱的中點，所以，所以為正三角形.因為為等腰梯形，，所以.取的中點，連接，則，所以.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因為平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【變式16-3】（24-25高二下·全國·課后作業）如圖所示，四邊形為矩形，平面，，，，分別是，，的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】（1）由已知可證得兩兩垂直，所以以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明；（2）只需證明平面的法向量與平面中的兩個向量垂直即可.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為四邊形為矩形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，，.則，因為，，分別是，，的中點，所以，，，所以.因為平面的一個法向量為，所以，即.又因為平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，又平面，所以平面.又因為，平面，所以平面平面.【考點題型十七】用向量證明空間中線面垂直核心方法：???【例17】（24-25高二上·廣東惠州·期中）直三棱柱中，，，，分別是的中點．

(1)求的值；(2)求證：⊥平面．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】空間向量垂直的坐標表示、空間向量夾角余弦的坐標表示、空間位置關系的向量證明【分析】（1）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用數量積的坐標運算求的值；（2）利用向量法證明線線垂直，可證線面垂直.【詳解】（1）直三棱柱中，平面，又，以點為坐標原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

依題意得，，∴，，，，，所以；（2）求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．【變式17-1】（24-25高二上·河南洛陽·階段練習）如圖，在長方體中，，，，，，分別為棱，，，的中點.(1)證明：，，，四點共面；(2)若點在棱，且平面，求的長度.【答案】(1)證明見解析(2)3【知識點】空間中的點（線）共面問題、空間向量垂直的坐標表示【分析】（1）連接，，，先可得到四邊形為平行四邊形，進而得到，結合即可得到，進而求證；（2）建立空間直角坐標系，設，結合空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接，，，因為，，，分別為棱，，，的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，所以，，，四點共面.（2）以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，由，，，，，分別為棱，，，的中點，可得，，，，則，，設，即，則，由平面，故，即，解得，所以.【變式17-2】（24-25高二上·山東菏澤·開學考試）如圖，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.(1)求的模；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】證明線面垂直、空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示、空間位置關系的向量證明【分析】（1）先建立直角坐標系，再求出坐標，進而求出向量求出模長；（2）應用向量法得出線線垂直，再根據線面垂直判定定理證明即可.【詳解】（1）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，則.（2）依題意得、、、、，則，，，所以，，則，，即，，又因為平面，所以平面.【變式17-3】（24-25高二上·全國·課后作業）如圖，在直四棱柱中，底面為直角梯形，分別為的中點，，用向量法證明：直線平面．

【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，求出和平面的一個法向量的坐標，可得與平面的法向量共線，則得直線平面．【詳解】由題意知，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，設平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，所以，故直線平面．【考點題型十八】證明面面垂直核心方法：???【例18】（2024高三·全國·專題練習）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明【分析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，設，分別求出平面和平面的法向量，計算的值，，即可證明平面平面.【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則A0,0,0，，，，，，.設平面PCD的一個法向量為n1則，即，不妨令，則，，所以，設平面PAC的一個法向量為，則，即，不妨令，則，，所以，因為，所以，所以平面平面．【變式18-1】（24-25高二下·全國·課后作業）如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點．證明：平面平面．【答案】證明見解析【知識點】空間位置關系的向量證明、求平面的法向量【分析】以C為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設平面與平面的法向量分別為，求出，可得，即可證明.【詳解】如圖，以C為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，所以．設平面的法向量為，則，即，令，可得平面的一個法向量．設平面的法向量為，則，即，令，可得平面的一個法向量．因為，所以，所以平面平面．【變式18-2】（2024高二·全國·專題練習）如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，是的中點，底面，．證明：平面平面.【答案】證明見解析【知識點】證明面面垂直、空間位置關系的向量證明、求平面的法向量【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量是，結合得到和共線，所以平面，從而得到面面垂直.【詳解】證明：因為底面是邊長為1的菱形，，所以⊥，如圖以為原點，所在直線為軸，平行于的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，．所以，平面的一個法向量是，所以和共線，所以平面，又因為平面，故平面平面．提升訓練一、單選題1．（24-25高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【知識點】空間向量基本定理及其應用、用空間基底表示向量【分析】根據空間向量的運算法則，化簡得到，即可求解.【詳解】由題意，根據空間向量的運算法則，可得.故選：B.2．（24-25高二上·山東泰安·期中）設，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】空間向量模長的坐標表示、空間向量平行的坐標表示、空間向量垂直的坐標表示【分析】由，求出，再求出，再用坐標求模即可.【詳解】解：因為，，，所以，則，所以.又因為，且，所以，則，所以，所以，所以.故選：A.3．（福建省福州市八縣（市）協作校2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試題）已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】空間向量夾角余弦的坐標表示【分析】兩個向量夾角為鈍角則兩個向量數量積為負數，但是兩個向量反向時夾角為不是鈍角，要排除.【詳解】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選：A4．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點，是的中點，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識點】空間向量數乘運算的幾何表示【分析】連接，利用空間向量運算即可求得正確答案.【詳解】連接，因為是的中點，所以，

