滾動小專題(八)與圖形變換有關的簡單計算與證明1．(2018·聊城)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的A1處，則點C的對應點C1的坐標為(A)A．(－eq\f(9,5)，eq\f(12,5))B．(－eq\f(12,5)，eq\f(9,5))C．(－eq\f(16,5)，eq\f(12,5))D．(－eq\f(12,5)，eq\f(16,5))2．(2017·南充)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正確結論是①②③．3．(2018·棗莊)如圖，在正方形ABCD中，AD＝2eq\r(3)，把邊BC繞點B逆時針旋轉30°得到線段BP，連接AP并延長交CD于點E，連接PC，則三角形PCE的面積為9－5eq\r(3)．4．如圖，Rt△ABC紙片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在邊BC上，以AD為折痕將△ABD折疊得到△AB′D，AB′與邊BC交于點E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長是2或5．5．(2018·安徽)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10×10網格中，已知點O，A，B均為網格線的交點．(1)在給定的網格中，以點O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A1B1(點A，B的對應點分別為A1，B1)，畫出線段A1B1；(2)將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉90°得到線段A2B1，畫出線段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是20個平方單位．解：(1)如圖所示，線段A1B1即為所求．(2)如圖所示，線段A2B1即為所求．6．如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E.(1)求證：∠EDB＝∠EBD；(2)判斷AF與DB是否平行，并說明理由．解：(1)證明：由折疊可知∠CDB＝∠EDB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折疊可知DC＝DF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥DB.7．在等邊△ABC中：圖1圖2(1)如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度數；(2)點P，Q是BC邊上的兩個動點(不與點B，C重合)，點P在點Q的左側，且AP＝AQ，點Q關于直線AC的對稱點為點M，連接AM，PM.①依題意將圖2補全；②小茹通過觀察、實驗，提出猜想：在P，Q運動的過程中，始終有PA＝PM.小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA＝PM，只需證△PAM是等邊三角形．想法2：在BA上取一點N，使得BN＝BP，要證PA＝PM，只需證△ANP≌△PCM.想法3：將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要證PA＝PM，只需證PA＝CK，PM＝CK.……請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA＝PM.(一種方法即可)解：(1)∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB＝80°.(2)①如圖所示．②證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.∵Q，M關于AC對稱，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ＝AM，∴△APM為等邊三角形．∴PA＝PM.8．(2018·棗莊)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG.(1)求證：四邊形EFDG是菱形；(2)探究線段EG，GF，AF之間的數量關系，并說明理由；(3)若AG＝6，EG＝2eq\r(5)，求BE的長．解：(1)證明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.∵由翻折的性質可知GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE＝DF＝EF.∴四邊形EFDG為菱形．(2)EG2＝eq\f(1,2)GF·AF.理由：連接DE，交AF于點O.∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝eq\f(1,2)GF.∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF.∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(FO,DF)，即DF2＝FO·AF.∵FO＝eq\f(1,2)GF，DF＝EG，∴EG2＝eq\f(1,2)GF·AF.(3)過點G作GH⊥DC，垂足為H.∵EG2＝eq\f(1,2)GF·AF，AG＝6，EG＝2eq\r(5)，∴20＝eq\f(1,2)FG(FG＋6)，整理得FG2＋6FG－40＝0.解得FG＝4，FG＝－10(舍去)．∵DF＝GE＝2eq\r(5)，AF＝10，∴AD＝eq\r(AF2－DF2)＝4eq\r(5).∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD.∴△FGH∽△FAD.∴eq