因為底面為直角三角形的直棱柱，所以四邊形為長方形，又因M，N分別是的中點，所以，則，又因，所以可得，解得，所以.故選：A.5．（云南省長水教育集團2024-2025學年高二上學期10月質量檢測數學試題）已知空間向量，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】空間向量的坐標運算、空間向量模長的坐標表示【分析】由數量積的定義先求出，再由投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，所以在上的投影向量為.故選：D.6．（湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯盟”2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試卷）正四面體中，，點滿足，則長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判定空間向量共面、求點面距離【分析】根據題意，延長至點，使得，得到，結合空間向量的共面定理，得到四點共面，把到平面的距離轉化為點到平面的距離的一半，結合正四棱錐的性質，即可求解.【詳解】如圖所示，延長至點，使得所以，又由，所以四點共面，所以的最小值，即為點到平面的距離，因為點是的中點，則點到平面的距離是點到平面的距離的一半，又因為，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點到平面的距離，在等邊，因為，可得，在直角中，可得，即點到平面的距離為，所以的最小值為.故選：C7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面體的棱長為1，動點在平面上運動，且滿足，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【知識點】求空間向量的數量積、空間向量基本定理及其應用、空間向量的加減運算、用空間基底表示向量【分析】由四點共面推得，再以為基底進行向量運算可得.【詳解】動點在平面上運動，且不共線，則存在實數，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因為四面體正四面體，且棱長為.所以，.所以.故選：C.8．（24-25高二上·安徽阜陽·期中）已知向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】空間向量數量積的概念辨析、求空間向量的數量積【分析】根據數量積的運算律可求得，根據投影向量定義直接求解即可.【詳解】，，，，，，，.故選：C.二、多選題9．（24-25高二上·福建廈門·期中）設是空間的一個基底，則下列說法正確的是（

）A．，，兩兩共面，但，，不可能共面B．若，，則C．對空間任一向量，總存在有序實數組，使D．，，不一定能構成空間的一個基底【答案】AC【知識點】空間共面向量定理的推論及應用、空間向量基底概念及辨析【分析】AC選項，根據基底的定義可得；B選項，，不一定垂直；D選項，判斷出，，一定不共面，所以一定能構成空間的一個基底.【詳解】A選項，由基底的定義可知，，，不能共面，，，兩兩共面，A正確；B選項，，，但，不一定垂直，B錯誤；C選項，由基底的概念可知，對空間任一向量，總存在有序實數組，使，C正確；D選項，設，故，無解，故，，一定不共面，所以一定能構成空間的一個基底，D錯誤.故選：AC10．（24-25高二上·山西·期中）如圖，在正三棱柱中，P為空間內一動點，若，則（

）A．若，則點P的軌跡為線段B．若，則點P的軌跡為線段C．存在，，使得平面D．存在，，使得平面【答案】AB【知識點】空間向量數量積的應用、空間位置關系的向量證明、判定空間向量共面【分析】由共面向量定理可得點在側面內（含邊界），利用共線向量判斷AB；借助向量數量積判斷CD.【詳解】在正三棱柱中，由，得點在側面內（含邊界），對于A，由，得，點的軌跡為線段，A正確；對于B，由，得，則，即，又，因此點的軌跡為線段，